線性矩陣不等式

關(guān)于線性矩陣不等式第1頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三線性矩陣不等式概論第2頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三線性矩陣不等式的一般表示線性矩陣不等式：——仿射矩陣不等式仿射函數(shù)即由1階多項(xiàng)式構(gòu)成的函數(shù)，一般形式為f(x)=Ax+b，這里，A是一個(gè)m×k矩陣，x是一個(gè)k向量,b是一個(gè)m向量，實(shí)際上反映了一種從k維到m維的空間映射關(guān)系。設(shè)f是一個(gè)矢性（值）函數(shù)，若它可以表示為其中可以是標(biāo)量，也可以是矩陣，則稱f是仿射函數(shù)。第3頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三凸（約束）問(wèn)題定義（凸集）一個(gè)集合的連線仍在集合內(nèi)。和及參數(shù)有稱為的凸組合。稱為凸的，如果集合中任意兩點(diǎn)即任意給定兩點(diǎn)和將矩陣不等式的解約束在矩陣變量定義的空間中第4頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三關(guān)于凸集定義的理解第5頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三Schur補(bǔ)定理引理(SchurComplement)

對(duì)于分塊對(duì)稱陣其中b)，且c)，且a)為方陣，則以下三個(gè)條件是等價(jià)的：第6頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三Schur補(bǔ)應(yīng)用

若要證明存在對(duì)稱矩陣P>0,Q>0,R>0,使得如下不等式成立

只需證明如下線性矩陣不等式(LMI)成立

Schur補(bǔ)：是將非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的有效工具第7頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三標(biāo)準(zhǔn)的線性矩陣不等式問(wèn)題可行性問(wèn)題(LMIP)—求不等式的可行解檢驗(yàn)是否存在x，使得成立。特征值問(wèn)題(EVP)－－求不等式的優(yōu)化解廣義特征值問(wèn)題(GEVP)－－仿射矩陣函數(shù)的不等式優(yōu)化問(wèn)題LinearMatrixInequality(LMI)第8頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三系統(tǒng)性能分析第9頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)3.1.1系統(tǒng)增益指標(biāo)

考慮第10頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三L2范數(shù)對(duì)于平方可積的信號(hào)，定義其中是向量的歐式范數(shù)。這樣定義的

正好是信號(hào)的能量。將所有有限能量的全體記成即

也稱為信號(hào)的范數(shù)

第11頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三L∞范數(shù)對(duì)幅值有界的信號(hào)，定義當(dāng)

是一個(gè)標(biāo)量信號(hào)時(shí)，等于

的峰值。將所有幅值有界的信號(hào)全體記成即

也稱為信號(hào)

的范數(shù)。第12頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三四個(gè)性能指標(biāo)IE(Impulse-to-Energy)增益：EP(Energy-to-Peak)增益：EE(Energy-to-Energy)增益：PP(Peak-to-Peak)增益：第13頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理1---IE若有一最優(yōu)值，則第14頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理2---EP若有一最優(yōu)值，則第15頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理3---EE第16頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理4---PP第17頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三H2性能T的H2范數(shù)的平方等于系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的總的輸出能量。(IE)系統(tǒng)的H2范數(shù)也可以用系統(tǒng)在白噪聲輸入信號(hào)激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)輸出方差來(lái)解釋。(EP)對(duì)于SISO系統(tǒng)第18頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三用線性矩陣不等式刻畫系統(tǒng)的H2范數(shù)第19頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三H∞性能增益有一個(gè)頻率域的解釋：它恰好等于傳遞函數(shù)

的范數(shù)，即第20頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三用線性矩陣不等式刻畫系統(tǒng)的H∞范數(shù)定理：針對(duì)系統(tǒng)(3.1.1)和給定的一個(gè)常數(shù)γ>0,若存在對(duì)稱矩陣P>0,使得如下線性矩陣不等式成立則有||T(s)||∞<γ,且系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。第21頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三證明：對(duì)上述不等式分別左乘,右乘矩陣diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},得記X=γP第22頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三運(yùn)用Schur補(bǔ)，可得若D=0,則有嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)陣的H∞范數(shù)與矩陣不等式的等價(jià)關(guān)系第23頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三給出了系統(tǒng)H∞范數(shù)與LMI之間的關(guān)系使得H∞控制問(wèn)題可基于LMI進(jìn)行求解有界實(shí)引理(Boundedreallemma)第24頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三控制器設(shè)計(jì)第25頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三H∞控制器設(shè)計(jì)第26頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三第27頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三狀態(tài)反饋H∞控制第28頁(yè)，講稿共31頁(yè)