均值不等式求最值(二)課件

已知兩正數(shù)□,○，若四個式子中有一個為常數(shù)，且□與○能夠相等，則其他三個式子有最值注1：此法非通法多元有優(yōu)勢小作抓“等”字大作“正常等”注2：書寫格式三因一果注3：常見題型明考暗考配湊連用嵌積重點1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)不等式概述概念性質應用解不等式證不等式求最值不等式的性質(一)作用：變形化簡不等式2.運算性質1.基本性質(二)性質：3.重要的不等式多多益善十四條文字背誦是關鍵1.基本性質①大小的定義②對稱性③傳遞性⑴對一個不等式的運算(變形)④加(減):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么ac<bc⑥方：2.運算性質正值可方奇無限⑵對多個不等式的運算(變形)⑨同號可倒：⑧乘：注1.若2個不等式需進行減(除)運算，一般是轉換成加(乘)注2.若變量間具有約束關系時，等號沒有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可3.重要的(經(jīng)典)不等式⑩11均值不等式：當且僅當a=b=c時，“=”成立當且僅當○=□時等號成立□2+○2≥±2□○

當且僅當□=○時等號成立若□,○∈R+,則21□○1+□○2□○+≤□2+○213柯西不等式

i：一般式

ii：向量式12三角形(絕對值)不等式|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|14排序不等式反序和≤亂序和≤順序和解不等式概述1.題型：二元不等式一元不等式抽象不等式含參不等式整式不等式分式不等式不等式組絕對值不等式根式不等式連不等式指數(shù)不等式對數(shù)不等式三角不等式線性規(guī)劃四成立……解不等式概述1.題型：3.一般的，不等式解集的端點值是方程的根2.解法：形法數(shù)法函數(shù)圖像線性規(guī)劃“純”不等式法函數(shù)(單調(diào)性)法標根法解一元n次不等式一正二方三穿線奇穿偶切右上方上大下小中為等函數(shù)簡圖是本質解分式不等式1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法1.圖象(標根)法：2.公式(口訣)法：口訣1：大于號要兩頭小于號要中間解一元二次不等式口訣2：一正二方三大頭無根大全小為空數(shù)形結合“或”字型書寫格式整體觀解不等式組通法:“截”成不等式組解連不等式特法:左右是常數(shù)時，可變形成高次不等式解絕對值不等式1.單絕對值號+右端常數(shù)型：2.單絕對值號+右端變量型：3.雙絕對值號型：1.數(shù)法：解根式不等式2.形法：①零點分段法②函數(shù)圖象法③絕對值幾何意義法大于號要中間,小于號要兩頭數(shù)法形法要靈活陷阱有三：①正值可方②Domain③“=”的取舍形法數(shù)法巧構函數(shù)是關鍵上大下小中方程同底法取對數(shù)法其他法單調(diào)性法注：對數(shù)不等式要注意Domain解指對不等式解三角不等式（一）基礎型——背誦法1.若02.若03.若0,則4.若5.若,則,則,則,則數(shù)形結合周期性上大下小中方程（二）其他型——圖象法（一）基礎型——背誦法1.若02.若03.若0,則4.若5.若,則,則,則,則若x為銳角，則線性規(guī)劃簡述點坐標線方程面不等式形數(shù)1.含義：簡言之，圖象法解二元不等式2.步驟：一面二線三找點來先去后為最值解析幾何的基礎1.直線對坐標平面的劃分和2.類似直線,圓錐曲線也將坐標平面劃分成兩個區(qū)域,將坐標平面劃分成兩個半平面直線其坐標必適合同一個不等式,位于同一半平面內(nèi)的點（同側同號，異側異號）二元不等式與平面域注：直線劃分坐標面先畫直線定邊線有等為實反為虛特點驗證確定面左小右大A要正上大下小B要正(二元一次不等式表示平面域)1.直線型：常見的幾類目標函數(shù)2.曲線型：3.其他型：①直線平移型：②直線旋轉型：③直線旋移型：④點線距離型：(a,b為常數(shù),截距……)(x0,y0為常數(shù),斜率……)(λ,μ為參量,截距……)(a,b,c為常數(shù),距離…)⑤圓伸縮型：(x0,y0為常數(shù),半徑…)⑥向量型：……已知兩正數(shù)□,○，若四個式子中有一個為常數(shù)，且□與○能夠相等，則其他三個式子有最值注1：此法非通法多元有優(yōu)勢小作抓“等”字大作“正常等”注2：書寫格式三因一果注3：常見題型明考暗考配湊連用嵌積重點1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)已知兩正數(shù)□,○，若四個式子中有一個為常數(shù)，且□與○能夠相等，則其他三個式子有最值注1：此法非通法多元有優(yōu)勢小作抓“等”字大作“正常等”注2：書寫格式三因一果注3：常見題型明考暗考配湊連用嵌積重點1□○1+□○□○+□2+○2，，，§158均值不等式求最值(二)練習1.小作抓“等”字：(3)(2013年湖南)已知【12】R+______(2)(2010年重慶)已知x＞0,y＞0,x+2y+2xy=8則x+2y的最小值是A．3B．4C．D．【B】(1)(2009年重慶)已知a＞0,b＞0,則的最小值是A．2 B．

C．4 D．5【C】(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是_____【9】練習2.此法非通法多元有優(yōu)勢(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是_____法1.消元法：故法1.1.⊿法：法1.2.導數(shù)法：…令則方程有正根……由ab=a+b+3得練習2.此法非通法多元有優(yōu)勢(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是_____由ab=a+b+3得故法1.3.最值定理法：當且僅當,即a=3時等號成立所以ab的最小值是9i:當a＞1時,ii:當0＜

a≤1時,……舍練習2.此法非通法多元有優(yōu)勢(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是_____故函數(shù)與在第一象限相切時為最值…法2.根的分布：故原命題等價于x的方程：x2-(t-3)x+t=0有兩正根…法3.設k=ab，則設t=ab，則t-3=a+b由ab=a+b+3得圖象法：練習2.此法非通法多元有優(yōu)勢(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是_____,設法4.最值定理法：因故,又因ab=a+b+3即，解得t≥3或t≤1（舍）……練習3.大作“正常等”缺少要配湊析:

x+(1-2x)=1-x

不是常數(shù)解:

∵0<x<,∴1-2x>012當且僅當時等號成立2x=(1-2x),即

x=

14(5)若

0<x<,求函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值x+(1-x)=12x+(1-2x)=1而故所求最大值為(6)求函數(shù)的最大值解：因即所以f(x)≤又因x>0，當且僅當即時等號成立A．B．4C．D．5(7)(2011年重慶)已知a＞0,b＞0,a+b=2,則y=的最小值是法1.小作抓“等”字……?!法3.嵌積法:當且僅當且時等號成立練習4.嵌積法雖可柯西更簡捷法2.消元法:……A．B．4C．D．5【C】(7)(2011年重慶)已知a＞0,b＞0,a+b=2,則y=的最小值是法3.嵌積法:當且僅當且a+b=2即時等號成立練習4.嵌積法雖可柯西更簡捷……A．B．4C．D．5(7)(2011年重慶)已知a＞0,b＞0,a+b=2,則y=的最小值是法4.柯西不等式法:當且僅當……練習4.嵌積法雖可柯西更簡捷，求使不等式恒成立的實數(shù)m的取值范圍

(8)已知x＞0,y＞0,且嵌積法：因x＞0,y＞0,且故當且僅當且即