均值不等式求最值(二)課件

已知兩正數(shù)□,○，若四個(gè)式子中有一個(gè)為常數(shù)，且□與○能夠相等，則其他三個(gè)式子有最值注1：此法非通法多元有優(yōu)勢(shì)小作抓“等”字大作“正常等”注2：書寫格式三因一果注3：常見題型明考暗考配湊連用嵌積重點(diǎn)1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)不等式概述概念性質(zhì)應(yīng)用解不等式證不等式求最值不等式的性質(zhì)(一)作用：變形化簡(jiǎn)不等式2.運(yùn)算性質(zhì)1.基本性質(zhì)(二)性質(zhì)：3.重要的不等式多多益善十四條文字背誦是關(guān)鍵1.基本性質(zhì)①大小的定義②對(duì)稱性③傳遞性⑴對(duì)一個(gè)不等式的運(yùn)算(變形)④加(減):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么ac<bc⑥方：2.運(yùn)算性質(zhì)正值可方奇無限⑵對(duì)多個(gè)不等式的運(yùn)算(變形)⑨同號(hào)可倒：⑧乘：注1.若2個(gè)不等式需進(jìn)行減(除)運(yùn)算，一般是轉(zhuǎn)換成加(乘)注2.若變量間具有約束關(guān)系時(shí)，等號(hào)沒有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可3.重要的(經(jīng)典)不等式⑩11均值不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)○=□時(shí)等號(hào)成立□2+○2≥±2□○

當(dāng)且僅當(dāng)□=○時(shí)等號(hào)成立若□,○∈R+,則21□○1+□○2□○+≤□2+○213柯西不等式

i：一般式

ii：向量式12三角形(絕對(duì)值)不等式|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|14排序不等式反序和≤亂序和≤順序和解不等式概述1.題型：二元不等式一元不等式抽象不等式含參不等式整式不等式分式不等式不等式組絕對(duì)值不等式根式不等式連不等式指數(shù)不等式對(duì)數(shù)不等式三角不等式線性規(guī)劃四成立……解不等式概述1.題型：3.一般的，不等式解集的端點(diǎn)值是方程的根2.解法：形法數(shù)法函數(shù)圖像線性規(guī)劃“純”不等式法函數(shù)(單調(diào)性)法標(biāo)根法解一元n次不等式一正二方三穿線奇穿偶切右上方上大下小中為等函數(shù)簡(jiǎn)圖是本質(zhì)解分式不等式1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法1.圖象(標(biāo)根)法：2.公式(口訣)法：口訣1：大于號(hào)要兩頭小于號(hào)要中間解一元二次不等式口訣2：一正二方三大頭無根大全小為空數(shù)形結(jié)合“或”字型書寫格式整體觀解不等式組通法:“截”成不等式組解連不等式特法:左右是常數(shù)時(shí)，可變形成高次不等式解絕對(duì)值不等式1.單絕對(duì)值號(hào)+右端常數(shù)型：2.單絕對(duì)值號(hào)+右端變量型：3.雙絕對(duì)值號(hào)型：1.數(shù)法：解根式不等式2.形法：①零點(diǎn)分段法②函數(shù)圖象法③絕對(duì)值幾何意義法大于號(hào)要中間,小于號(hào)要兩頭數(shù)法形法要靈活陷阱有三：①正值可方②Domain③“=”的取舍形法數(shù)法巧構(gòu)函數(shù)是關(guān)鍵上大下小中方程同底法取對(duì)數(shù)法其他法單調(diào)性法注：對(duì)數(shù)不等式要注意Domain解指對(duì)不等式解三角不等式（一）基礎(chǔ)型——背誦法1.若02.若03.若0,則4.若5.若,則,則,則,則數(shù)形結(jié)合周期性上大下小中方程（二）其他型——圖象法（一）基礎(chǔ)型——背誦法1.若02.若03.若0,則4.若5.若,則,則,則,則若x為銳角，則線性規(guī)劃簡(jiǎn)述點(diǎn)坐標(biāo)線方程面不等式形數(shù)1.含義：簡(jiǎn)言之，圖象法解二元不等式2.步驟：一面二線三找點(diǎn)來先去后為最值解析幾何的基礎(chǔ)1.直線對(duì)坐標(biāo)平面的劃分和2.類似直線,圓錐曲線也將坐標(biāo)平面劃分成兩個(gè)區(qū)域,將坐標(biāo)平面劃分成兩個(gè)半平面直線其坐標(biāo)必適合同一個(gè)不等式,位于同一半平面內(nèi)的點(diǎn)（同側(cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)）二元不等式與平面域注：直線劃分坐標(biāo)面先畫直線定邊線有等為實(shí)反為虛特點(diǎn)驗(yàn)證確定面左小右大A要正上大下小B要正(二元一次不等式表示平面域)1.直線型：常見的幾類目標(biāo)函數(shù)2.曲線型：3.其他型：①直線平移型：②直線旋轉(zhuǎn)型：③直線旋移型：④點(diǎn)線距離型：(a,b為常數(shù),截距……)(x0,y0為常數(shù),斜率……)(λ,μ為參量,截距……)(a,b,c為常數(shù),距離…)⑤圓伸縮型：(x0,y0為常數(shù),半徑…)⑥向量型：……已知兩正數(shù)□,○，若四個(gè)式子中有一個(gè)為常數(shù)，且□與○能夠相等，則其他三個(gè)式子有最值注1：此法非通法多元有優(yōu)勢(shì)小作抓“等”字大作“正常等”注2：書寫格式三因一果注3：常見題型明考暗考配湊連用嵌積重點(diǎn)1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)已知兩正數(shù)□,○，若四個(gè)式子中有一個(gè)為常數(shù)，且□與○能夠相等，則其他三個(gè)式子有最值注1：此法非通法多元有優(yōu)勢(shì)小作抓“等”字大作“正常等”注2：書寫格式三因一果注3：常見題型明考暗考配湊連用嵌積重點(diǎn)1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)練習(xí)1.小作抓“等”字：(3)(2013年湖南)已知【12】R+______(2)(2010年重慶)已知x＞0,y＞0,x+2y+2xy=8則x+2y的最小值是A．3B．4C．D．【B】(1)(2009年重慶)已知a＞0,b＞0,則的最小值是A．2 B．

