材料力學(xué)課件第三章扭轉(zhuǎn)和剪切

§3.1

扭轉(zhuǎn)的概念和實例§3.2

外力偶矩的計算扭矩和扭矩圖`§3.3

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)

純`

剪切§3.4

圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強(qiáng)度條件§3.5

圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形與剛度條件第三章扭轉(zhuǎn)與剪切§3.6

非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念§3.7

薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)§3.8

剪切和擠壓的實用計算§

3.9

密圈圓柱螺旋彈簧的應(yīng)力和變形§3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例F一.工程實例主要承受扭轉(zhuǎn)力矩的軸類零件FFF二.受力特點:力偶矩作用面垂直軸線,即作用在橫截面內(nèi)四.變形特點任意兩橫截面產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動五.主要研究對象以圓軸為主(等直軸,階梯軸,空心軸)三.

受力簡圖圓軸扭轉(zhuǎn)三維動畫實例:§3.2

外力偶矩的計算

扭矩和扭矩圖PMe=9549

n(kW)(N

.m)(r/min)3.傳動機(jī)構(gòu)可根據(jù)傳動比進(jìn)行計算一.外力偶矩的計算直接給出Me(N?m)給出功率,轉(zhuǎn)速m(N?m/m)二.橫截面上的內(nèi)力MeMexMeMxMx截面法求內(nèi)力：切，取，代，平Mx為截面上的扭矩按右手螺旋法：Mx

指離截面為正，三.內(nèi)力圖(扭矩圖)指向截面為負(fù)。如同軸力圖一樣,將扭矩用圖形表示稱扭矩圖MxXSMx=0Mx-Me=0Mx=MePD,``例3-1

已知n

`

PA`PB

PC作內(nèi)力圖。(1)計算外力偶矩eA

AM =

9549

·P

/n=1591.5

N·mMeB

=477.5

N·mMeC

=477.5

N·mMeD

=636.5

N·mMx(Ⅰ2=)-M采e用B=正-4向77假.5

定N·內(nèi)mMx力Ⅱ=的-M方eB法-M可eC省=-去95切5

N·Mx?、蟠?

平M的eD=過6程36.5

N·mMx/N·m477.5955636.5MeA

MeDMeB

MeCⅠⅠⅡⅢⅡⅢMx圖特點：有Me作用處,Mx圖有突變,突變值=Me;無力偶作用段,Mx圖為水平線;有均布力偶作用段,Mx圖為斜直線.右起反之Mx(x)

=m

x列扭矩方程的簡便方法:Mxx在正向假定內(nèi)力的前提下左起向上方的Me產(chǎn)生正的Mx向下方的Me產(chǎn)生負(fù)的Mx

mlxlm§3.3

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)`純剪切Me

x

dxMe

x

dxdxγ實驗觀察

dx沒變

D沒變分析變形

ex=0

eq=0s

x

=

0sq=0gt一.薄壁筒扭轉(zhuǎn)實驗由于取的為薄壁,所以認(rèn)為內(nèi)壁與外壁變形相同,t沿t均布用平衡方程可求得:At

dA

rMx2pr

2tMx

=t

=取出微塊二.切應(yīng)力互等定理由微塊的平衡條件可知:在受力構(gòu)中取出互相垂直的兩個平面,要有切應(yīng)力,必大小相等,方向同時指向或指離兩個面的交線。這一現(xiàn)象稱為切應(yīng)力互等定理。tdydxtt't

dy

t dx

=

t`

dx

t

dyt=

t`t相互垂直兩平面，有切應(yīng)力必成對,t方向垂直于交線，頭對頭或尾對尾。切應(yīng)力互等定理口訣三.純剪切四.剪切胡克定律jMe當(dāng)六面體只有四個面上有應(yīng)力且只有切應(yīng)力的情況稱純剪切,這種狀態(tài)稱純剪切狀態(tài)。這是一種非常特殊也非常重要的狀態(tài)，以后將經(jīng)常遇到。tMetgjtPt實驗表明：t

￡

tPGt=

Ggt

g剪切胡克定律切變模量對各向同性材料可以證明：E,G,m

三者關(guān)系:§3-4

圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強(qiáng)度條件一.圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力Megdx實驗觀察:完全同薄壁筒扭轉(zhuǎn)推理：外

里假設(shè)：剛性平面gdjdxd/2

rgr1.幾何方程d表面處

gdx

=

2

djdx=

r

djgg

dx

=

rdjrrr處2.物理方程t￡

trt=

Ggdxr=

Gr

djtr

=

GgMx三.靜力方程dAMx

trrrMx

=

A

rtr

dAAdxdj=

G

r2dAdxAr2dA=

G

dj橫截面對圓心的極慣性矩GIP抗扭剛度Wptmax=

Mx抗扭截面模量maxpIpr令

W

=pmaxIMx

r

xmat

=A2Pr

dAI

=令djMx

=

G

dx

Ip1.

