第24章解直角三角形檢測題及答案解析

第24章解直角三角形檢測題（本檢測題滿分:120分，時(shí)間：120分鐘）一、選擇題（每小題2分，共24分）1.計(jì)算：QUOTEA.QUOTEB.C.D.2.在直角三角形中，已知，，，則=()A.B.C.D.3.（2013·浙江溫州中考）如圖，在中，則的值是（）A.B.C.D.4.如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，則tanB=()QUOTE QUOTE C.QUOTE D.QUOTE5.如圖，Rt△ABC中，90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長為（）A. B. C.4第3題圖第3題圖第5題圖第5題圖6.在△ABC中，若三邊BC，CA，AB滿足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，則cosB=QUOTE（）A.B. C.D.7.已知，，點(diǎn),點(diǎn)F分別在射線AD，射線BC上，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，與相交于點(diǎn)，則（）A.B.C.D.第8題圖第8題圖第9題圖第7題圖第9題圖8.河堤橫斷面如圖所示，堤高BC=6m，迎水坡AB的坡比為1∶QUOTE，則AB的長為（）A.12m QUOTEm QUOTEm QUOTEm9.如圖，一個小球由地面沿著坡度的坡面向上前進(jìn)了10m，此時(shí)小球距離地面的高度為()A.5mB.2mC.4mD.m10.如圖，在菱形中，QUOTE，，QUOTE，則的值是()A．B．2C．D．AABC第12題圖直角三角形兩直角邊長之和為7，面積為6，則斜邊長為（）A.5B.QUOTEC.7D.QUOTE12.如圖，已知：45°＜∠A＜90°，則下列各式成立的是()A.B.QUOTEC.QUOTE D.二、填空題（每小題3分，共18分）13.比較大?。?（填“＞”“=”或“＜”）14.如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ACE=∠BAC,CE交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，若BC=2,則EF的長為.=1\*GB3①1ABC=2\*GB3②2ABC=1\*GB3①1ABC=2\*GB3②2ABC第17題圖第14題圖等腰三角形的腰長為2，腰上的高為1，則它的底角等于________．=1\*GB3①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若QUOTE，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖=2\*GB3②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是__________.QUOTE△ABC中，∠QUOTE90°，AB=2BC，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①sinA=；②cosB=；③tanA=QUOTE；④tanB=QUOTE，其中正確的結(jié)論是.（只需填上正確結(jié)論的序號）三、解答題（共78分）19.（8分）計(jì)算下列各題：(1)；（2）.20.(8分)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=QUOTE，求BC的長和tanB的值.第20題圖 第21題圖21.（10分）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）.有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向.（1）求點(diǎn)P到海岸線l的距離；（2）小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)點(diǎn)C處，此時(shí)，從B測得小船在北偏西15°C與點(diǎn)B之間的距離.（上述2小題的結(jié)果都保留根號）22.（10分）如圖，為了測量某建筑物CD的高度，先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前進(jìn)了100m，此時(shí)自B處測得建筑物頂部的仰角是45°.已知測角儀的高度是1.5m，請你計(jì)算出該建筑物的高度．（取≈1.732，結(jié)果精確到1m）23.（8分）如圖，在梯形中，，QUOTE，QUOTE．（1）求的值；（2）若長度為，求梯形的面積．24.（10分）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動中，小文在點(diǎn)C處測得樹的頂端A的仰角為37°，BC=20m，求樹的高度AB.（參考數(shù)據(jù)：，，）BBCA東西45°60°第25題圖第24題圖第24題圖25.