2019年全國II卷文科數(shù)學(xué)高考真題及標(biāo)準(zhǔn)答案解析

2019年全國II卷文科數(shù)學(xué)高考真題及標(biāo)準(zhǔn)答案解析

高考高分必備：2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)。本試卷共5頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，則A∩B=A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.2.設(shè)z=i(2+i)，則z=A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i3.已知向量a=(2,3)，b=(3,2)，則|a-b|=A.2B.2C.52D.504.生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為2/3。5.在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測。甲：我的成績比乙高。乙：丙的成績比我和甲的都高。丙：我的成績比乙高。成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序為A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6.設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=e-1，則當(dāng)x<0時，f(x)=A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x7.設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α，β平行于同一條直線D.α，β垂直于同一平面8.若x1=π/3，x2=π/2是函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)兩個相鄰的極值點，則ω=2。9.若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓x2/9+y2/4=1的一個焦點，則p=9。二、填空題：13．最大值為6；14．平均正點率的估計值為0.981；15．B=120°；16．該半正多面體共有32個面，其棱長為2。三、解答題：17．（1）連接AE、BC、CC’，則BE⊥平面EB’C’，所以BE⊥平面ECC’，即BE⊥EC’。（2）由勾股定理得AB1=3，AE=2，所以AA1=√13。又因為ABCD是正方形，所以AB=BC=CD=DA=√13。設(shè)BE=x，則CE1=√13-x，CE=√(13-x^2)，C1D=2√13-x，DD1=√(52-4x^2)。由勾股定理得AE1=√(17-x^2)，所以A1E=√(52-4x^2)。由全等三角形可得BE1=DD1，所以x=1。所以BE=1，CE1=√12，CE=2，C1D=2√12，DD1=√44，AE1=√16，A1E=√44。所以四棱錐E-BB1C1的體積為V1=1/3×CE1×BE×CC1=2/3，四棱錐E-CC1D1的體積為V2=1/3×CE×BE×C1D=8/3，四棱錐E-A1DD1的體積為V3=1/3×A1E×AE×DD1=16/3。所以四棱錐E-BB1C1C的體積為V=V1+V2+V3=10。18．（1）因為a，b，c是等差數(shù)列，所以b=(a+c)/2。（2）因為△ABC是等腰三角形，所以∠A=(180-∠C)/2，∠B=(180-∠C)/2。所以sinA=sinB=sin((180-∠C)/2)=cos(C/2)。所以sinAsinB=sin^2(C/2)=(1-cosC)/2。所以sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA=2sinAsinB+sinCsin(A+B)=2sin^2(C/2)+sinCsinC=5/4。19．（1）因為f(0)=0，所以c1=0。（2）因為f(1)=1，所以c0+c1+c2+c3=1。（3）因為f’(0)=0，所以c2=0。（4）因為f’’(0)=0，所以2c3=0，即c3=0。所以c0+c1=1。又因為f(2)=1/2，所以c0+2c1+4c2+8c3=1/2。所以c0+2c1+4c2=1/2。解得c0=1/4，c1=3/4，c2=-1/8，c3=0。所以f(x)=1/4+3/4x-1/8x^2。20．設(shè)正方體的棱長為a，則它的對角線長為√3a。設(shè)正六面體的棱長為b，則它的對角線長為√6b。所以√3a=√6b，即b=a√2。所以正六面體的體積為V=6(b/2)^3=3a^3。所以V/a^3=3。21．（1）設(shè)第n項為an，第n+1項為an+1。則an+1=an+2n+1。所以an+1-an=2n+1。（2）設(shè)Sn=∑(i=1,n)ai，則S1=a1，Sn+1=Sn+an+1。所以Sn+1-Sn=an+1。所以Sn=∑(i=1,n)2i-1=n^2。所以a1+a2+…+a100=∑(i=1,100)(2i-1)=10000。22．（1）設(shè)正方體的棱長為a，則它的對角線長為√3a。設(shè)正八面體的棱長為b，則它的對角線長為√2b。所以√3a=√2b，即b=a√(3/2)。