高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法

第1章集合高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法1.1集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法知識整合高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法1．集合、元素(1)集合：一般地，把一些能夠________對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的________構(gòu)成的集合(或集)．通常用______________表示．(2)元素：構(gòu)成集合的________叫做這個集合的元素(或成員)，通常用________表示．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法2．元素與集合的關(guān)系3.集合元素的性質(zhì)特征(1)________；(2)________；(3)________．知識點(diǎn)關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果________，就說a屬于A

“a屬于A”

不屬于如果________，就說a不屬于A“a不屬于A”

高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法4．集合的分類高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法5．常用數(shù)集的意義及表示

意義名稱記法________構(gòu)成的集合自然數(shù)集在自然數(shù)集內(nèi)______的集合正整數(shù)集____或____________構(gòu)成的集合整數(shù)集________構(gòu)成的集合有理數(shù)集________構(gòu)成的集合實數(shù)集高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法6.集合的表示法(1)列舉法：如果一個集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都________出來，寫在大括號內(nèi)表示這個集合．(2)特征性質(zhì)描述法：如果在集合I中，屬于集合A的任意一個元素x都________，而不屬于集合A的元素都________，則________叫做集合A的一個特征性質(zhì)．于是，集合A可描述為________．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法答案：1.確定的不同全體大寫拉丁字母對象小寫拉丁字母2．a(chǎn)是集合A的元素a∈A

a不是集合A的元素a?A3．確定性無序性互異性4．?有限集無限集5．全體自然數(shù)N正整數(shù)N*

N＋全體整數(shù)Z全體有理數(shù)Q全體實數(shù)R6．一一列舉具有性質(zhì)p(x)不具有性質(zhì)p(x)性質(zhì)p(x)

{x∈I|p(x)}高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法名師解答高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法為何說用描述法表示的集合，認(rèn)識它要看清集合的代表元素是什么？描述法是將所給集合中全部元素的共同特征性質(zhì)用文字或符合語言描述出來的方法，它反映了集合元素的形式．如：集合D＝{y|y＝x2－2x＋3}＝{y|y＝(x－1)2＋2}＝{y|y≥2}，該集合的全部元素的共同特征性質(zhì)是大于或等于2的實數(shù)，所以D＝{y|y＝x2－2x＋3}與E＝{x|x≥2}為同一集合；高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法所以說，用描述法表示的集合，要抓住元素進(jìn)行分析，弄清集合的代表元素應(yīng)具有哪些特征性質(zhì)，從而準(zhǔn)確理解和把握集合的內(nèi)涵，有意識地引導(dǎo)我們分析集合是由哪些元素所組成的，有效地避免解題錯誤的發(fā)生．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法深入學(xué)習(xí)高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法題型一集合中元素確定性的應(yīng)用【例1】下列所給對象能構(gòu)成集合的是________．(1)高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題；(2)不超過20的非負(fù)數(shù)；(3)某一班級16歲以下的學(xué)生；(4)某中學(xué)的大個子；(5)某學(xué)校身高超過1.80米的學(xué)生；(6)1,2,3,1.高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法分析：集合是一組對象的全體，因此觀察一組對象能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵是看這組對象是否符合元素的特性．解析：(1)不能構(gòu)成集合．“難題”的概念是模糊的、不確定的，無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于一道數(shù)學(xué)題是否是“難題”無法客觀地判斷．實際上一道數(shù)學(xué)題是“難者不會，會者不難”，因而“高一數(shù)學(xué)課本中的難題”不能構(gòu)成集合．(2)能構(gòu)成集合．對于任意給定的一個實數(shù)z，可以明確地判斷是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，即“0≤z≤20”，與“z<0或z>20”其中一個成立，所以“不超過20的非負(fù)數(shù)”能構(gòu)成集合．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法(3)能構(gòu)成集合．其中的元素是16歲以下的學(xué)生．(4)不能構(gòu)成集合．因為未規(guī)定大個子的標(biāo)準(zhǔn)，所以(4)不能構(gòu)成集合．(5)能構(gòu)成集合．由于(5)中的對象具備確定性，因此能構(gòu)成集合．(6)不能構(gòu)成集合．雖然(6)中的對象具備確定性，但有兩個元素都是1，不符合元素的互異性，所以(6)不能構(gòu)成集合．故應(yīng)填(2)，(3)，(5)．答案：(2)，(3)，(5)

高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法評析：判斷指定的對象能不能構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于任何一個對象，都能確定它是不是給定集合的元素，同時還要注意集合中元素的互異性．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法變式訓(xùn)練1判斷以下各組對象能否構(gòu)成集合．(1)很小的數(shù)；(2)不超過30的非負(fù)數(shù)；(3)直角坐標(biāo)平面內(nèi)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；(4)π的近似值；(5)高一新課程開設(shè)的所有科目；(6)高一(三)班個子較高的男生．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法分析：本題主要考查對集合元素的確定性的理解，所給的對象不明確就不能構(gòu)成集合．解：(1)、(4)、(6)中的元素沒有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，因此不能構(gòu)成集合．(2)、(3)、(5)中的對象具體、明確，可以構(gòu)成集合．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法分析：首先理解∈與?的意義，然后要知道每個集合是由哪些元素組成的或其中元素的限定條件，從而判定元素是否屬于這個集合．解：(1)由于π是無理數(shù)，則應(yīng)填?；(2)因為(－1)0＝1是自然數(shù)，則應(yīng)填∈；高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法答案：(1)?

(2)∈

(3)?

(4)∈

(5)∈

(6)?

