抽屜原理及其應用數(shù)學畢業(yè)設計

北航軟件學院北京航空航天大學軟件學院組合數(shù)學論文論文題目：抽屜原理及其應用姓名：學號：專業(yè)：集成電路與物聯(lián)網(wǎng)工程目錄摘要 2Abstract 31.引言 42.抽屜原理的形式 43.抽屜原理的構(gòu)造 53.1分割圖形構(gòu)造抽屜 53.2利用劃分數(shù)組來構(gòu)造抽屜 63.3利用劃分集合來構(gòu)造抽屜 63.4利用等分區(qū)間構(gòu)造抽屜 73.5利用奇偶性分類構(gòu)造抽屜 83.6利用狀態(tài)制構(gòu)造抽屜 84.抽屜原理的應用 94.1抽屜原理在數(shù)學中的應用 94.1.1解決代數(shù)問題 94.1.2解決數(shù)論問題 104.1.3解決幾何問題 114.2抽屜原理在生活中的應用 114.2.1手指紋和頭發(fā) 114.2.2電腦算命 124.2.3招生錄取 125.總結(jié) 13參考文獻 13摘要抽屜原理是組合數(shù)學中研究存在性問題的基本原理之一,也是非常規(guī)解題方法的重要類型之一，在數(shù)論和組合論中有著廣泛的應用。本文簡單介紹了抽屜原理的幾種形式，本文主要研究抽屜原理的抽屜構(gòu)造和原理的應用。構(gòu)造主要研究抽屜原理經(jīng)常使用的幾種構(gòu)造方式：分割圖形構(gòu)造法，整數(shù)性質(zhì)構(gòu)造法（同余類構(gòu)造法、劃分數(shù)組構(gòu)造法），間接轉(zhuǎn)換構(gòu)造法（染色體構(gòu)造法）。應用主要從數(shù)學領域的應用和現(xiàn)實生活中的應用兩大方面進行研究，數(shù)學領域方面主要應用于代數(shù)、數(shù)論、幾何等幾方面的解題，現(xiàn)實生活中大多數(shù)用于電腦算命，預測某些存在性的結(jié)果等等。關鍵詞：抽屜原理；“抽屜”的構(gòu)造；抽屜原理的應用

AbstractDrawerprincipleisamathematicalcombinationofproblemoftheexistenceofoneofthebasicprinciplesofnonconventionalproblemsolvingmethod,isalsooneoftheimportanttypesinnumbertheoryandcombinatorics,hasawiderangeofapplications.Thispaperbrieflyintroducestheprincipleofdrawerinseveralforms,Thispapermainlystudiestheprincipleofdrawerdrawerstructureandtheapplicationoftheprinciple.Tectonicresearchdrawerprincipleoftenuseseveralconstructionmethods:segmentationgraphconstructionmethod,constructionmethodofintegerproperties(congruenceclassconstructionmethod,constructionmethodofdividingthearray),indirectconversionmethodofconstruction(chromosomeconstructionmethod).Applicationmainlyfromthemathematicalfieldofapplicationandtherealityoflifeintheapplicationofthetwomajoraspectsofresearch,mathematicalfieldsmainlyusedinnumbertheory,algebra,geometryandsoonseveralaspectsoftheproblemsolving,inreallife,mostusedcomputerfortune-telling,predictsomeexistenceresultsetc.Keywords：DrawerPrinciple；"drawer"tectonicdrawer；principleapplication

