激光諧振腔的模式計(jì)算研究

激光諧振腔模式研究的 MATLAB實(shí)現(xiàn)光信1001班劉吉祥U201013222摘要：諧振腔內(nèi)的模式計(jì)算是分析激光器輸出光束質(zhì)量的前提和基礎(chǔ)。 本文在matlab環(huán)境下，采用Fox_Li數(shù)值迭代法計(jì)算了條形腔、矩形腔、圓形腔、傾斜腔的自再現(xiàn)模的振幅分布和相位分布，并比較了腔形、菲涅爾數(shù)、初始光強(qiáng)分布、傾斜擾動(dòng)等因素對(duì)最終模式的影響，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。原理說(shuō)明設(shè)初始時(shí)刻在鏡I上有某一個(gè)場(chǎng)分布u1，則當(dāng)波在腔中經(jīng)第一次渡越而到達(dá)鏡II時(shí)，將在鏡II上形成一個(gè)新的場(chǎng)分布u2，場(chǎng)u2經(jīng)第二次渡越后又將在鏡I上形成一個(gè)新的場(chǎng)分布u3。每次渡越時(shí)，波都將因?yàn)檠苌鋼p失一部分能量，并引起能量分布變化，如此重復(fù)下去,,由于衍射主要是發(fā)生在鏡的邊緣附近，因此在傳播過(guò)程中，鏡邊緣附近的場(chǎng)將衰落得更快，經(jīng)多次衍射后所形成的場(chǎng)分布，其邊緣振幅往往都很小(與中心處比較)，具有這種特征的場(chǎng)分布受衍射的影響也將比較小。可以預(yù)期：在經(jīng)過(guò)足夠多次渡越之后，能形成這樣一種穩(wěn)態(tài)場(chǎng)：分布不再受衍射的影響，在腔內(nèi)往返一次后能夠“再現(xiàn)”出發(fā)時(shí)的場(chǎng)分布，即實(shí)現(xiàn)了模的“自再現(xiàn)”。光學(xué)中的惠更斯一菲涅爾原理是從理論上分析衍射問(wèn)題的基礎(chǔ)，該原理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表示是菲涅爾一基爾霍夫衍射積分。設(shè)已知空間任意曲面S上光波場(chǎng)地振幅和相位分布函數(shù)為u(x；y),由它所要考察的空間任一點(diǎn)P處場(chǎng)分布為u(x,y)，二者之間有以下關(guān)系式：u(x,y)=ik4■:u(x,y)=ik4■:Su(x',y')(1cosRdS式中，'為(x,y)與(x,y)連線的長(zhǎng)度，9為S面上點(diǎn)(x,y)處的法線和上述連線之間的夾角，ds?為S面上的面積元，k為波矢的模。本文采用Fox—Li數(shù)值迭代法實(shí)現(xiàn)了條形腔、矩形腔、圓形腔、傾斜腔的自再現(xiàn)模的形成。實(shí)現(xiàn)方案2.1條形腔條形腔是一種理想模型，即一個(gè)方向有限長(zhǎng)，而另一個(gè)方向上無(wú)限延伸的腔形，故只在長(zhǎng)度有限的那個(gè)方向上發(fā)生衍射現(xiàn)象，迭代公式為一維的菲涅爾一基爾霍夫衍射積分：

2r~. ik(xXu(x)二.'LeJKL:e2Lu(x)dx將條形腔的左鏡面S上沿著(-a,a)之間劃分N-1等分，則有N個(gè)點(diǎn)，每個(gè)區(qū)間為2a/(N-1)。右邊鏡面P上每一點(diǎn)的求解都需將左邊鏡面上的點(diǎn)逐點(diǎn)計(jì)算一遍并相加，如此循環(huán)迭代下去，最終會(huì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布。2.2矩形腔在矩形腔中，(x；y)與(x,y)連線的長(zhǎng)度可以表示為?=J^x)2(^y)2L2，經(jīng)過(guò)計(jì)算與推導(dǎo)可知：矩形腔的計(jì)算不需考慮整個(gè)面上的點(diǎn)的影響，可以按照x、y兩個(gè)方向分離變量為u(x,y)二u(x)u(y)，其中u(x)、u(y)的計(jì)算與條形腔相同。2.3圓形腔圓形腔的迭代思想與矩形腔相同，只是劃分與矩形腔不同。圓形腔是按照徑向和角向劃分，在極坐標(biāo)(r,①)下完成數(shù)值迭代，但在最后顯示的時(shí)候，需要將極坐標(biāo)還原成笛卡爾坐標(biāo)系。具體思路是：由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系， X=rCOS①，Y=rsin①，其中，r、①為極坐標(biāo)參量。將X、Y用相應(yīng)的極坐標(biāo)參量代換并代入衍射方程，得(4)加p{_掘+"-也c叫-心彳収(F］沖J?dri曲*(4)為了分離變量，對(duì)圓形鏡諧振腔，其場(chǎng)分布函數(shù)經(jīng)常采用如下形式:蟄⑺切=心⑺嚴(yán)(5)式中：p式中：p表示場(chǎng)分布在徑向的變化；f表示場(chǎng)分布按方位角以不同的正弦或余弦方式變化。將式⑸代入式⑷，可得：式中，右邊積分可以分離為①和r的積分，方括號(hào)內(nèi)①的積分可以仿照?qǐng)A形鏡共焦腔來(lái)進(jìn)行，利用積分關(guān)系式中，Ji為I階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)。再將式（7）代入式⑹，可以將方程⑹化簡(jiǎn)為只含徑向的本征方程：皿（巾）=壬嚴(yán)叮川（學(xué)）「耶仙數(shù)值迭代開(kāi)始前需要給定初始的場(chǎng)分布尺，對(duì)TEM）模，設(shè)初始場(chǎng)分布為均勻平面波，將OWr<a等分為N個(gè)點(diǎn)，令Rl（「）=1,即鏡面上各點(diǎn)振幅均為1用⑴■I代（》壬嚴(yán)⑴叮円（字卜用“比敗畸⑷M令嚴(yán)⑴叮川字卜用比"禹（9）>1■rKV1（rj=壬嚴(yán)（；學(xué)艸：《rt）r.叭h=oxp[■ （f；*廠：）/2L]第q次迭代后，r1,r2,,rN各點(diǎn)本征值為00)2.4傾斜腔嚴(yán)格的平行平面腔只是一種理想情況，實(shí)際情況下出現(xiàn)一定的不平行性是不可避免的，這里主要考察傾斜條形腔對(duì)自再現(xiàn)模的影響，如圖 3所示：