所以正八面體的體積為V=4(b/√2)^3/3=2a^3(3+2√2)/3。所以V/a^3=(3+2√2)/3。（2）因為正八面體有8個頂點，每個頂點都是正方體的頂點，所以正方體的頂點數(shù)為8。正方體的每個頂點都有3個棱，所以正方體的棱數(shù)為24。所以正八面體的棱數(shù)為3×8=24。所以正八面體的棱長為a√(3/2)。23．（1）因為ABCD是正方形，所以AC=BD=2√2。設(shè)EF=x，則AE=2-x，BF=2+x，DE=2-√2-x，CF=2-√2+x。因為ABCD和EFGH全等，所以EF=2√2-2x，GH=2√2+2x。所以EF+GH=4√2，即x=√2。所以EF=2√2-√2=√2，GH=2√2+√2=3√2。所以正方體的棱長為EF/2=√2/2，正八面體的棱長為GH/√2=3/2。（2）設(shè)正方體的棱長為a，則它的對角線長為√3a。設(shè)正八面體的棱長為b，則它的對角線長為√2b。所以√3a=√2b，即b=a√(3/2)。所以正八面體的體積為V=4(b/√2)^3/3=2a^3(3+2√2)/3。所以V/a^3=(3+2√2)/3。18.(1)由已知得$a_3=2a_2+16$,$a_2=2a_1$,所以$a_3=4a_1+16$,$a_4=8a_1+16$,$a_5=16a_1+16$,由此可以猜測$a_n=2^{n-2}a_1+16$,證明如下：假設(shè)$a_n=2^{n-2}a_1+16$成立，則$a_{n+1}=2a_n=2^{n-1}a_1+32=2^{(n+1)-2}a_1+16$,也成立，所以$a_n=2^{n-2}a_1+16$是等比數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式。(2)$b_n=\log_2a_n=\log_2(2^{n-2}a_1+16)=(n-2)\log_22+\log_2a_1+\log_216=(n-2)+\log_2a_1+4$,所以$\sum\limits_{n=1}^kb_n=(k-1)+k\log_2a_1+4k$。19.(1)產(chǎn)值增長率不低于$40\%$的企業(yè)比例為$\dfrac{14+7}{100}=21\%$，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為$\dfrac{2}{100}=2\%$。(2)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)的估計值為$\dfrac{-0.1+0.1\times24+0.3\times53+0.5\times14+0.7\times7}{100}=0.26$，標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為$\sqrt{\dfrac{(0.1-0.26)^2\times2+(0.3-0.26)^2\times24+(0.5-0.26)^2\times53+(0.7-0.26)^2\times14}{100}}\approx0.16$。20.(1)設(shè)焦距為$f$，則$f^2=a^2-b^2$，又$\trianglePOF$是等邊三角形，所以$PF=OF=\sqrt{a^2-f^2}$，$OP=a$，所以$\sqrt{a^2-f^2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$，解得$a=\sqrt{2}f$，代入$f^2=a^2-b^2$得$f=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$，所以離心率$e=\dfrac{f}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。(2)設(shè)$PF_1=PF_2=x$，則$F_1F_2=\sqrt{4a^2-x^2}$，所以$\dfrac{1}{2}x\sqrt{4a^2-x^2}=16$，解得$x=8\sqrt{2}$，代入$\sqrt{a^2-f^2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$得$a=\dfrac{16\sqrt{6}}{3}$或$a=-\dfrac{16\sqrt{6}}{3}$，由于$a>0$，所以$a=\dfrac{16\sqrt{6}}{3}$，代入$f^2=a^2-b^2$得$b=\dfrac{16\sqrt{2}}{3}$。21.(1)$f(x)=(x-1)\lnx-x+1$，$f'(x)=\lnx$，$f''(x)=\dfrac{1}{x}>0$，所以$x=e$是$f(x)$的唯一駐點，且$f(e)=0$，所以$x=e$是$f(x)$的唯一極值點。(2)$f(x)=0$等價于$(x-1)\lnx=x-1$，令$g(x)=(x-1)\lnx-x+1$，則$g'(x)=\lnx$，$g''(x)=\dfrac{1}{x}>0$，所以$g(x)$在$x>0$時單調(diào)遞增，且$g(1)=0$，所以$g(x)>0$當(dāng)且僅當(dāng)$x\neq1$，即$(x-1)\lnx>x-1$或$(x-1)\lnx<x-1$，兩邊同時除以$x^2$得到$\left(\dfrac{x-1}{x}\lnx\right)^2<\dfrac{1}{x^2}$或$\left(\dfrac{x-1}{x}\lnx\right)^2>\dfrac{1}{x^2}$，即$\left(\dfrac{x-1}{x}\lnx\pm\dfrac{1}{x}\right)<0$，所以$a=\dfrac{1}{e}$，$b=e$。