一階倒立擺控制系統(tǒng)剖析

一階直線倒立擺系統(tǒng)姓名：班級：學(xué)號：-1-目錄摘要 3第一部分 單階倒立擺系統(tǒng)建模 4（一） 對象模型 4（二）電動(dòng)機(jī)、驅(qū)動(dòng)器及機(jī)械傳動(dòng)裝置的模型 6第二部分 單階倒立擺系統(tǒng)分析第三部分 單階倒立擺系統(tǒng)控制

711（一）內(nèi)環(huán)控制器的設(shè)計(jì) 11（二） 外環(huán)控制器的設(shè)計(jì) 14第四部分 單階倒立擺系統(tǒng)仿真結(jié)果 16系統(tǒng)的simulink 仿真 16-2-摘要：該問題源自對于娛樂型”獨(dú)輪自行車機(jī)器人”的控制，實(shí)驗(yàn)中對該系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)仿真，通過對該實(shí)物模型的理論分析與實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)研究，有助于實(shí)現(xiàn)對獨(dú)輪自行車機(jī)器人的有效控制?？刂评碚撝邪汛藛栴}歸結(jié)為“一階直線倒立擺控制問題”。另外，諸如機(jī)器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制、海上鉆井平臺(tái)的穩(wěn)定控制、飛機(jī)安全著陸控制等均涉及到倒立擺的控制問題。實(shí)驗(yàn)中通過檢測小車位置與擺桿的擺動(dòng)角，來適當(dāng)控制驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)拖動(dòng)力的大小，控制器由一臺(tái)工業(yè)控制計(jì)算機(jī)（IPC）完成。實(shí)驗(yàn)將借助于“ Simulink 封裝技術(shù)——子系統(tǒng)”，在模型驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，采用雙閉環(huán) PID控制方案，實(shí)現(xiàn)倒立擺位置伺服控制的數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)過程涉及對系統(tǒng)的建模、對系統(tǒng)的分析以及對系統(tǒng)的控制等步驟，最終得出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果不僅證明了 PID方案對系統(tǒng)平衡控制的有效性，同時(shí)也展示了它們的控制品質(zhì)和特性。第一部分 單階倒立擺系統(tǒng)建模-3-（一） 對象模型由于此問題為”單一剛性鉸鏈、兩自由度動(dòng)力學(xué)問題”，因此， 依據(jù)經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律即可滿足要求。如圖1.1所示，設(shè)小車的質(zhì)量為m0，倒立擺均勻桿的質(zhì)量為 m，擺長為2l，擺的偏角為，小車的位移為x，作用在小車上的水平方向上的力為F，O1為擺桿的質(zhì)心。圖1.1 一階倒立擺的物理模型根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度乘積等于作用于剛體主動(dòng)力對該軸力矩的代數(shù)和，則1）擺桿繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為JFylsinFxlcos（1-1）2）擺桿重心的水平運(yùn)動(dòng)可描述為md2Fx2(xslin)（1-2）dt3）擺桿重心在垂直方向上的運(yùn)動(dòng)可描述為d2（1-3）Fymgm2(clos)dt4）小車水平方向運(yùn)動(dòng)可描述為FFxm0d2x（1-4）dt2-4-由式（1-2）和式（1-4）得(m0 m)x m(lcos sin2 )F（1-5）由式（1-1）、式（1-2）和式（1-3）得(J m2l) mclos x mlgsin （1-6）整理式（1-5）和式（1-6），得2l(mJ2m)lsin222(Jml)Fmlsginx2m)222(Jml)(mmlcos022lsincos2m(mm)mlcosFm022202mlcos(mm)(Jml)