1.引言抽屜原理又稱鴿巢原理、鞋箱原理或重疊原理，抽屜原理是離散數(shù)學中的一個重要原理，它是由德國著名數(shù)學家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet1805-1855)首先發(fā)現(xiàn)的，因此也叫作狄利克雷原理。抽屜原理簡單易懂，主要用于證明某些存在性或必然性的問題，不僅在數(shù)論、組合論以及集合論等領域中有著廣泛應用，在高等數(shù)學的其它幾門學科領域中也是解決問題的有效方法。本文將抽屜原理的解題思路拓展到高等數(shù)學的其他領域，有助于更好地理解抽屜原理，并舉例闡述了抽屜原理在現(xiàn)實生活中的應用。2.抽屜原理的形式什么是抽屜原理？先舉個簡單的例子說明，就是將3個球放入2個籃子里，無論怎么放，必有一個籃子中至少要放入2個球，這就是抽屜原理.或者假定一群鴿子飛回巢中，如果鴿子的數(shù)目比鴿巢多，那么一定至少有一個鴿籠里有兩只或兩只以上的鴿子，這也是鴿巢原理這一名稱的得來。抽屜原理簡單直觀，很容易理解。而這個看似簡單的原理在高等數(shù)學中有著很大的用處，對于數(shù)論、離散數(shù)學、高等代數(shù)以及抽象代數(shù)中的一些復雜問題，可以利用抽屜原理巧妙的解答出來。下面首先從抽屜原理的形式入手，然后再研究它在高等數(shù)學中的應用。我們最常用的抽屜原理只是抽屜原理的簡單形式，就是將n+1個元素或者更多的元素放入n個抽屜中，則至少有一個抽屜里放有兩個或兩個以上的元素。除了這種比較普遍的形式外，抽屜原理還經(jīng)許多學者推廣出其他的形式。陳景林、閻滿富在他們編著的《組合數(shù)學與圖論》一書中將抽屜原理抽象概括成以下三種形式[1]:原理1.把多于個的元素按任一確定的方式分成個集合，則一定有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素。原理2.把個元素任意放到個集合里，則至少有一個集合里至少有個元素，其中原理3.把無窮個元素按任一確定的方式分成有限個集合，則至少有一個集合中仍含無窮個元素。盧開澄在《組合數(shù)學》（第三版）中將抽屜原理（書中稱為鴿巢原理）又進行了推廣[2]。鴿巢原理：設k和n都是任意正整數(shù)，若至少有kn+1只鴿子分配在n個鴿巢中，則至少存在一個鴿巢中有至少k+1只鴿子。推論1.有m只鴿子和n個鴿巢，則至少有一個鴿巢中有不少于+1只鴿子。推論2.若將n(m-1)+1個球放入n個盒子里，則至少有一個盒子有m個球。推論3.若是n個正整數(shù)，而且r=，則中至少有一個數(shù)不小于r。另外，抽屜原理還可以用映射的形式來表示，即:設和是兩個有限集，如果>，那么對從到的任何滿射，至少存在,,使。3.抽屜原理的構(gòu)造通過了解抽屜原理的形式，我們可以利用它的特殊形式來解決不同的問題。首先，必須明確題目中應該以什么為抽屜，什么為物品。其次，構(gòu)造合適的抽屜，需要注意的是抽屜的數(shù)量一定要少于物品的數(shù)量。最后，運用抽屜原理解決問題。其中，最重要最有難度的就是如何構(gòu)造抽屜，構(gòu)造抽屜是運用抽屜原理解題的關鍵，下面介紹幾種常用的構(gòu)造抽屜的方法。3.1分割圖形構(gòu)造抽屜在一個幾何圖形內(nèi)有若干已知點，我們可以根據(jù)問題的要求把圖形進行適當?shù)姆指?，用這些分割成的圖形作為抽屜，再對已知點進行分類，集中對某一個或幾個抽屜進行進行討論，使問題得到解決。例1：在邊長為2米的正方形內(nèi)，任意放入13個點．求證：必有4個點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形的面積不超過1平方米。(1)(2)證明：把邊長為2米的正方形分割成面積為1平方米的4個小正方形，如圖1．因為13=3×4+1，所以由抽屜原理知，至少有4個點落在同一個面積為1平方米的小正方形內(nèi)（或邊上），以這4個點為頂點的四邊形的面積總小于或等于小正方形的面積，即以這4個點為頂點的四邊形的面積不超過1平方米。3.2利用劃分數(shù)組來構(gòu)造抽屜利用此方法解題的關鍵是要明確分組的“對象”,然后將這些對象分成適當?shù)臄?shù)組,再應用抽屜原理,問題便得以解決。例2：任意給定7個不同的整數(shù),求證:其中必有兩數(shù)之和或差是10的倍數(shù)。證明：設這7個不同的整數(shù)分別為,它們分別除以10后,得到的余數(shù)是從0到9中的一個數(shù)。(1)若這7個余數(shù)中有兩個數(shù)相同:設,則即存在兩數(shù)之差是的倍數(shù)。(2)若這7個余數(shù)中任何兩個都不同,由抽屜原理知,至少有一數(shù)被10除余數(shù)為6、7、8、9四個數(shù)中的一個。將余數(shù)為6的數(shù)與余數(shù)為4的數(shù)劃為一組,余數(shù)為7的數(shù)與余數(shù)為3的數(shù)劃為一組,余數(shù)為8的數(shù)與余數(shù)為2的數(shù)劃為一組,余數(shù)為9的數(shù)與余數(shù)為1的數(shù)劃為一組。