江蘇省泰州市姜堰區(qū)“八校聯(lián)盟”2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．書(shū)架上有2本數(shù)學(xué)書(shū)和2本語(yǔ)文書(shū)，從這4本書(shū)中任取2本，那么互斥但不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“都是語(yǔ)文書(shū)”B．“至少有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“至多有1本語(yǔ)文書(shū)”C．“恰有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“恰有2本數(shù)學(xué)書(shū)”D．“至多有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“都是語(yǔ)文書(shū)”2．將一個(gè)底面半徑和高都是的圓柱挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，剩余部分的體積記為，半徑為的半球的體積記為，則與的大小關(guān)系為()A． B． C． D．不能確定3．的值為（）A．1 B． C． D．4．在等差數(shù)列中，若，則（）A． B． C． D．5．(2016高考新課標(biāo)III，理3)已知向量,則ABC=A．30 B．45 C．60 D．1206．我國(guó)古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長(zhǎng)5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤7．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）8．已知都是正數(shù),且，則的最小值等于A． B．C． D．9．已知直線傾斜角的范圍是，則此直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．10．函數(shù)的圖像（）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)表面積為的球，若，則的最大值是_______.12．若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值是_____.13．在數(shù)列中，，，若，則的前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為_(kāi)_________．14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，那么使其前項(xiàng)和最小的是______.15．如圖，在直角梯形中，//是線段上一動(dòng)點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______．16．已知數(shù)列是等差數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．18．若，討論關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù).19．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，.（1）求；（2）求的長(zhǎng).20．已知數(shù)列滿足，令（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

兩個(gè)事件互斥但不對(duì)立指的是這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，也可以都不發(fā)生，逐一判斷即可【詳解】對(duì)于A：“至少有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“都是語(yǔ)文書(shū)”是對(duì)立事件，故不滿足題意對(duì)于B：“至少有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“至多有1本語(yǔ)文書(shū)”可以同時(shí)發(fā)生，故不滿足題意對(duì)于C：“恰有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“恰有2本數(shù)學(xué)書(shū)”互斥但不對(duì)立，滿足題意對(duì)于D：“至多有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“都是語(yǔ)文書(shū)”可以同時(shí)發(fā)生，故不滿足題意故選：C【點(diǎn)睛】本題考查互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的判斷，考查互斥事件、對(duì)立事件的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．2、C【解析】

根據(jù)題意分別表示出，通過(guò)比較?！驹斀狻克?，選C?！军c(diǎn)睛】，，。記住這幾個(gè)公式即可，屬于基礎(chǔ)題目。3、A【解析】

利用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化到，然后直接計(jì)算出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正切誘導(dǎo)公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用，難度較易.注意：.4、B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則答案易求.【詳解】在等差數(shù)列中，因?yàn)?，所?所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.在等差數(shù)列中，若，則.特別地，若，則.5、A【解析】試題分析：由題意，得，所以，故選A．【考點(diǎn)】向量的夾角公式．【思維拓展】（1）平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；（2）由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知，，，因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長(zhǎng)度、角度、垂直等有關(guān)的問(wèn)題．6、D【解析】

直接利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因?yàn)槊恳怀叩闹亓繕?gòu)成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前5項(xiàng)和為．即金錘共重15斤，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，意在考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【詳解】∵，∴，故選C.【點(diǎn)睛】考查并集的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

,故選C.9、B【解析】

根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€傾斜角的范圍是,又直線的斜率,.故或.故.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線斜率與傾斜角的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,關(guān)于直線對(duì)稱來(lái)解題.【詳解】解：令,得,所以對(duì)稱點(diǎn)為.當(dāng),為,故B正確；令,則對(duì)稱軸為,因此直線和均不是函數(shù)的對(duì)稱軸.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題.正弦函數(shù)根據(jù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,關(guān)于直線對(duì)稱.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)已知可得直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，代入球的表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)?，所?可得的內(nèi)切圓的半徑為，又由，故直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，所以此時(shí)的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直三棱柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及組合體的性質(zhì)和球的表面積的計(jì)算，著重考查了空間想象能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.12、4【解析】試題分析：由于根據(jù)題意x,y滿足的關(guān)系式，作出可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y在邊界點(diǎn)（2，0）處取到最小值z(mì)=2×2+3×0=4，故答案為4.考點(diǎn)：本試題主要考查了線性規(guī)劃的最優(yōu)解的運(yùn)用．點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是解決線性規(guī)劃的小題時(shí)，常用“角點(diǎn)法”，其步驟為：①由約束條件畫(huà)出可行域?②求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)?④驗(yàn)證，求出最優(yōu)解.13、【解析】