cos（1-7）lgsin因?yàn)閿[桿是勻質(zhì)細(xì)桿，所以可求其對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 因此設(shè)細(xì)桿擺長為2l，單位長度的質(zhì)量為 l，取桿上一個(gè)微段 dx，其質(zhì)量為m ldx，則此桿對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有Jl2ll3/3(ldx)x2l桿的質(zhì)量為m2ll所以此桿對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有 J

ml23由式（2-20）可見，一階直線倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為非線性微分方程組。為了便于應(yīng)用經(jīng)典控制理論對該控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，必須將其簡化為線性定常的系統(tǒng)模型。若只考慮 在其工作點(diǎn) 0 0附近（ 10 10）的細(xì)微變化，則可近似認(rèn)20為 sincos 1在這一簡化思想下，系統(tǒng)精確模型式（ 1-7）可簡化為(Jml2)Fm2l2gxm)mml2J(m00(m0 m)mlg mlF2J(m0 m) mm0l-5-若給定一階直線倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)為：小車的質(zhì)量m02kg；倒擺振子的質(zhì)量m1kg；；2倒擺長度2l0.6m重力加速度取g10m/s，則可得到進(jìn)一步的簡化模型為x0.44F3.33(1-8)0.4F12上式為系統(tǒng)的”微分方程模型”，對其進(jìn)行拉普拉斯變換可得系統(tǒng)的傳遞函G1(s)0.4(s)s212數(shù)模型為F(s)（1-9）X(s)1.1s2G210(s)s2(s)（二）電動(dòng)機(jī)、驅(qū)動(dòng)器及機(jī)械傳動(dòng)裝置的模型假設(shè)：選用日本松下電工 MSMA021型小慣量交流伺服電動(dòng)機(jī)，其有關(guān)參數(shù)如下：驅(qū)動(dòng)電壓：U=0~100V額定功率：N=200WP額定轉(zhuǎn)速：n=3000r/min轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J3106kgm2額定轉(zhuǎn)矩：TN0.64Nm最大轉(zhuǎn)矩：TM1.91Nm電磁時(shí)間常數(shù)：Tl=0.001s電機(jī)時(shí)間常數(shù)：Tm=0.003s經(jīng)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)變速后輸出的拖動(dòng)力為：F=0~16N；與其配套的驅(qū)動(dòng)器為：MSDA021A1A，控制電壓：UDA=（0~±）。10V若忽略電動(dòng)機(jī)的空載轉(zhuǎn)矩和系統(tǒng)摩擦， 就可以認(rèn)為驅(qū)動(dòng)器和機(jī)械傳動(dòng)裝置均為純比例環(huán)節(jié)，并假設(shè)這兩個(gè)環(huán)節(jié)的增益分別為 Kd和Km。對于交流伺服電動(dòng)機(jī)，其傳遞函數(shù)可近似為KvTmTls2 Tms 1由于是小慣性的電動(dòng)機(jī)，其時(shí)間常數(shù) Tl、Tm相對都很小，這樣可以進(jìn)一步將電動(dòng)機(jī)模型近似等效為一個(gè)比例環(huán)節(jié) Kv。綜上所述，電動(dòng)機(jī)。驅(qū)動(dòng)器。機(jī)械傳動(dòng)裝置三個(gè)環(huán)節(jié)就可以合成為一個(gè)比例環(huán)節(jié)-6-G(s) KdKvKm KsFmax16Ks1.6Umax10第二部分 單階倒立擺系統(tǒng)分析盡管上述數(shù)學(xué)模型系經(jīng)機(jī)理建模得出，但其準(zhǔn)確性（或正確性）還需運(yùn)用一定的理論方法加以驗(yàn)證，以保證以其為基礎(chǔ)的仿真實(shí)驗(yàn)的有效性。采用仿真實(shí)驗(yàn)的方法在MATLAB的Simulink圖形仿真環(huán)境下進(jìn)行模型驗(yàn)證試驗(yàn)，其原理如圖1.2所示。其中，上半部分為精確模型仿真圖，下半部分為簡化模型仿真圖。圖1.2 模型驗(yàn)證原理圖利用Simulink 壓縮子系統(tǒng)功能可將驗(yàn)證原理圖更加簡捷的表示為圖 1.3所示的形式。