于是便有,這7個不同的余數(shù),除0,5外,其余的必有一組數(shù)它們做和是10的倍數(shù)。3.3利用劃分集合來構(gòu)造抽屜例3：在1,4,7,10,13，…，100中任選出20個數(shù)，其中至少有不同兩組數(shù)，其和都等于104，試證明之。證明給定的數(shù)共有34個，其相鄰兩數(shù)的差均為3，我們把這些數(shù)分成如下18個不相交的集合且把它們看作是個抽屜，從已知的34個數(shù)中任選個數(shù)，即使把前兩個抽屜中的數(shù)1和52都取出，則剩下的個數(shù)在后面的個抽屜中至少有不同的兩個抽屜中的數(shù)全部被取出，這兩個抽屜中的數(shù)互不相同，每個抽屜中的兩個數(shù)的和都是104。3.4利用等分區(qū)間構(gòu)造抽屜所謂等分區(qū)間簡單的說即是：如果在長度為1的區(qū)間內(nèi)有多于個的點，可考慮把區(qū)間等分成個子區(qū)間，這樣由抽屜原理可知，一定有兩點落在同一子區(qū)間，它們之間的距離不大于.這種構(gòu)造法常用于處理一些不等式的證明。例4：已知11個數(shù),全滿足,證明必有兩個()滿足。證明如圖1，將實數(shù)軸上介于0與1那段(連同端點)等分為10小段(這10個小段也就是10個等分區(qū)間，即10個抽屜)，每一小段長為.由抽屜原理，11個點(數(shù))中至少有+1=2個點落在同一條小線段上，這兩點相應的數(shù)之差的絕對值。001圖1例5：任給7個實數(shù)，證明必存在兩個實數(shù)滿足01+.證明設七個實數(shù)為，作=(),顯然∈()，把()等分成六個區(qū)間：()，()，()，()，()，()，由抽屜原理，必有兩個屬于同一區(qū)間，不妨設為,而不論屬于哪個小區(qū)間都有，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，，不妨記，則=,而由知0，又因為有(),1+,從而有01+。對于給定了一定的長度或區(qū)間并要證明不等式的問題，我們常常采用等分區(qū)間的構(gòu)造方法來構(gòu)造抽屜，正如上面的兩個例子，在等分區(qū)間的基礎上我們便很方便的構(gòu)造了抽屜，從而尋找到了證明不等式的一種非常特殊而又簡易的方法，與通常的不等式的證明方法(構(gòu)造函數(shù)法，移位相減法)相比，等分區(qū)間構(gòu)造抽屜更簡易，更容易被人接受。3.5利用奇偶性分類構(gòu)造抽屜例6：平面上至少應給出幾個格點(也稱整點，即橫坐標、縱坐標都是整數(shù)的點)，才能使得其中至少有兩個點的連線的中點仍是一格點。證明設兩個格點的坐標為(),(),則連線的中點坐標()。易見，為保證中點坐標為整數(shù)，當且僅當與,與同奇偶；因此，可按奇偶性將所有格點的坐標分類，共有(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶)四種情況，把這四種情況看作抽屜，由抽屜原理，至少應給出5個格點，才能保證至少有兩點屬于同一類，從而才有兩點連線的中點是格點(結(jié)果是顯然的，證明從略)。3.6利用狀態(tài)制構(gòu)造抽屜例7：設有六點，任意三點不共線，四點不共面，如果把這六個點兩兩用直線聯(lián)系起來，并把這些直線涂以紅色或者藍色.求證：不論如何涂色，總可以找到三點，做成以它們?yōu)轫旤c的三角形，而這三角形三邊涂有相同的顏色。分析設已知六點為由于任三點不共線，所以任三點均可作為某三角形的三個頂點。證明從六個點中任取一點，將與其余五點相連得到五條線段，線段如下所示：這五條線段只有兩種顏色即紅色或者藍色，由抽屜原理知，至少有三條涂有同一種顏色.(顏色為抽屜，線段為元素)，不妨設涂有紅色，這時我們考察△。(1)若△中有一條紅色邊，如，則△為三邊同紅的三角形。(2)若△中無一條紅色邊，則△就是三邊均為藍色的三角形.抽屜構(gòu)造之巧妙，常令人驚嘆不已，拍案叫絕，抽屜的構(gòu)造方法也不勝枚舉，在這里我們旨在做到舉一反三.抽屜原理是組合數(shù)學中貌似平凡卻透著不平凡應用定理之一，是Ramsey定理的基礎，下面我們就來探討抽屜原理在高等數(shù)學和初等數(shù)學(競賽題)中的應用。4.抽屜原理的應用4.1抽屜原理在數(shù)學中的應用接下來，在了解了抽屜原理的基本形式以及多位學者所發(fā)展的推廣形式的基礎上，我們通過一些比較典型的實例來說明抽屜原理在高等數(shù)學中代數(shù)、數(shù)論、幾何這三個方面的應用。