空間向量的正交分解及坐標表示

關(guān)于空間向量的正交分解及坐標表示第1頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三學習目標1.知識與技能：了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及坐標表示2.過程與方法：類比平面向量的有關(guān)知識，得出空間向量基本定理及坐標表示。3.情感態(tài)度與價值觀：用發(fā)展的聯(lián)系的眼光看問題，認識到事物都是在不斷的發(fā)展變化的。學習重點

空間向量基本定理學習難點探究空間向量基本定理的過程及定理的應(yīng)用第2頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三1、平面向量基本定理：一、預備知識第3頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三ap

一、預備知識2、下圖中，如何用兩個不共線向量來表示？OP第4頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三yx12312ij3、在平面直角坐標系中，取與X軸Y軸方向相同的兩個單位向量

、作為基底，在圖中作出=，并寫出的坐標。

=（3，2）

O第5頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三pxyzoijk二、探究與發(fā)現(xiàn)[探究一]設(shè)、、為由公共起點O的三個兩兩互相垂直的向量，那么對于空間任意一個向量，如何用、、來表示？QP第6頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三abpc[探究二]如果用任意三個不共面向量來代替上述兩兩互相垂直的向量，還有類似結(jié)論嗎？OPQ第7頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝

xa＋yb＋zc。把不共面的三個向量{a、b、c}叫做空間的一個基底a,b,c都叫做基向量第8頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三注意：2.空間向量的基底唯一嗎？1.空間向量的基底可以為零向量嗎？任意三個不共面的向量都可作為空間向量的一個基底?；蛄坎荒転榱阆蛄康?頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸.這樣就建立了一個空間直角坐標系O--xyz

點O叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面。xyzOe1e2e3（2）空間向量的坐標表示第10頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

給定一個空間坐標系和向量,且設(shè)e1,e2,e3為坐標向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序數(shù)組(x,y,z)叫做p在空間直角坐標系O--xyz中的坐標，記作.P=(x,y,z)（2）空間向量的坐標表示xyzOe3e1e2P第11頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三三、空間向量的正交分解及其坐標表示xyzOijkP記作

=(x,y,z)由空間向量基本定理，對于空間任一向量存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使P′P第12頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三練習.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以A為坐標原點，以AB,AD,AA1為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，設(shè)向量

，

，為x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，用向量

，

，表示向量AC1和BD1。ijk第13頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三三、定理應(yīng)用例1如圖，M、N分別是四面體OABC的邊OA、BC的中點，P,Q是MN的三等分點。用向量、、表示和。解：=

第14頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

解：第15頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三練習3（1）(2)第16頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三四、學后反思1、知識點：2、問題探究過程的思路剖析：[課下探究]

空間向量基本定理與課本95頁“思考“欄目中的第二問題有什么聯(lián)系？你有何體會？五、作業(yè)：

P106A組1.2.第17頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三ABCDA’B’C’D’第18頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三ABCDA’B’C’D’第19頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三謝謝！再見！第20頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三練習.空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,則MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－a+b+c

122312(C)a+b

－c

122312(D)a+b

－c

122323B第21頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三練習2第22頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三空間向量運算

的坐標表示第23頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三,則設(shè)一、向量的直角坐標運算第24頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,

y2-y1,

z2-z1)空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.第25頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三二、距離與夾角的坐標表示1.距離公式（1）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。第26頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三在空間直角坐標系中，已知、，則（2）空間兩點間的距離公式第27頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三2.兩個向量夾角公式注意：（1）當時，同向；（2）當時，反向；（3）當時，。第28頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三第29頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標系，則

例1如圖,在正方體中，，求與所成的角的余弦值.

第30頁，講稿共34頁，2023年