圖3傾斜平行平面腔的示意圖兩個(gè)鏡面相對(duì)其理想位置（即兩鏡面與其公共軸線嚴(yán)格垂直的位置）沿相反方向偏離同樣大小的微小角度B,在鏡的邊緣處與理想位置的偏離線度3。在S甚小的情況下，且只考慮腔的旁軸光線，鏡面上兩點(diǎn)的距離M1M2與理想情況下相應(yīng)兩點(diǎn)的距離M1M之差為：K-M1M2-M1M2「：(xX)二一(xx),故卜=M1M2二M1M2—(xx),a a于是衍射積分方程變?yōu)?2aJk土e2L2aJk土e2L-_a_i^-(xx)?u（x）dx，類(lèi)似于條形腔，可以計(jì)算出傾斜條形腔的自再現(xiàn)模。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析3.1 激光諧振腔模式的各種分析方法的比較特征向量矩陣法，F(xiàn)ox—Li數(shù)值迭代法、厄米一高斯展開(kāi)法、快速傅立葉變換法（FFT、有限差分法（FDM和有限元法（FEM。特別是Fox—Li數(shù)值迭代方法，

它是一種模式數(shù)值求解中普遍適用的一種方法， 只要取樣點(diǎn)足夠多，它可以用來(lái)計(jì)算任何形狀開(kāi)腔的自再現(xiàn)模，而且還可以計(jì)算諸如平行平面腔中腔鏡的傾斜、鏡面的不平整性等對(duì)模的擾動(dòng)。其缺點(diǎn)是在菲涅耳數(shù)F很大時(shí)，計(jì)算工作量很大。特征向量法是對(duì)腔鏡進(jìn)行有限元單元?jiǎng)澐值?，?gòu)造光束傳輸矩陣，通過(guò)求解特征矩陣的特征向量，即可獲得腔鏡光場(chǎng)分布的振幅和相位分布。矩陣運(yùn)算時(shí)間與矩陣維數(shù)有著近似平方的關(guān)系，二維衍射積分方程的傳輸矩陣的維數(shù)高，計(jì)算需要數(shù)小時(shí)甚至數(shù)天的時(shí)間，對(duì)于大菲涅耳系數(shù)的諧振腔計(jì)算難度更大。3.2菲涅爾數(shù)對(duì)結(jié)果的影響2對(duì)于條形腔，菲涅爾數(shù)F定義為：F=a/4。菲涅爾數(shù)越大，衍射損耗越小。當(dāng)諧振腔的菲涅爾數(shù)較大時(shí)，低階模式和高階模式的衍射損耗非常接近，以至于高階模在有限的迭代次數(shù)下不能有效地消除；而諧振腔的菲涅耳數(shù)比較小時(shí)，咼階模具有更咼的顏色損耗，從而更能有效地抑制咼階模振蕩。下圖依次為條形腔菲涅爾數(shù)F=0.9，2.5，10時(shí)，自再現(xiàn)模的振幅分布和相位分布的比較。