4.1.1解決代數(shù)問題用集合的語言抽屜原理可以敘述如下：（1）設個元素按任意確定方式分成有限個集合，那么至少有一個集合含有兩個元素。（2）設有無窮多個元素按任意確定方式分成有限個集合，那么至少有一個集合含有無窮多個元素。例1證明:有限群中的每個元素的階均有限。證明：設G為階有限群，任取a∈G，則由抽屜原理可知中必有相等的．不妨設于是有，從而a的階有限。例2：設A為階方陣，證明：存在證明：因為階方陣的秩只能是這個數(shù)之一，而的個數(shù)大于秩，從而，由抽屜原理知在中，存在滿足使秩（）=秩（）但秩（）秩（）…秩（）所以秩（）=秩（），得證4.1.2解決數(shù)論問題在初等數(shù)論中，很多問題都可以看作存在性問題，所以可以考慮利用抽屜原理進行解決。例3：令和為兩個互素的正整數(shù)，并令和為整數(shù)，且以及，則存在一個正整數(shù)，使得除以的余數(shù)是，并且除以的余數(shù)為，即可以寫成的同時又可以寫成的形式，這里和是整數(shù)。證明：為了證明這個結(jié)論考慮個整數(shù)，這些整數(shù)中的每一個除以都余．設其中的兩個除以有相同的余數(shù)．令這兩個數(shù)為和，其中．因此，存在兩整數(shù)和，使得及，這兩個方程相減可得。于是是的一個因子．由于和沒有除1之外的公因子，因此是的因子．然而，意味著，也就是說不可能是的因子．該矛盾產(chǎn)生于我們的假設：個整數(shù)中的兩個除以有相同的余數(shù)．因此這個數(shù)中的每一個數(shù)除以n都有不同的余數(shù)．根據(jù)抽屜原理，個數(shù)中的每一個作為余數(shù)都要出現(xiàn)，特別地，數(shù)也是如此．令為整數(shù)，滿足，且使數(shù)，除以余數(shù)為．則對于某個適當?shù)模?。因此且，從而具有所要求的性質(zhì)。4.1.3解決幾何問題抽屜原理在幾何問題中可以變形如下：如果長度為的線段上放置若干條長度大于之和大于的線段，則放置的線段中必有公共點。例4在邊長為1的正方形內(nèi)部，放置若干個圓，這些圓的周長之和等于10．證明：可以作出一條直線，至少與其中四個圓有交點。證明：將所有的已知圓投影到正方形的一條邊AB上．注意，周長為的圓周，其投影長為的線段．因此所有已知圓的投影長度之和等于，由于，所以由抽屜原理知，線段AB上必有一點X，至少被四條投影線段所覆蓋．即至少有四條投影線段有公共點．因此，過點X且垂直于AB的直線，至少與四個已知圓有交點。4.2抽屜原理在生活中的應用抽屜原理在日常生活中的應用其實也非常廣泛，比如前面提到的例5，再如一組多余366個人中一定有2個人的生日相同，80個人中至少有7個人生在同一個月等等，這樣的例子很多，下面介紹幾個有意思的例子。4.2.1手指紋和頭發(fā)據(jù)說世界上沒有兩個人的手指紋是一樣的，因此警方在處理犯罪問題時很重視手指紋，希望通過手指紋來破案或檢定犯人．可是在13億中國人當中，最少有兩個人頭發(fā)是一樣多的。這是因為，人的頭發(fā)數(shù)目是不會超過13億這么大的數(shù)目，假定人最多有N根頭發(fā)．現(xiàn)在我們編上號碼．其中表示由根頭發(fā)的那些人．現(xiàn)在假定每個都有一個人，那么還剩下“13億減N”個人，這數(shù)目不會等于零，我們現(xiàn)在隨便挑一個放進和他頭發(fā)相同的小組就行，他就會在里面遇到和他有相同頭發(fā)數(shù)目的人了。4.2.2電腦算命“電腦算命”看起來挺玄乎，只要你報出自己出生的年、月、日和性別．一按按鍵，屏幕上就會出現(xiàn)所謂性格、命運的句子，據(jù)說這就是你的“命”．這是科學的嗎？如果以70年算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數(shù)應為，我們把它作為抽屜數(shù)．我國現(xiàn)有人口13億，我們把它作為物體．由于，由抽屜原理，存在25441個以上的人，盡管他們的出身、經(jīng)歷、天資、機遇各不相同，但他們卻有完全相同的“命”，這真是荒謬絕倫。所謂“電腦算命”不過是把人為編好的算命語句像中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里，誰要算命，即根據(jù)出生的年、月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機械地到電腦上的各個“柜子”里取出所謂命運的句子．其實這充其量不過是一種電腦游戲而已。抽屜原理應用其實非常廣泛，除了之前介紹的幾個例子之外，抽屜原理在計算機上也有一定的應用，由于涉及一些計算機專業(yè)問題，本文不再詳細介紹。