實心圓截面直徑dA2Pr

dAI

=drrr=2d02prdr22d03r

dr=

2p322dpd4=16pd3=maxpIrW

=

P

pd4=

32四.

IPWp

計算2.

空心圓截面外徑D內(nèi)徑dPAI

=r2dA

=r2

2prdrD2d2r-pD4

pd4=α=

d/D)4(1

-

a32pD

432

32

=164(1

-

a

)pD3=(

)2D32441

-

a

/Ip

pD=rmaxWp

=三.

圓軸扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力tay由于圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的

應(yīng)力分布是線性的，這時

不能象拉伸那樣沿斜截面

切開，可以取微體來研究。在表面處取出單元體為純切應(yīng)力狀態(tài)。求a面上的應(yīng)力時可應(yīng)用截面法：tsatat

axnan

=

0sa

=

-tsin

2at

=

0at

=

t

COS2asa

=

-tsin

2ata

=

t

COS2a1.

sa=f(a),

ta=g(a)2.

sata

有極值存在3.

比較極值,求smax

tmax-

45t90

000tmin

=

-t(90

)max=

t

(0

)a

sa

ta

t45

-

t

0-

t

t0smin

=-t

(45

)max=

t

(-45

)ssmintsmax討論:四.圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件對等直軸:危險截面為Mxmax截面,危險點為圓軸周邊各點強(qiáng)度條件為Wpmaxt

=

Mxmax

￡

[t][t]為材料的許用切應(yīng)力對變截面軸:要各段分別計算，找出tmax當(dāng)Mx=C，顯然發(fā)生在dmin（Wpmin）處例3.2已知:

D=76mm,t=2.5mm,[t]=100MPa求:(1)校核扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度(2)改為強(qiáng)度相同實心軸,求W空/W實安全198097

.5

·10

6D1

=

46

.9mm 1

=16pD

3tmax=97.5tmax=97.5Wpmax1.

t =Mxmax

=

97

.5MPa

<

[t]=

97

.

5MPa2

.令實心軸tmax=MxmaxW

p6Wp

=Mxmax97.

5

·10=

0

3343.比較W實

A實W空

=

A空顯然,空心軸比實心軸的重量輕,節(jié)省了材料.在扭軸設(shè)計中,選用空心軸是一種合理的設(shè)計.§3.5

圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形與剛度條件一.兩橫截面間繞軸線的相對扭轉(zhuǎn)角j由前節(jié)dx

GI=P

Pdj

Mx

Mxdj

=

dxGIGIL0PMx

dxL

dj

=j

=LPGId

j

=

MxL2.

當(dāng)Mx

GIP在分段內(nèi)不`變化時1.

L當(dāng) 段內(nèi)MxGIP均不變化時`

i

i

Gi

IPiMx

Lj

=3.

當(dāng)Mx

d沿x軸連續(xù)變化`

時mdxL0GI

P

(x)Mx(x)j

=PmaxGI

p=

Mxmax

180

￡[q](

/

m)二.剛度條件對于等直圓軸：q工程中的某些構(gòu)件(車床主軸`凸輪軸…)對剛度要求比較高,衡量剛度(變形)的程度用單位長度的扭轉(zhuǎn)角q。q

=

dj

=

Mx

(rad/m)dx

GIP工程中習(xí)慣采用[q]（°/m）故剛度條件:q￡[q]對圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件:qmax￡[q]對于等直圓軸maxpWt

=

Mxmax

￡

[t]GI

Pmaxq

=

Mxmax

180

￡

[q]p(

/

m)強(qiáng)度條件:tmax￡[t]校核設(shè)計確載剛度強(qiáng)度

條件解決三類問題強(qiáng)度剛度結(jié)構(gòu)校核滿足滿足滿足設(shè)計確載d1

d2[Me]1

[Me]2{d1、d2}max{[Me]1、[Me]2}min強(qiáng)調(diào):對扭轉(zhuǎn)的軸來說,一般情況下,不論是校核、確載、設(shè)計三方面的問題必須要同時滿足強(qiáng)度、剛度條件。例3.3已知:PA=6kW、PB=4kW、PC=2kW[t]=30MPa

、[q]=1?m、G=80GPa、n=208轉(zhuǎn)/min,求：d=？MeAMeBMeC解:(1)

計算外力矩:eBM

=183.6N·mMeC=91.8N·m(2)繪制扭矩圖neM

=

9549

PAMx/N·m183.6(+)(-)91.8MeA=275.4N·mMx/N·m183.6(+)(-)91.8maxMx

=

183.6N

m(3)由強(qiáng)度條件WpMxmax￡

[t]tmax

=3

16Mx

max-3=

31.5

·10

mp

[t]d

1

?PMx

180maxGI

pq=

max

￡

[q]\

d

=

{d1

,d2

}max

=

34mm10

m34G

[

]24

32Mxmax-3=qpd2

?·(4)由剛度條件MeMejjj四.圓軸扭轉(zhuǎn)時彈性變形能Me2U

=

W

=

1

Mej1.