（10分）如圖，在小山的東側(cè)QUOTE處有一熱氣球，以每分鐘QUOTE的速度沿著仰角為60°的方向上升，20min后升到QUOTE處，這時(shí)熱氣球上的人發(fā)現(xiàn)在的正西方向俯角為45°的QUOTE處有一著火點(diǎn)，求熱氣球的升空點(diǎn)與著火點(diǎn)QUOTE的距離（結(jié)果保留根號）.26.（14分）（2014·福州中考）如圖（1），點(diǎn)O在線段AB上，AO2，OB1，OC為射線，且∠BOC60，動點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.（1）當(dāng)t秒時(shí)，則OP，S△ABP；（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；（3）如圖（2），當(dāng)APAB時(shí)，過點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP∠B，求證：AQ·BP3.第26題圖

第24章解直角三角形檢測題參考答案1.C解析：QUOTE2.D解析：在中，∵，，∴，∴，∴.3.C解析：.4.B解析：如圖，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，則四邊形ABED是平行四邊形，∴BE=AD=6.第4題答圖第4題答圖∵AB⊥AC，∴DE⊥AC.∵CA是∠BCD的平分線，∴CD=CE.∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=∠DCA.∴CD=AD=6.∴BC=BE+CE=BE+CD=6+6=12.∴AC=QUOTE=QUOTE=8QUOTE.∴tanB=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.5.C解析：設(shè)BN的長為x，則AN=9x，由題意得DN=AN=9x.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以.在Rt△BND中，∠B=90°，由勾股定理得，即，解得.6.C解析：設(shè)QUOTE，則QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，所以△QUOTE是直角三角形，且∠QUOTE．所以在△ABC中，QUOTE．7.A解析：設(shè).由題意知，，∴.在中，，又，∴.根據(jù)條件還可以得出，，.A.在中，，∴，故選項(xiàng)A正確.B.，故選項(xiàng)B錯誤.C.，故選項(xiàng)C錯誤.D.∵，∴，故選項(xiàng)D錯誤.8.A解析：先由坡比的定義，得BC∶AC=1∶QUOTE.由BC=6m，可得AC=6QUOTEm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=QUOTE=12(m).9.B解析：設(shè)小球距離地面的高度為QUOTE則小球水平移動的距離為QUOTE所以QUOTE解得QUOTE10.B解析：設(shè)QUOTE又因?yàn)樵诹庑蜵UOTE中，QUOTE所以QUOTE所以QUOTE所以QUOTE由勾股定理知QUOTE所以QUOTE2QUOTE11.A解析：設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為QUOTE則QUOTE所以斜邊長QUOTE12.B解析：在銳角三角函數(shù)中僅當(dāng)∠QUOTE45°時(shí)，QUOTE，所以QUOTE選項(xiàng)錯誤；因?yàn)?5°＜∠A＜90°，所以∠B＜45°，即∠A＞∠B，所以BC＞AC，所以＞，即QUOTE，所以QUOTE選項(xiàng)正確，QUOTE選項(xiàng)錯誤；QUOTEQUOTE＞1，QUOTE＜1，所以QUOTE選項(xiàng)錯誤.13.＞解析：因?yàn)?，所以?14.解析：過F點(diǎn)作FG∥BC交AB于點(diǎn)G.∵在△ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，∴BD=CD=BC=1,∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°,AD⊥BC.∵∠ACE=∠BAC,∴∠CAD=∠ACE=15°,∴AF=CF.∵∠ACD=(180°－30°)÷2=75°,∴∠DCE=75°－15°=60°.在Rt△CDF中,CF==2,DF=CD·tan60°=.第14題答圖又AF=CF,∴AF=2.第14題答圖∵FG∥BC,∴GF∶BD=AF∶AD,即GF∶1=2∶(2+),解得GF=4－2,∴EF∶EC=GF∶BC,即EF∶(EF+2)=(4－2)∶2,解得EF=－解析：因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE所以QUOTE所以.16.15°或75°解析：如圖，QUOTE.在圖=1\*GB3①中，QUOTE，所以∠QUOTE∠QUOTE；在圖=2\*GB3②中，QUOTE，所以∠QUOTE∠QUOTE.