4.2.3招生錄取其實，抽屜原理不僅在數(shù)學中有用，在現(xiàn)實生活中也到處在起作用，如招生錄取、就業(yè)安排、資源分配、職稱評定等等，都不難看到抽屜原理的作用。下面簡單的舉幾個例子：370個同學中必有至少2個人的生日是同一天；4雙不同顏色的筷子中必須取出5枝筷子才能保證其中至少有一雙筷子是同顏色的；13個人中必有兩個人的生肖是一樣的等等。5.總結(jié)抽屜原理敘述起來比較簡單，因此本文將重點放在了抽屜原理的應用，尤其是構(gòu)造抽屜的幾種方法，這是靈活應用抽屜原理的關鍵．從上面的例子中，我們可以看到應用抽屜原理時一般分為三個步驟：構(gòu)成分類的對象有個元素；找出分類的規(guī)則，將個元素分成個抽屜，并證明每個抽屜中的元素符合題意；應用抽屜原理證明結(jié)論成立．應用抽屜原理解題要注意以下幾點：(1)題目中給出的元素(物品)具有任意性，分類也是任意的，所以不能用元素的一種特殊布局來代替元素的任意放置．(2)題目中給出的元素可能是實物，也可能是數(shù)、圖形、符號、方式或方法等，構(gòu)造抽屜，就是對這些元素有目的地進行分類、分組、分割等．(3)用抽屜原理解決的只是存在性問題，至于存在地點、存在多少，這都無關緊要．(4)應用抽屜原理解題的關鍵在于構(gòu)造抽屜．因為只有把抽屜確定了，才能明確元素的放置情況，從而才能進行應有的討論．構(gòu)造抽屜主要依賴于自身的經(jīng)驗和技巧，充分體現(xiàn)了個人解題思維的靈活性。參考文獻[1]曹汝成著.組合數(shù)學[M].華南理工大學出版社,2003:175[2]陳傳理，張同君.競賽數(shù)學教程（第二版）[M].高等教育出版社,2004[3]許胤龍，孫淑玲著.組合數(shù)學引論[M].第二版北京:中國科技大學出版社,2010:9[4]呂松濤．抽屜原理在數(shù)學解題中的應用[J].商丘職業(yè)技術(shù)學院報.2010.25[5]盧開澄,盧華明.組合數(shù)學(第三版)[M].北京:清華大學出版社,2002[6]王向東,周士藩等.高等代數(shù)常用方法[M].1989(11)[7]陳景林.抽屜原理及其應用[J].唐山師專學報,1999(9)[8]潘可為.抽屜原理及其應用[J].湖州師專學報,1993(5)基于C8051F單片機直流電動機反饋控制系統(tǒng)的設計與研究基于單片機的嵌入式Web服務器的研究MOTOROLA單片機MC68HC（8）05PV8/A內(nèi)嵌EEPROM的工藝和制程方法及對良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機的通用控制模塊的研究基于單片機實現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調(diào)節(jié)器單片機控制的二級倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強型51系列單片機的TCP/IP協(xié)議棧的實現(xiàn)基于單片機的蓄電池自動監(jiān)測系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機系統(tǒng)的圖像采集與處理技術(shù)的研究基于單片機的作物營養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機的交流伺服電機運動控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機的泵管內(nèi)壁硬度測試儀的研制基于單片機的自動找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機的液壓動力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機實現(xiàn)一種基于單片機的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機的噴油泵試驗臺控制器的研制基于單片機的軟起動器的研究和設計基于單片機控制的高速快走絲電火花線切割機床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機的機電產(chǎn)品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機的智能手機充電器基于單片機的實時內(nèi)核設計及其應用研究基于單片機的遠程抄表系統(tǒng)的設計與研究基于單片機的煙氣二氧化硫