能控性、能觀性

關(guān)于能控性、能觀性第1頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三

古典中：C(s)既是輸出又是被控量(1)、C(s)肯定與R(s)有關(guān)系，(2)、C(s)肯定是可測(cè)量的，因此，只要滿足穩(wěn)定，肯定能控能觀現(xiàn)代中：被控制量是X（狀態(tài)變量）第2頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三問(wèn)題：1、每個(gè)狀態(tài)X(t)是否受u(t)控制2、狀態(tài)變量在系統(tǒng)內(nèi)部，能否通過(guò)觀測(cè)Y(t)來(lái)測(cè)量X(t)

第3頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三分析：1、x1與輸入u無(wú)關(guān)，不能控，x2能控，x1,x2不完全能控。2、y=x1+x2,x1或x2都能對(duì)y產(chǎn)生影響，通過(guò)y能確定x1或x2

，能觀測(cè)。3、能控能觀是最優(yōu)制和最優(yōu)估計(jì)的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。--第4頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.1線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性一、線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性（一）定義：對(duì)于系統(tǒng)若存在輸入信號(hào)u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)將系統(tǒng)的任意一個(gè)初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf),稱x(t)在t0時(shí)刻或[t0,tf]區(qū)間上是完全能控的，或稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻是能控的，否則不能控。（二）性質(zhì)線性時(shí)變系統(tǒng)方程的解第5頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三

意義：系統(tǒng)狀態(tài)x(t0)能控，即[t0,tf]區(qū)間上受u(t)控制。第6頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三

（三）能控性判據(jù)[定理3.1]系統(tǒng)∑(A(t),B(t),C(t))在t0時(shí)刻或[t0,tf]完全能控的充要條件是矩陣Φ(t0,t)*B(t)是行線性無(wú)關(guān)的（滿秩的、非奇異的）注意：1、某些狀態(tài)能控≠系統(tǒng)完全能控

2、系統(tǒng)完全能控→肯定狀態(tài)能控系統(tǒng)，如果存在分段連續(xù)的u(t)在[t0,tf]內(nèi)，將系統(tǒng)的任一x(t0)轉(zhuǎn)移到x(tf),稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控制的，或狀態(tài)能控的。若n個(gè)狀態(tài)變量中，至少有一個(gè)狀態(tài)變量不能控時(shí),稱系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控或不能控.二、線性定常系統(tǒng)的能控性（一）定義:對(duì)第7頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三

（二）能控性判別準(zhǔn)則:---三個(gè)定理[定理3.2]線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件是矩陣是滿秩的證明：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解第8頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三方程有解的充要條件是系數(shù)陣滿秩即第9頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三都與u有關(guān)，所以狀態(tài)完全能控，即能控第10頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3.2有系統(tǒng)如下，判斷其是否能控解：第11頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三故它是一個(gè)三角形矩陣，斜對(duì)角線元素均為1，不論a2、a1取何值，其秩為3，系統(tǒng)總是能控的。因此把凡是具有本例形式的狀態(tài)方程，稱之為能控標(biāo)準(zhǔn)型。第12頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三[定理3.3]若線性定常系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能控的充要條件是輸入矩陣B沒(méi)有任何一行的元素全部為零。[定理3.4]若A為約旦型，則系統(tǒng)能控的充要條件是（1）B中對(duì)應(yīng)于互異的特征值的各行，沒(méi)有一行的元素全為零。（2）B中與每個(gè)約旦塊最后一行相對(duì)應(yīng)的各行，沒(méi)有一行的元素全為零。第13頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3.4判斷下列系統(tǒng)的能控性第14頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三所以A為約旦陣，但有兩個(gè)相同特征值的約旦塊對(duì)應(yīng)b雖為最后一行全為0的元素行，仍不能控，可算出rank[M]<3.結(jié)論：系統(tǒng)的能控性，取決于狀態(tài)方程中的A和B。第15頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.2線性定常離散系統(tǒng)的能控性一、定義對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)x(k＋1）＝Gx(k)+Hu(k)如果存在控制信號(hào)序列u(k)、u(k+1)…u(n-1)，使得系統(tǒng)從第k步狀態(tài)x(k)開(kāi)始，能在第n步上達(dá)到零狀態(tài)（平衡狀態(tài)），即x(n)＝0，其中n為大于k的某一個(gè)有限正整數(shù)，稱系統(tǒng)在第k步上是能控的，x(k)稱為系統(tǒng)在第k步上的能控狀態(tài)。如果對(duì)于任一個(gè)k，第k步上的狀態(tài)x(k)都是能控狀態(tài)，則系統(tǒng)都完全能控，稱系統(tǒng)完全能控。第16頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三注意：控制信號(hào)序列有限，但規(guī)律和大小沒(méi)有限制二、判別準(zhǔn)則[定理3.5]線性定常離散系統(tǒng)∑