第16題答圖第16題答圖BCD=2\*GB3②AABCD=1\*GB3①ABCD第17題答圖17.76解析：如圖，因?yàn)镼UOTE，所以QUOTECD=12，ABCD第17題答圖由勾股定理得QUOTE所以這個風(fēng)車的外圍周長為QUOTE18.②③④解析：因?yàn)椤螩=90°，AB=2BC，所以∠A=30°，∠B=60°，所以②③④正確.19.解：（1）（2）.20.分析：由sinA=QUOTE=QUOTE求出BC的長，根據(jù)勾股定理求出AC的長，利用tanB=QUOTE求出tanB的值.解：∵sinA=QUOTE=QUOTE，AB=10，∴BC=4.又∵AC=QUOTE=2QUOTE，∴tanB=QUOTE=QUOTE.21.分析:（1）如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)PD=QUOTEkm，根據(jù)AD+BD=2列方程求解.（2）過點(diǎn)B作BF⊥CA于點(diǎn)F，在Rt△ABF和Rt△BFC中解直角三角形求解.解：（1）如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，第21題答圖第21題答圖設(shè)PD=QUOTEkm，由題意可知∠PBD=45°，∠PAD=30°，∴在Rt△BDP中，BD=PD=QUOTEkm,在Rt△PDA中，AD=QUOTEPD=QUOTEkm.∵AB=2km，∴QUOTE=2.∴QUOTE=QUOTE=QUOTE1.∴點(diǎn)P到海岸線l的距離為（QUOTE）km.（2）如圖，過點(diǎn)B作BF⊥CA于點(diǎn)F.在Rt△ABF中，BF=AB·sin30°=2×QUOTE=1（km）.在△ABC中，∠C=180°QUOTE∠BACQUOTE∠ABC=45°.在Rt△BFC中，BC=QUOTEBF=QUOTE×1=QUOTE（km）.∴點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離為QUOTEkm.點(diǎn)撥：此題是解直角三角形在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，通過構(gòu)造直角三角形求解.當(dāng)利用勾股定理或銳角三角函數(shù)不能直接求解時(shí)，常采用作垂線、引入未知數(shù)（一般為待定的數(shù)）構(gòu)造方程求解.22.解：設(shè)QUOTE，則由題意可知QUOTE，QUOTEm．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝，∴，即3xQUOTE(x＋100)，解得xQUOTE50＋50.經(jīng)檢驗(yàn)QUOTE50＋50是原方程的解．∴QUOTE故該建筑物的高度約為QUOTE23.解：(1)∵QUOTE，∴∠QUOTE∠QUOTE.∵QUOTE∥QUOTE，∴∠QUOTE∠QUOTE∠QUOTE.在梯形QUOTE中，∵QUOTE，∴∠QUOTE∠QUOTE∠QUOTE∠QUOTE∵QUOTE，∴3∠QUOTE，∴∠QUOTE30°，∴QUOTE（2）如圖，過點(diǎn)QUOTE作QUOTE于點(diǎn)QUOTE.在Rt△QUOTE中，QUOTE?QUOTE∠QUOTE，QUOTE?QUOTE∠QUOTE，∴QUOTE在Rt△QUOTE中，QUOTE，∴梯形的面積為QUOTE24.分析：利用解直角三角形求線段長，首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義選取恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系式，然后把已知的數(shù)據(jù)代入計(jì)算.本題根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得tan37°＝，把，BC=20m代入tan37°＝中求出樹的高度AB.解:因?yàn)閠an37°＝，BC=20m，所以AB≈0.75×20＝15（m）.25.解：過點(diǎn)QUOTE作QUOTE于點(diǎn)QUOTE.QUOTE.因?yàn)椤螿UOTE，QUOTE300m，所以QUOTE300(－1)QUOTE即熱氣球的升空點(diǎn)QUOTE與著火點(diǎn)QUOTE的距離為300(－1)QUOTE26.（1）解：1，；（2）解：①∵∠A<∠BOC60，∴∠A不可能是直角.②當(dāng)∠ABP90時(shí)，如圖所示（第26題答圖（1）），∵∠BOC60，∴∠OPB30.∴OP2OB，即2t2.∴t1.第26題答圖（1）③當(dāng)∠APB90時(shí)，如圖所示（第26題答圖（2）），作PD⊥AB，垂足為D，則∠ADP∠PDB90.在Rt△POD中，∵∠POD=60，∴∠OPD=30.∵OP2t，∴ODt，PDt，AD2t，BD1t（△BOP是銳角三角形）.第26題答圖（2）方法一：BP2BD2+PD2=（1t）23t2，AP2AD2+PD2=(2t)23t2.∵BP2AP2AB2，∴(1t)23t2(2t)23t29，即4t2t20.解得t1，t2（舍去）.