濃度檢測儀的研制基于微型光譜儀的單片機系統(tǒng)單片機系統(tǒng)軟件構(gòu)件開發(fā)的技術(shù)研究基于單片機的液體點滴速度自動檢測儀的研制基于單片機系統(tǒng)的多功能溫度測量儀的研制基于PIC單片機的電能采集終端的設計和應用基于單片機的光纖光柵解調(diào)儀的研制氣壓式線性摩擦焊機單片機控制系統(tǒng)的研制基于單片機的數(shù)字磁通門傳感器基于單片機的旋轉(zhuǎn)變壓器-數(shù)字轉(zhuǎn)換器的研究基于單片機的光纖Bragg光柵解調(diào)系統(tǒng)的研究單片機控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機的多生理信號檢測儀基于單片機的電機運動控制系統(tǒng)設計Pico專用單片機核的可測性設計研究基于MCS-51單片機的熱量計基于雙單片機的智能遙測微型氣象站MCS-51單片機構(gòu)建機器人的實踐研究基于單片機的輪軌力檢測基于單片機的GPS定位儀的研究與實現(xiàn)基于單片機的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機的時控和計數(shù)系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機和CPLD的粗光柵位移測量系統(tǒng)研究單片機控制的后備式方波UPS提升高職學生單片機應用能力的探究基于單片機控制的自動低頻減載裝置研究基于單片機控制的水下焊接電源的研究基于單片機的多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機的氚表面污染測量儀的研制基于單片機的紅外測油儀的研究96系列單片機仿真器研究與設計基于單片機的單晶金剛石刀具刃磨設備的數(shù)控改造基于單片機的溫度智能控制系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)基于MSP430單片機的電梯門機控制器的研制基于單片機的氣體測漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機的CAN/USB協(xié)議轉(zhuǎn)換器基于單片機和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測技術(shù)研究基于單片機的膛壁溫度報警系統(tǒng)設計基于AVR單片機的低壓無功補償控制器的設計基于單片機船舶電力推進電機監(jiān)測系統(tǒng)基于單片機網(wǎng)絡的振動信號的采集系統(tǒng)基于單片機的大容量數(shù)據(jù)存儲技術(shù)的應用研究基于單片機的疊圖機研究與教學方法實踐基于單片機嵌入式Web服務器技術(shù)的研究及實現(xiàn)基于AT89S52單片機的通用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于單片機的多道脈沖幅度分析儀研究機器人旋轉(zhuǎn)電弧傳感角焊縫跟蹤單片機控制系統(tǒng)基于單片機的控制系統(tǒng)在PLC虛擬教學實驗中的應用研究基于單片機系統(tǒng)的網(wǎng)絡通信研究與應用基于PIC16F877單片機的莫爾斯碼自動譯碼系統(tǒng)設計與研究基于單片機的模糊控制器在工業(yè)電阻爐上的應用研究基于雙單片機沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究與開發(fā)基于Cygnal單片機的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機的一體化智能差示掃描量熱儀系統(tǒng)研究基于TCP/IP協(xié)議的單片機與Internet互聯(lián)的研究與實現(xiàn)變頻調(diào)速液壓電梯單片機控制器的研究基于單片機γ-免疫計數(shù)器自動換樣功能的研究與實現(xiàn)基于單片機的倒立擺控制系統(tǒng)設計與實現(xiàn)單片機嵌入式以太網(wǎng)防盜報警系統(tǒng)基于51單片機的嵌入式Internet系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)單片機監(jiān)測系統(tǒng)在擠壓機上的應用MSP430單片機在智能水表系統(tǒng)上的研究與應用基于單片機的嵌入式系統(tǒng)中TCP/IP協(xié)議棧的實現(xiàn)與應用單片機在高樓恒壓供水系統(tǒng)中的應用HYPERLINK"/detail.htm?