解法一：利用數(shù)列的遞推公式，化簡(jiǎn)得，得到數(shù)列為等差數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到，，得出所以，，，，進(jìn)而得到結(jié)論；解法二：化簡(jiǎn)得，令，求得，進(jìn)而求得，再由，解得或，即可得到結(jié)論．【詳解】解法一：因?yàn)棰偎寓冢佗?，得即，所以?shù)列為等差數(shù)列．在①中，取，得即，又，則，所以．因此，所以，，，所以，又，所以時(shí)，取得最大值．解法二：由，得，令，則，則，即，代入得，取，得，解得，又，則，故所以，于是．由，得，解得或，又因?yàn)?，，所以時(shí)，取得最大值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及數(shù)列的最值問(wèn)題的求解，此類題目是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，合理利用數(shù)列的性質(zhì)是關(guān)鍵，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等，屬于中檔試題.14、5【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，判斷開(kāi)口方向，計(jì)算出對(duì)稱軸，即可得出答案?！驹斀狻恳?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和為關(guān)于的二次函數(shù)，又因?yàn)?，所以其?duì)稱軸為，而，所以開(kāi)口向上，因此當(dāng)時(shí)最?。军c(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。15、2【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)，把，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，即可求解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所?因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算的應(yīng)用，其中解答中建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算，得到的函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．16、1【解析】

由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得，代入已知式子可得．【詳解】由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得：＝，且，∴.故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）最大值為2，最小值為【解析】

(1)先將函數(shù)化簡(jiǎn)為，根據(jù)公式求最小正周期.

(2)由，則，可求出函數(shù)的最值.【詳解】(1)所以的最小正周期為：.（2）由（1）有，則則當(dāng)，即時(shí)，有最小值.當(dāng)即，時(shí)，有最大值2.所以在區(qū)間上的最大值為2，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求最小正周期和函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題.18、答案不唯一，見(jiàn)解析【解析】

首先將方程化簡(jiǎn)為，再畫(huà)出的圖像，根據(jù)和交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求出方程根的個(gè)數(shù).【詳解】由題知：，，.令，，圖像如圖所示：當(dāng)或，即或時(shí)，無(wú)解，即方程無(wú)解.當(dāng)，即時(shí)，得到，則方程有兩個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到在有兩個(gè)解，則方程有四個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到或，則方程有四個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到在有一個(gè)解，則方程有兩個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到，則方程有一個(gè)解.綜上所述：當(dāng)或時(shí)，即方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解.當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)解.當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)解.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)考查了分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合為解題的關(guān)鍵，屬于難題.19、（1）；（2）7.【解析】試題分析：（I）在中，利用外角的性質(zhì)，得即可計(jì)算結(jié)果；（II）由正弦定理，計(jì)算得，在中，由余弦定理，即可計(jì)算結(jié)果．試題解析：（I）在中，∵，∴∴（II）在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：∴考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理．20、（1）；（2）【解析】

（1）由變形可得，即，于是可得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，然后分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，將轉(zhuǎn)化為數(shù)列的求和問(wèn)題解決．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴．又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為8，公比為3的等比數(shù)列，∴．（2）當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，．∴．【點(diǎn)睛】（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，在運(yùn)用定義證明的同時(shí)還要說(shuō)明數(shù)列中不存在等于零的項(xiàng)，這一點(diǎn)容易忽視．（2）數(shù)列求和時(shí)要根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，選擇合適的方法進(jìn)行求解，求解時(shí)要注意確定數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．21、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）先由平面幾何知識(shí)證明，再由線面平行判定定理得結(jié)論；（2）先由面面垂直性質(zhì)定理得平面，則，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．試題解析：證明：