C．4 D．5【C】(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是_____【9】練習(xí)2.此法非通法多元有優(yōu)勢(shì)(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是_____法1.消元法：故法1.1.⊿法：法1.2.導(dǎo)數(shù)法：…令則方程有正根……由ab=a+b+3得練習(xí)2.此法非通法多元有優(yōu)勢(shì)(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是_____由ab=a+b+3得故法1.3.最值定理法：當(dāng)且僅當(dāng),即a=3時(shí)等號(hào)成立所以ab的最小值是9i:當(dāng)a＞1時(shí),ii:當(dāng)0＜

a≤1時(shí),……舍練習(xí)2.此法非通法多元有優(yōu)勢(shì)(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是_____故函數(shù)與在第一象限相切時(shí)為最值…法2.根的分布：故原命題等價(jià)于x的方程：x2-(t-3)x+t=0有兩正根…法3.設(shè)k=ab，則設(shè)t=ab，則t-3=a+b由ab=a+b+3得圖象法：練習(xí)2.此法非通法多元有優(yōu)勢(shì)(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是_____,設(shè)法4.最值定理法：因故,又因ab=a+b+3即，解得t≥3或t≤1（舍）……練習(xí)3.大作“正常等”缺少要配湊析:

x+(1-2x)=1-x

不是常數(shù)解:

∵0<x<,∴1-2x>012當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立2x=(1-2x),即

x=

14(5)若

0<x<,求函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值x+(1-x)=12x+(1-2x)=1而故所求最大值為(6)求函數(shù)的最大值解：因即所以f(x)≤又因x>0，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立A．B．4C．D．5(7)(2011年重慶)已知a＞0,b＞0,a+b=2,則y=的最小值是法1.小作抓“等”字……?!法3.嵌積法:當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立練習(xí)4.嵌積法雖可柯西更簡(jiǎn)捷法2.消元法:……A．B．4C．D．5【C】(7)(2011年重慶)已知a＞0,b＞0,a+b=2,則y=的最小值是法3.嵌積法:當(dāng)且僅當(dāng)且a+b=2即時(shí)等號(hào)成立練習(xí)4.嵌積法雖可柯西更簡(jiǎn)捷……A．B．4C．D．5(7)(2011年重慶)已知a＞0,b＞0,a+b=2,則y=的最小值是法4.柯西不等式法:當(dāng)且僅當(dāng)……練習(xí)4.嵌積法雖可柯西更簡(jiǎn)捷，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍

(8)已知x＞0,y＞0,且嵌積法：因x＞0,y＞0,且故當(dāng)且僅當(dāng)且即