(G,H)狀態(tài)能控的充要條件是能控性矩陣證明：離散解：假設(shè)能控，經(jīng)n步，x(k)=x(n)=0第17頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三寫成其中[u(0)…u(n-1)]T為n個(gè)未知，方程有解的充要條件是系數(shù)陣滿秩，即說(shuō)明：形式上同連續(xù)系統(tǒng)，AB→GH第18頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3.5已知判斷是否能控解：說(shuō)明：也可把矩陣G化為對(duì)角形或約旦標(biāo)準(zhǔn)型后，按定理3.3、3.4判別系統(tǒng)是否能控。第19頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.3

線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性一、定義：系統(tǒng)如果對(duì)任意給定的u(t)，在有限觀測(cè)時(shí)間內(nèi)[t0~tf]內(nèi)測(cè)量值，就能唯一地確定x(t0),則稱x(t0)是能觀的，如果每個(gè)x(t0)是能觀，稱狀態(tài)完全能觀，簡(jiǎn)稱狀態(tài)能觀-第20頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、判別準(zhǔn)則[定理3.7]線性定常系統(tǒng)∑(A,B,C)狀態(tài)能觀測(cè)的充要條件是系統(tǒng)能觀測(cè)性與輸入向量無(wú)關(guān)，令u(t)=0,t0=0第21頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三可見(jiàn)，根據(jù)在[0,tf]量測(cè)的y(t),能將初始狀態(tài)x(0)唯一地確定下來(lái)地充要條件是第22頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3.8、若系統(tǒng)為試判斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性第23頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三第24頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三[定理3.8]若矩陣A有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件是輸出矩陣C沒(méi)有任何一列的元素全部為0。[定理3.9]若矩陣A為約旦型，則系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件是（1）輸出矩陣C中對(duì)應(yīng)于互異特征值的各列，沒(méi)有一列的元素全為0。（2）C中與每個(gè)約旦塊的第一列相對(duì)應(yīng)的各列，沒(méi)有一列的元素全為0。第25頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3.10下列的一些系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的第26頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三下列的系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的第27頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、線性定常離散系統(tǒng)的能觀測(cè)性（一）定義：當(dāng)u(k)給定，根據(jù)第i步，以及以后若干步對(duì)y(i),y(i+1)…y(n)的測(cè)量，就唯一地確定出第i步的x(i)，稱x(i)是能觀的。如果每個(gè)x(i)都能觀，稱狀態(tài)完全能觀，簡(jiǎn)稱狀態(tài)能觀。（二）判別準(zhǔn)則[定理3.10]線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)能觀測(cè)的充要條件是第28頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三[證明]假設(shè)觀測(cè)從第0步開(kāi)始，令u(k)＝0，則第29頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三第30頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三第31頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.5對(duì)偶原理一、線性系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系稱系統(tǒng)∑1

和∑2

是互為對(duì)偶的?！?是∑2

的對(duì)偶系統(tǒng)或∑2是∑1的對(duì)偶系統(tǒng)。第32頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三（二）對(duì)偶系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖特點(diǎn)第33頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三（1）輸入端與輸出端互換，信號(hào)傳遞方向相反（2）信號(hào)引出點(diǎn)和信號(hào)綜合點(diǎn)互換（3）對(duì)應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置（三）對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)互為轉(zhuǎn)置∑1圖表示用u1(t)控制y1(t)是“控制問(wèn)題”，∑2圖表示用輸出量去求輸出量，稱為“估計(jì)問(wèn)題”第34頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三對(duì)偶系統(tǒng)的特征值是相同二、對(duì)偶原理系統(tǒng)∑1(A1,B1,C1)和∑2(A2,B2,C2)是互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，則∑1