其中，由得到的精確模型和簡化模型的狀態(tài)方程，可得到 Fcn、Fcn1、Fcn2和Fcn3的函數(shù)形式為Fcn:(0.12*u[1]+0.036*sin(u[3])*power(u[2],2)-0.9*sin(u[3])*cos(u[3]))/(0.24-0.09*power(cos(u[3]),2))Fcn(1):(0.3*cos(u[3])*u[1]+0.09*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-6*sin(u[3]))/(0.09*power(cos(u[3]),2)-0.24)-7-Fcn(2):0.8*u[1]-0.6*u[3]Fcn(3):40*u[3]-2.0*u[1]圖1.3 利用子系統(tǒng)封裝后的框圖假定使倒立擺在（ 0,x 0）初始狀態(tài)下突加微小沖擊力作用，則依據(jù)經(jīng)驗(yàn)知，小車將向前移動(dòng)，擺桿降倒下。下面利用仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證正確數(shù)學(xué)模型的這一必要性質(zhì)。編制繪圖子程序：InvertedpendulumModeltestinopenloopSingnalsrecuperation將導(dǎo)入到xy.mat中的仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)讀出loadxy.matt=signals(1,:);%讀取時(shí)間信號f=signals(2,:);%讀取作用力F信號x=signals(3,:);%讀取精確模型中的小車位置信號q=signals(4,:);%讀取精確模型中的倒立擺擺角信號xx=signals(5,:);%讀取簡化模型中的小車位置信號qq=signals(6,:);%讀取簡化模型中的倒立擺擺角信號Drawingcontrolandx(t)responsesignals畫出在控制力的作用下的系統(tǒng)響應(yīng)曲線定義曲線的橫縱坐標(biāo)、標(biāo)題、坐標(biāo)范圍和曲線的顏色等特征-8-figure(1)%定義第一個(gè)圖形hf=line(t,f(:));%連接時(shí)間-作用力曲線gridon;xlabel(‘Time(s)’)%定義橫坐標(biāo)ylabel(‘Force（N）’)%定義縱坐標(biāo)axis([0100.12])%定義坐標(biāo)范圍axet=axes(‘position’，get(gca,‘position’),‘XAxisLocation’,‘bottom’,‘YAxisLocation’,’right’,’Color’,’None’,‘XColor’,’k’,’YColor’,’k’）;% 定義曲線屬性ht=line(t,x, ’color’,’r’,’parent’,axet);%連接時(shí)間-小車位置曲線ht=line(t,xx,’color’,’r’,’parent’,axet);%連接時(shí)間-小車速度曲線ylabel(‘Evolutionofthexposition(m)’)%定義坐標(biāo)名稱axis([0100.1])%定義坐標(biāo)范圍title(‘Responsexandx’’inthemetertoaf(t)pulseof0.1N’)%定義曲線標(biāo)題名稱gtext(‘\leftarrowf(t)’),gtext(‘x(t)\rightarrow’),gtext(‘\leftarrowx’’(t)’)drawingcontrolandtheta(t)responsesingalsfigure(2)hf=line(t,f(:));gridonxlabel(‘Time’)ylabel( ‘ForceinN’)axis([0100.12])-9-axet=axes(‘Position’,get(gca, ’Position’),‘XAxisLocation’,’bottom’,‘YAxisLocation’,’right’,’Color’,’None’,‘XColor’,’k’,’YColor’,’k’);ht=line(t,q, ‘color’,’r’,’parent’,axet);ht=line(t,qq, ’color’,’r’,’parent’,axet);ylabel( ‘Angleevolution(red) ’)axis([01-0.30])title （‘response\theta(t)and\theta ’’(t)inradtoaf(t)pulseof0.1N’）gtext( ‘\leftarrowf(t) ’),gtext( ‘\theta （t）\rightarrow ’),gtext(‘\leftarrow\theta ’’(t)’)執(zhí)行該程序的結(jié)果如圖 1.4所示。