6.格式錯誤已修正，文章已改寫：一棵樹的高度為12米，樹的頂端和樹的底部之間的距離是15米。如果從樹的底部到樹的頂端有一只松鼠，它沿著樹的高度上升，每爬升1米就向上移動0.5米，那么松鼠需要爬升多少米才能到達樹的頂端？解：松鼠需要爬升的總距離為15-12=3米，因為每爬升1米就向上移動0.5米，所以松鼠需要爬升6米才能到達樹的頂端。12.格式錯誤已修正，文章已改寫：在一個矩形的對角線上，有一條線段的長度是6，它被分成了兩個部分，其中一個部分的長度是3。那么這個矩形的面積是多少？解：設(shè)矩形的長為a，寬為b，則對角線的長度為√(a2+b2)。根據(jù)題意可得：(√(a2+b2))/2=3√(a2+b2)=6解得a2+b2=36，因此矩形的面積為a×b=18。14.格式錯誤已修正，文章已改寫：已知正弦函數(shù)y=sin(x)在區(qū)間[0,π/2]上的圖像如下：[圖像已省略]那么sin(3π/4)的值是多少？解：3π/4在區(qū)間[0,π/2]的對稱軸上，對稱軸的坐標(biāo)為π/4，因此sin(3π/4)等于sin(π-3π/4)，即sin(π/4)。根據(jù)圖像可得sin(π/4)=0.707，因此sin(3π/4)=0.707。16.格式錯誤已修正，文章已改寫：已知a=2，b=1/2，c=1/4，d=1/8，那么(a+b+c+d)2-(a2+b2+c2+d2)的值是多少？解：(a+b+c+d)2-(a2+b2+c2+d2)=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd代入a、b、c、d的值可得：2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd=2×2×(1/2)+2×2×(1/4)+2×2×(1/8)+2×(1/2)×(1/4)+2×(1/2)×(1/8)+2×(1/4)×(1/8)=26/8=13/4因此，(a+b+c+d)2-(a2+b2+c2+d2)的值為13/4。17.格式錯誤已修正，文章已改寫：已知四棱錐ABCD-1的底面ABCD是一個邊長為6的正方形，且ABCD-1的高為4。點E、F分別在AB、CD上，且EF=3。連接AE、BF，并交于點P。求四棱錐EPBF-1的體積。解：（1）由已知得，四棱錐ABCD-1的底面ABCD是一個邊長為6的正方形，高為4，因此ABCD-1的體積為V1=1/3×6×6×4=48。又因為AE=AB=3，所以△AEB是一個等腰直角三角形，∠AEB=45°。根據(jù)題意可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，因此AE=AB=3，AA1=2AE=6。作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BBC1C，且EF=AB=3。因此，四棱錐EPBF-1的高為EF=3，底面積為△PBF=1/2×BF×PF1=1/2×6×3=9，因此四棱錐EPBF-1的體積為V2=1/3×9×3=9。因此，四棱錐EPBF-1的體積為9。19.格式錯誤已修正，文章已改寫：一項調(diào)查顯示，100家企業(yè)中，產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)有21家，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)有2家。用樣本頻率分布估計總體分布，求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。解：（1）根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100家企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為21%，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)頻率為2%。用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為2%。（2）設(shè)這類企業(yè)的產(chǎn)值增長率為x，樣本平均數(shù)y為：y=(0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7)/100=0.3樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的估計值為：s=√[n/(n-1)×(∑(xi-y)2/n)]=0.17因此，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值分別為30%、17%。23．解：（1）當(dāng)$a=1$時，$f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1)$。當(dāng)$x\leqslant1$時，$f(x)=(1-x)x+(2-x)(x-1)=(x-1)^2$；當(dāng)$1<x\leqslant2$時，$f