從圖中可以看出，對(duì)于大菲涅爾數(shù)腔而言，振幅分布在鏡邊緣處的值很小，相位分布在鏡中心區(qū)域可近似看成平面波分布；菲涅爾數(shù)越小 ，場(chǎng)分布曲線上的起伏越小，曲線越趨于平滑，振幅分布曲線越接近于標(biāo)準(zhǔn)高斯分布，相位分布曲線則越接近于球面波分布。由于平行平面腔的基模振幅分布就是高斯分布，相位分布越接近于球面波分布，故可以得出結(jié)論：在小菲涅爾數(shù)情況下，高階模的損耗比基模大得多。3.3腔鏡的傾斜擾動(dòng)對(duì)最終模式的影響實(shí)際上的諧振腔很難做到完全平行，而是有一定的傾斜量。在計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)二’/50時(shí)就很難達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布（本實(shí)驗(yàn)中，穩(wěn)態(tài)分布的判據(jù)是：歸一化后，前后兩次對(duì)應(yīng)點(diǎn)的差值均小于0.0001），&=九/100、6=h/200、?=■/400到達(dá)穩(wěn)態(tài)分布的迭代次數(shù)分別為945、426、305,可見(jiàn)傾斜線度越大，越難達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布。3.4 圓鏡腔與矩形腔的迭代輸出結(jié)果的比較

F=2.5，上圖為矩形腔，下圖為圓鏡腔。從圖中可以看出，腔鏡的形狀決定了自再現(xiàn)模的分布情況。在腔鏡中心附近，這兩種腔的穩(wěn)態(tài)分布都接近于平面波，且矩形腔的分布范圍更大一些，這是由于矩形腔的衍射損耗更大一些，更易達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布；圓形鏡的橫模形狀為圓形分布，方形鏡的橫模分布為“十字架”形狀，而有一定長(zhǎng)寬比的矩形鏡的橫模分布為長(zhǎng)條狀，當(dāng)長(zhǎng)寬比趨于無(wú)窮時(shí)，分布便趨近于條形腔了。因此在實(shí)際應(yīng)用中，若要改變光束的橫模分布或者控制光束質(zhì)量，可以采用改變腔鏡形狀的方法。3.5不同初始場(chǎng)分布的改變對(duì)自再現(xiàn)模的影響在前面的討論中，所有光場(chǎng)的初始分布均采用平行分布（即腔鏡上每一點(diǎn)的初始振幅、相位均相等）。圖7中展示了初始隨機(jī)分布和平行分布的比較，上面三幅圖依次為初始隨機(jī)分布迭代0次、2次和穩(wěn)態(tài)的振幅分布，下面三幅圖依次為初始平行分布迭代0次、2次和穩(wěn)態(tài)時(shí)的振幅分布。上下比較可知，在只經(jīng)過(guò)2次迭代之后，二者的振幅分布就已經(jīng)很接近了，因此最終的穩(wěn)態(tài)分布也是一樣的，條形腔、圓形腔的結(jié)果也是如此。由此可以知道，激光諧振腔的自再現(xiàn)模的分布與光場(chǎng)的初始分布無(wú)關(guān)，只與腔的結(jié)構(gòu)有關(guān)，這也解釋了激光的起振過(guò)程：初始光為由自發(fā)輻射產(chǎn)生的非相干光（相當(dāng)于隨機(jī)分布），在經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次來(lái)回傳播之后，形成特定的模場(chǎng)分布，即相干光。3.6諧振腔各種參數(shù)的改變對(duì)迭代結(jié)果的影響對(duì)于條形腔，主要參數(shù)為腔長(zhǎng)L、波長(zhǎng)入、腔鏡長(zhǎng)度a。這三個(gè)參數(shù)的改變會(huì)引起菲涅爾數(shù)的變化，可見(jiàn)3.2中的解釋?zhuān)F(xiàn)在討論在不改變菲涅爾數(shù)時(shí)，對(duì)迭代結(jié)果的影響，取菲涅爾數(shù)F=6.25，只要菲涅爾數(shù)不變，改變L與a的相對(duì)大小對(duì)迭代結(jié)果幾乎沒(méi)有影響，可以這樣解釋?zhuān)篎ox_Li數(shù)值迭代法的原理是衍射積分法，而菲涅爾數(shù)剛好衡量了衍射的情況，故在菲涅爾數(shù)不變的情況下，改變諧振腔的參數(shù)，迭代的最終結(jié)果仍然保持不變。3.7其他情況對(duì)迭代結(jié)果的影響其他還有很多因素對(duì)迭代結(jié)果有較大影響， 比如劃分點(diǎn)的個(gè)數(shù)、收斂判據(jù)的考慮等等。對(duì)于劃分點(diǎn)數(shù)，當(dāng)然是越多越精確，最終誤差積累的越少，但是點(diǎn)數(shù)太多會(huì)降低運(yùn)算速度，圓形腔的時(shí)候最明顯，因此要選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)數(shù)，兼顧精度與效率：對(duì)于條形腔，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)劃分點(diǎn)數(shù)大于30時(shí)，就能夠得到比較令人滿意的迭代結(jié)果。本實(shí)驗(yàn)的收斂判據(jù)是：歸一化后，前后兩次對(duì)應(yīng)點(diǎn)的差值均小于0.