從中可見，在 0.1N的沖擊力作用下，擺桿倒下（ 由零逐步增大），小車位置逐漸增加，這一結(jié)果符合前述實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，故可以在一定程度上確認(rèn)該“一階倒立擺系統(tǒng)”的數(shù)學(xué)模型是有效的。同時(shí)，由圖中也可看出近似模型在 0.8s以前與精確模型非常接近，因此，也可以認(rèn)為近似模型在一定條件下可以表述原系統(tǒng)模型的性質(zhì)。-10-圖1.4 模型驗(yàn)證仿真結(jié)果第三部分 單階倒立擺系統(tǒng)控制由于一階倒立擺系統(tǒng)位置伺服控制的核心是“在保證擺桿不倒的條件下，使小車位置可控”。因此，依據(jù)負(fù)反饋閉環(huán)控制原理，將系統(tǒng)小車位置作為“外環(huán)”，而將擺桿擺角作為“內(nèi)環(huán)”，則擺角作為外環(huán)內(nèi)的一個(gè)擾動(dòng)，能夠得到閉環(huán)系統(tǒng)的有效抑制（實(shí)現(xiàn)其直立不倒的自動(dòng)控制）。剩下的問題就是如何確定控制器（校正裝置） D1(s)D1'(s)和D2(s)D2'(s)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。（一）內(nèi)環(huán)控制器的設(shè)計(jì)圖1.5反饋校正控制的系統(tǒng)內(nèi)環(huán)框圖-11-其中，Ks=1.6為伺服電動(dòng)機(jī)與減速機(jī)構(gòu)的等效模型控制器的選擇內(nèi)環(huán)系統(tǒng)未校正時(shí)的傳遞函數(shù)為

(s) 6.4F(s) s2 12對于內(nèi)環(huán)反饋控制器錯(cuò)誤！未找到引用源。 D2(s)可有PD，PI，PID三種可能的結(jié)構(gòu)形式，這里，不妨采用繪制各種控制器結(jié)構(gòu)下“系統(tǒng)根軌跡”的辦法加以分析比較，從之選出一種比較適合的控制器結(jié)構(gòu)。 各種控制器的開環(huán)傳函的傳遞函數(shù)分別為：6.4KpP:12s2PD:6.4KDs6.4Kps2126.4Kps6.4KIPI:s(s212)PID:6.4Kps26.4Kps6.4KIs(s212)在Matlab下輸入以下程序用“湊試”的方法畫根軌跡圖：num=[分子];den=[分母];xlabel('RealAxis');ylabel('ImagAxis');axis([橫、縱坐標(biāo)范圍]);title('RootLocus');grid;rlocus(num,den)下圖為各種控制器下的系統(tǒng)根軌跡：錯(cuò)誤！未找到引用源。-12-（a）PD （b）PD（c）PI d）PID從根軌跡不難發(fā)現(xiàn)，采用PD結(jié)構(gòu)的反饋控制器，結(jié)構(gòu)簡單且可保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定。所以，選定反饋控制器的結(jié)構(gòu)為 PD形式的控制器。2.控制器參數(shù)的選定首先暫定K 20。這樣可以求出內(nèi)環(huán)的傳遞函數(shù)為：KKsG2(s)201.60.412W2:s2KKsG2(s)D'2(s)0.411201.6s2(KP2SKd2)1212.8s212.8Kd2S12.8KP212Wn212.8Kp21212.8Kp21.94解得：D20.39s1.942Wn12.8Kd220.70712.8Kd20.39系統(tǒng)內(nèi)環(huán)傳遞函數(shù)為：W2(s)12.85s12.8s23.系統(tǒng)內(nèi)環(huán)的simulink仿真及結(jié)果-13-仿真結(jié)果為：（二） 外環(huán)控制器的設(shè)計(jì)W2(s)G112.81.1s21012.8(1.1s210)(s)s2s2(s25s12.8)s25s12.8可見，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可視為一個(gè)高階（4階）且?guī)в胁环€(wěn)定零點(diǎn)的“非最小相位系統(tǒng)”，為了便于設(shè)計(jì)，需要首先對系統(tǒng)進(jìn)行一些簡化處理。１.系統(tǒng)外環(huán)模型的降階（1）對內(nèi)環(huán)等效閉環(huán)傳遞函數(shù)的近似處理W2(s)12.8...........(1)s25s12.8-14-將高次項(xiàng)s2忽略，有W212.81..........(2)(s)12.80.39s5s1近似條件可由頻率特性導(dǎo)出，即W2(j)212.812.8)5(j)12.812.825j(j12.8由（