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定積分證明題例1.利用積分中值定理計(jì)算下列極限：

(1)解

根據(jù)積分中值定理，

因時(shí)，因此從而解

根據(jù)積分中值定理，

因從而有界，因此(2)

(a為一非零常數(shù)).

證

因?yàn)?/p>

f(x)C[a,b],根據(jù)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，

f(x)在[a,b]上存在最大值M和最小值m，即

因g(x)在[a,b]上連續(xù)且不變號(hào)，不妨設(shè)

g(x)>0則由定積分的性質(zhì)有，

例2.g(x)在[a,b]上不變號(hào)，證明在[a,b]內(nèi)至少存在一點(diǎn)x，使

根據(jù)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的介值定理，在[a,b]內(nèi)至少即存在一點(diǎn)x，使即同樣可證g(x)<0時(shí)的情形.

例3證明證一由廣義積分中值定理證二例4

設(shè)f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則它在

任何一個(gè)長(zhǎng)度等于T的區(qū)間上的積分都相等.即對(duì)任何a,證一對(duì)于期的連續(xù)函數(shù)，則作換元x=t+T,注意到f(x)是以T為周于是例4

設(shè)f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則它在

任何一個(gè)長(zhǎng)度等于T的區(qū)間上的積分都相等.即對(duì)任何a,證二于是根據(jù)零點(diǎn)定理，方程F(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)根.

證

(1)(2)

例5.設(shè)證明:(1)(2)方程F(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)根.

證明顯然例6若函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(x)單調(diào)減少.證明證明F(x)單調(diào)增加.當(dāng)0<t<x時(shí)，f(t)-f(x)>0,即所以F(x)單調(diào)增加.證一例7若函數(shù)f(x)上連續(xù)，證明證二證明例8當(dāng)x>0且n為正整數(shù)，解則x=0,x=1,x=kπ(k是1的整數(shù)),由于f(0)=0,綜上所述，f(1)是f(x)的最大值，于是例9若f(x)在[a，b]上連續(xù)可微，且f(2)=f(4)=0,證記例10若f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=0,證顯然

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