概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-復(fù)習(xí)小結(jié)

知識梳理（5、6、7章）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)概率分布的分位數(shù)(分位點(diǎn))使P{X≥x}=，定義對總體X和給定的(0<<1)，若存在x，

則稱x為X分布的上側(cè)分位數(shù)或上側(cè)臨界值.如圖.xoyxP{X≥x}=若存在數(shù)1、2，使P{X≥1}=P{X≤2}則稱1、2為X分布的雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.oyx21概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值的特例當(dāng)X的分布關(guān)于y軸對稱時，則稱為X分布的雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.如圖.若存在使yxO概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)小結(jié)幾種常用分布的定義概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)正態(tài)總體樣本均值的分布

設(shè)總體，是的一個樣本,則樣本均值服從正態(tài)分布U—分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)——分布

定義設(shè)總體，是的一個樣本,則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個數(shù)，n個相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之平方和服從自由度為n的分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)t—分布定義5.4

設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的t分布或?qū)W生氏分布，記作T

～t(n).t-分布的密度函數(shù)的圖形相似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù).當(dāng)n較大時，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義5.5

設(shè)隨機(jī)變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量記作F～F(n1，n2).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)幾個常用結(jié)論和定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)正態(tài)總體樣本均值的分布

設(shè)總體，是的一個樣本,則樣本均值服從正態(tài)分布U—分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)性質(zhì)設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

，

2)的樣本，則證明由已知，有Xi～N(

，

2)且X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，則且各相互獨(dú)立，由定義5.3得(P111第五題要用到此結(jié)論.)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)

定理5.1設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨(dú)立；(2)(5.8)與以下補(bǔ)充性質(zhì)的結(jié)論比較：

性質(zhì)設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

，

2)的樣本，則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)定理5.2設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(

，

2)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量證由于與S

2相互獨(dú)立，且由定義5.4得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)定理5.3

設(shè)(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)

分別是來自正態(tài)總體N(1

，2)和N(2

，2)的樣本，且它們相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量其中、分別為兩總體的樣本方差.(證略).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)定理5.4

為正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差；

設(shè)為正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差；且兩個樣本相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量證明由已知條件知且相互獨(dú)立，由F分布的定義有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)參數(shù)估計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的方法：數(shù)字特征法、矩法、極大似然法。樣本的數(shù)字特征法：以樣本的數(shù)字特征作為相應(yīng)總體數(shù)字特征的估計(jì)量。以樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)量，即點(diǎn)估計(jì)值點(diǎn)估計(jì)值以樣本方差作為總體方差的點(diǎn)估計(jì)量，即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)定義設(shè)為隨機(jī)變量，若存在，則稱為的階原點(diǎn)矩，記作；若存在，則稱為的階中心矩，記作樣本的階原點(diǎn)矩，記作樣本的階中心矩，記作階矩的概念概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)結(jié)論：不管總體X服從何種分布，總體期望和方差的矩估計(jì)量分別為樣本均值、樣本方差，即估計(jì)值為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)參數(shù)的極大似然估計(jì)法求解方法：（2）取自然對數(shù)其解即為參數(shù)的極大似然估計(jì)值。（3）令（1）構(gòu)造似然函數(shù)若總體的密度函數(shù)中有多個參數(shù)1，2，…，n，則將第（3）步改為解方程組即可。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)區(qū)間估計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)（1）方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造U-統(tǒng)計(jì)量，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，確定U的雙側(cè)分位數(shù)

得EX的區(qū)間估計(jì)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)（2）方差未知，對均值的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造T-統(tǒng)計(jì)量，查t-分布臨界值表，確定T的雙側(cè)分位數(shù)

得EX的區(qū)間估計(jì)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)（3）均值已知，對方差的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造2-統(tǒng)計(jì)量，查2-分布臨界值表，確定2的雙側(cè)分位數(shù)

得2的區(qū)間估計(jì)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)（4）均值未知，對方差的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)置信水平為1-構(gòu)造2-統(tǒng)計(jì)量，查2-分布臨界值表，確定2的雙側(cè)分位數(shù)

得2的區(qū)間估計(jì)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)（1）方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造U統(tǒng)計(jì)量（2）方差未知，對均值的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造T統(tǒng)計(jì)量總體服從正態(tài)分布的對均值的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)（4）均值未知，對方差的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造2統(tǒng)計(jì)量（3）均值已知，對方差的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造2統(tǒng)計(jì)量總體服從正態(tài)分布的對方差的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)假設(shè)檢驗(yàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)單個正態(tài)總體方差已知的均值檢驗(yàn)問題：總體 X~N（，2），2已知假設(shè)H0：=0；H1：≠0

構(gòu)造U統(tǒng)計(jì)量

由U檢驗(yàn)雙邊檢驗(yàn)如果統(tǒng)計(jì)量的觀測值則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)確定拒絕域H0為真的前提下概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)H0：=0；H1：0

H0：=0；H1：0

或單邊檢驗(yàn)拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)楦怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)單個正態(tài)總體方差未知的均值檢驗(yàn)問題：總體 X~N（，2），2未知假設(shè)H0：=0；H1：≠0

構(gòu)造T統(tǒng)計(jì)量

由T檢驗(yàn)雙邊檢驗(yàn)如果統(tǒng)計(jì)量的觀測值則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)確定拒絕域概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)H0：=0；H1：0

H0：=0；H1：0

或單邊檢驗(yàn)拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)楦怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)單個正態(tài)總體均值已知的方差檢驗(yàn)問題：總體 X~N（，2），已知構(gòu)造2統(tǒng)計(jì)量由如果統(tǒng)計(jì)量的觀測值則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)確定臨界值或2檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)一個正態(tài)總體均值未知的方差檢驗(yàn)問題：設(shè)總體 X~N（，2），未知構(gòu)造2統(tǒng)計(jì)量

由如果統(tǒng)計(jì)量的觀測值則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)確定臨界值或2檢驗(yàn)假設(shè)雙邊檢驗(yàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--復(fù)習(xí)小結(jié)例1

由經(jīng)驗(yàn)知某零件的重量X~N（，2），=15，=0.05；技術(shù)革新后，抽出6個零件，測得重量為（單位：克）14.715.114.815.015.214.6，已知方差不變，試統(tǒng)計(jì)推斷，平均重量是否仍為15克？（=0.05）解由題意可知：零件重量X~N（，2），且技術(shù)革新前后的方差不變2=0.052，要求對均值進(jìn)行檢驗(yàn)，采用U檢驗(yàn)法。假設(shè)H0：=15；H1：≠15構(gòu)造U統(tǒng)計(jì)量，得U的0.05雙側(cè)分位數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--