當(dāng)Mx沿x為連續(xù)函數(shù)Mx（x）m2U=W=

1

MejGI

Pj

=

Mx(x)dxdxPMx

2

(x)U

=

2GI2.

當(dāng)Mx、GIP在分段內(nèi)不變化GiIPij

=

Mx

i

Li3.

當(dāng)L段內(nèi)Mx、GIP不變化GIPj

=

MxL2

GI

PM

2

L

x

U

=ni=1

2GiIPiU

=

ix

iM2

L4.比能若取單元體屬純剪切狀態(tài)tttg￡

t

p=

G

gg2G1比能ug2=t2=

2G=

2

tg可以看出:變形能仍為載荷(扭矩)的二次函數(shù).§3.6

非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念一.非圓截面桿和圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的區(qū)別變形特點:剛性平面橫截面不再為平面.前面的公式均不適用.非圓截面用材料力學(xué)的理論方法求解不了.書中結(jié)論均為彈性理論得到的結(jié)論.二.矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)bhmax1a

b

g查表3.1It=b

hb

3MxLt3=GIj

=G

b

hbt1

=

gtmaxMxL由切應(yīng)力互等定理可證得橫截面上切應(yīng)力分布特點:周邊的t必與周邊相切外尖角處t”0

Mx=a

hb

2tmax§3.7

薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)本節(jié)只討論薄壁桿件自由扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力的分布規(guī)律及開口、閉口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)時的區(qū)別及承載能力比較。一.開口tGItiI=

Mxd

itn3i

ih31dI

t

=

hi

=

1h-修正系數(shù)j

=

MxLMx當(dāng)壁厚變化時tmax

發(fā)生在dmax

處h1

3Ii

itmaxni

=

1d

3Mx

dmax==

Mxdmaxtt與邊界相切,形成順流二.閉口MxMxtminminmaxMxLs4Gw

2t2wddj

==t

=t

=

td

=

ct稱為剪力流btMxtmax

發(fā)生在dmin處S-中線長-中線所圍面積例3.5已知:相同尺寸的有縫、無縫鋼管,截面上扭矩Mx相同,比較抗扭強(qiáng)度、剛度.解:設(shè)中徑為d,壁厚為t2tpd2t1Mx

=

2Mxt

=34MxLj1

=24G

L

Gpd

tMxsL=23MxMxt=1

/

3pdt3

pdt2t

=j2

=

G

/

3pd3t3

=

Gpdt3d設(shè)

=

20t302

t3

d1==tt

24

t3

d)

2(

=

300

2

=MxL

3MxLj

1j可見開口比閉口的強(qiáng)度和剛度都大大下降§3.8

剪切和擠壓的實用計算一.剪切構(gòu)件的受力和變形特點FF受力特點:作用在構(gòu)件兩側(cè)上外力的合力大小相等、方向相反，且作用線相距很近變形特點:位于兩個力間的截面(剪切面)發(fā)生相對錯動工程實例:釘`銷釘`螺栓`鍵（花鍵`平鍵）動畫實例演示內(nèi)力分析:比較復(fù)雜實用計算方法:根據(jù)剪切破壞的實際情況,作出反映實際的假設(shè),簡化計算二.剪切的實用計算FF認(rèn)為受剪面上只有剪力FQt平行FQ,方向同F(xiàn)Q切應(yīng)力在受剪面上均勻分布FFQFt剪切強(qiáng)度條件單剪FQ=FFF雙剪FQ=F/2FF應(yīng)用破壞計算（安全銷、安全閥、安全計算(聯(lián)接的釘、鍵要滿足剪切強(qiáng)度條件)沖剪板…)三.擠壓的實用計算聯(lián)接件與被聯(lián)接件之間接觸--擠壓力Fbs、擠壓面、擠壓面積Abs假定在擠壓面上擠壓應(yīng)力是均勻分布的當(dāng)接觸面為圓柱形,用直徑平面作為擠壓面擠壓強(qiáng)度條件Absbsbss￡

[s

]=

Fbsdtsbsdt

Abs

=

td§

3.9

密圈圓柱螺旋彈簧的應(yīng)力和變形FFad結(jié)構(gòu)特點及主要尺寸實體圓截面彈簧d<<D=2Rα<54.有效圈數(shù)n一.簧桿橫截面上的內(nèi)力FR

FQ=FMx=FR