的能控性等價(jià)于∑2

的能觀性，∑2的能觀性等價(jià)于∑1

的能控性。或者說(shuō)，若∑1是狀態(tài)完全能控的（完全能觀的），則∑2是完全能觀的（完全能控的）證明：對(duì)∑2

而言，能控性判別矩陣的秩為n，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的。第35頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三說(shuō)明∑1

的能觀性判別矩陣N1的秩也為n，從而說(shuō)明∑1為完全能觀的。同理有即若∑2

的N2滿秩，∑2為完全能觀，則∑1

的M1亦滿秩而為狀態(tài)完全能控。第36頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.6線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解（1）當(dāng)系統(tǒng)不能控或不能觀測(cè)時(shí)，并不是所有狀態(tài)都不能控或不能觀測(cè)（可通過(guò)坐標(biāo)變換對(duì)狀態(tài)空間進(jìn)行分解。）（2）把狀態(tài)空間按能控性或能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。一、結(jié)構(gòu)分解舉例第37頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三由定理3.3知：x1,x2能控，x3,x4不能控由定理3.8知：x2,x3能觀測(cè)，x1,x4不能觀第38頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三系統(tǒng)有：（1）能控能觀（2）能控不能觀（3）不能控能觀（4）不能控不能觀四種情況結(jié)構(gòu)圖：第39頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三x1能控不能觀x2能觀能控x3不能控能觀x4不能控不能觀上述是通過(guò)變換把一個(gè)系統(tǒng)分解成4個(gè)子系統(tǒng)第40頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三第41頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、系統(tǒng)按能控性分解(一)定理3.10設(shè)系統(tǒng)∑(A,B,C)不能控，則rankM=rank[B,AB…An-1B]=r<n，必存在一非奇異矩陣T=Rc

，使得第42頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三則系統(tǒng)得狀態(tài)空間被分解成能控和不能控的兩部分第43頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三(二)變換矩陣T的求法：（1）從M=[B,AB…An-1B]中選擇r個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量（2）以（1）求得的列向量，作為T的前r個(gè)列向量，其余列向量可以在保持T為非奇異的情況下，任意選擇。(三)說(shuō)明：（1）系統(tǒng)按能控性分解后，其能控性不變。（2）系統(tǒng)按能控性分解后，其傳遞函數(shù)陣不變。第44頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解(一)定理3.11設(shè)系統(tǒng)∑(A,B,C)不能觀，則第45頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三原狀態(tài)方程被分解成能觀和不能觀測(cè)的兩部分(二)變換矩陣R0的求法：第46頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3.16設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判別其能觀性，若不是完全能觀的，將該系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行分解。解：系統(tǒng)的能觀性判別矩陣所以該系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的。第47頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三為構(gòu)造非奇異變換陣R0-1，取得其中R3,是在保證R0-1非奇異的條件下任意選取的。于是系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式變換為第48頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三第49頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三3.7系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)一、概念：根據(jù)給定的傳遞函數(shù)陣G(s)，求其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式(A,B,C,D)使其滿足C(SI-A)-1B+D=G(S)，稱該狀態(tài)空間表達(dá)式(A,B,C,D)為傳遞函數(shù)陣G(S)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。二、實(shí)現(xiàn)的目的是為了仿真（做模仿）通過(guò)模擬結(jié)構(gòu)圖，用積分器、加法器等（集成電路塊）連接試驗(yàn)，物理可實(shí)現(xiàn)條件為1、G(S)中的每一個(gè)元素Gij(S)的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)均為實(shí)常數(shù)。2、G(S)中每一個(gè)元素均為S的真有理分式函數(shù)第50頁(yè)，講稿共58頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、如何實(shí)現(xiàn)：狀態(tài)變量的選擇有無(wú)窮多組，實(shí)現(xiàn)的方法有無(wú)窮多。單變量系統(tǒng)可以根據(jù)G(S)直接寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。四、最小實(shí)現(xiàn)第51頁(yè)，講稿共58頁(yè)，20