(7)∈高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法變式訓(xùn)練2用符號∈或?填空．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法答案：(1)?∈(2)?∈(3)?∈高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法題型三用列舉法表示集合【例3】用列舉法表示下列集合：(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；(2)方程x2＝x的所有實數(shù)根組成的集合；(3)由1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合．分析：用列舉法表示集合時，應(yīng)把集合中的元素一一列舉出來，并且寫在大括號內(nèi)，元素和元素之間要用“，”隔開．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法解：(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．由于元素完全相同的兩個集合相等，而與列舉的順序無關(guān)，因此集合A可以有不同的列舉方法，例如A＝{9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}(2)設(shè)方程x2＝x的所有實數(shù)根組成的集合為B，那么B＝{0,1}．(3)設(shè)由1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法變式訓(xùn)練3已知集合A＝{小于6的正整數(shù)}，B＝{小于10的質(zhì)數(shù)}，C＝{24和36的公約數(shù)}，M＝{x|x∈A且x∈C}，N＝{x|x∈B且x?C}，用列舉法表示M、N.解：集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,3,5,7}，C＝{1,2,3,4,6,12}．(1)∵x∈A且x∈C，∴x＝1,2,3,4.∴M＝{1,2,3,4}．(2)∵x∈B且x?C，∴x＝5,7.∴N＝{5,7}．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法題型四用描述法表示集合【例4】用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的數(shù)；(2)右圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界)的坐標(biāo)的集合(不含虛線)．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法分析：(1)中被3整除的數(shù)可表示為3n，n∈Z；(2)中元素是坐標(biāo)(x，y)．也就是說先考慮元素是什么，再考慮元素必須滿足的條件．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法解：(1){x|x＝3n，n∈Z}；高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法變式訓(xùn)練4用特征性質(zhì)描述法表示下列集合：(1)正偶數(shù)集；(2)被3除余2的正整數(shù)集合；(3)坐標(biāo)平面內(nèi)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集；(4)坐標(biāo)平面內(nèi)在第二象限內(nèi)的點(diǎn)所組成的集合；(5)坐標(biāo)平面內(nèi)不在第一、三象限的點(diǎn)的集合．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法解：(1){x|x＝2n，n∈N＋}．(2){x|x＝3n＋2，n∈N}．(3){(x，y)|xy＝0}．(4){(x，y)|x<0且y>0}．(5){(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法分析：兩個集合完全一樣，所以元素也應(yīng)該一樣，不過順序可以不同．根據(jù)集合元素的互異性分類討論．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法解法一：①若a2＝a，則a＝0或a＝1，把a(bǔ)＝0或a＝1代入檢驗都不滿足題意，∴a≠a2.②若a＝a＋b，則b＝0，把b＝0代入集合化為{a,0,1}，{a2，a,0}，對比可得a2＝1，∴a＝1或a＝－1，而a＝1不滿足題意，∴a＝－1.③若a＝0，代入檢驗不滿足題意．綜上：a＝－1，b＝0，∴a2006＋b2008＝1.高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法評析：解決本題的關(guān)鍵是利用集合中元素的互異性構(gòu)造方程，再利用集合中元素的互異性檢驗方程的解．注意含參問題要分類討論，分類討論時一定要注意到所有的情形．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法整體探究解讀高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法題型一用不同方法表示集合【例1】

(一題多解)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希捍笥冢?.5小于4.6的整數(shù)的全體．解法一：列舉法．A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}．解法二：特征性質(zhì)描述法．A＝{x∈Z|－3.5<x<4.6}．解法三：用韋恩圖法．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法評析：表示集合時，根據(jù)具體題目適當(dāng)選取不同的表示方法；若集合中元素個數(shù)較少時，可選用列舉法，若集合中元素較多或無限集時常選用特征性質(zhì)描述法，有時用韋恩圖法更直觀．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法題型二利用集合觀點(diǎn)解方程【例2】

(難題巧解)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，其中a為常數(shù)，且a∈R.(1)若A是空集，求a的范圍；(2)若A中只有一個元素，求a的值；(3)若A中至多只有一個元素，求a的范圍．分析：本題實質(zhì)上是從集合的角度考查方程的根的問題．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法(3)若A中至多只有一個元素，則包括兩種情形：A中有且僅有一個元素；A是空集．由(1)、(2)的結(jié)果可得a＝0，或a≥.評析：(1)注意判別式使用的前提條件是二次項的系數(shù)不等于零．當(dāng)二次項的系數(shù)中含有待定系數(shù)時，應(yīng)對其是否為零進(jìn)行討論，如(2)．(2)注意知識間的聯(lián)系，善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，從而化陌生為熟悉，得心應(yīng)手地解決問題．高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法【例3】設(shè)a，b∈Z，集合P＝{(x，y)|(x－a)2＋3b≤6y}，點(diǎn)(2,1)∈P，點(diǎn)(1,0)?P，點(diǎn)(3,2)?P，求a，b的值．分析：弄清題意最重要．點(diǎn)(2,1)∈P，說明點(diǎn)(2,1)的坐標(biāo)適合不等式(x－a)2＋3b≤6y.點(diǎn)(1,0)?P，說明點(diǎn)(1,0)的坐標(biāo)不適合關(guān)系式(x－a)2＋3b≤6y，那么，點(diǎn)(1,0)的坐標(biāo)必定適合關(guān)系式(x－a)2＋3b>6y，這樣題目的隱含條件就被挖掘出來了．同理，點(diǎn)(3,2)的坐標(biāo)適合關(guān)系式(x－a)2＋3b>6y.高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示方法解：∵(2,1)∈P，∴(2－a)2＋3b≤6，即3b≤6－(2－a)2.①又∵(1,0)?P，∴(1－a)2＋3b>0，即3b>－(1－a)2.②由①、②知6－(