2021年浙江省杭州市市江城中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2021年浙江省杭州市市江城中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若直線與平行，則的值為(

)A．

B．或

C．

D．參考答案：A2.若函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍（）

A．

B．

C．

D．參考答案：A3.圓柱的側(cè)面展開圖是一個面積為16π2的正方形，該圓柱內(nèi)有一個體積為V的球，則V的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)正方形的面積計算出圓柱的底面直徑和高，由此求得圓柱內(nèi)最大球的半徑，進而求得體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面直徑為，高為，則，解得.故圓柱的底面直徑為，高為，所以圓柱內(nèi)最大球的直徑為，半徑為，其體積為.故選A.【點睛】本小題主要考查圓柱側(cè)面展開圖有關(guān)計算，考查圓柱內(nèi)的最大球的體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.4.a是平面α外的一條直線，過a作平面β，使β∥α，這樣的平面β（）A．只能作一個 B．不存在C．至多可以作一個 D．至少可以作一個參考答案：C【考點】平面的基本性質(zhì)及推論；平面與平面平行的性質(zhì)．【分析】由平面與平面平行的性質(zhì)得這樣的平面β有且只有1個【解答】解：當a∥α?xí)r，過a作平面β，使得β∥α，由平面與平面平行的性質(zhì)得：這樣的平面β有且只有1個．a(chǎn)與α相交時，設(shè)平面為β，a與α交點為P，根據(jù)題意P∈β，P∈α，則α∩β=l且P∈l，這與α∥β矛盾，∴這樣的β不存在．綜上所述，過平面α外一條直線a與α平行的平面的個數(shù)為至多1個．故選：C．5.有20位同學(xué)，編號從1至20，現(xiàn)在從中抽取4人作問卷調(diào)查，用系統(tǒng)抽樣方法確定所抽的編號為(

)A.5，10，15，20

B.2，6，10，14

C.2，4，6，8

D.5，8，11，14

參考答案：A略6.函數(shù)的圖象如圖1所示，則的圖象可能是（

）參考答案：D7.下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：①；②（ax）′=a2lnx；③（sin2x）′=cos2x；④（）′=．其中正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個參考答案：B【考點】導(dǎo)數(shù)的運算．【分析】根據(jù)題意，依次對4個函數(shù)求導(dǎo)，比較即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次對4個函數(shù)求導(dǎo)：對于①、y==，其導(dǎo)數(shù)y′=，正確；對于②、y=ax，其導(dǎo)數(shù)y′=axlna，計算錯誤；對于③、y=sin2x，其導(dǎo)數(shù)y′=2cos2x，計算錯誤；對于④、y==（x+1）﹣1，其導(dǎo)數(shù)y′=﹣，計算錯誤；只有①的計算是正確的；故選：B．8.Rt△ABC的斜邊AB等于4，點P在以C為圓心、1為半徑的圓上，則的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】結(jié)合三角形及圓的特征可得，進而利用數(shù)量積運算可得最值，從而得解.【詳解】.注意，，所以當與同向時取最大值5，反向時取小值-3.故選C.【點睛】本小題主要考查向量的線性運算，考查向量的數(shù)量積運算，以及幾何圖形中向量問題的求解.屬于中檔題.9.若函數(shù)，則（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（

）A．

B．

C．

D.參考答案：C略10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線的焦點到雙曲線漸近線的距離為__________．參考答案：【分析】先求出拋物線的焦點，再求雙曲線的漸近線，再求焦點到漸近線的距離.【詳解】由題得拋物線的焦點為（1,0），雙曲線的漸近線為所以焦點到漸近線的距離為.故答案為：【點睛】(1)本題主要考查拋物線和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)點到直線的距離.12.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是______．參考答案：3【分析】根據(jù)絕對值不等式，求出的最小值即可．【詳解】∵復(fù)數(shù)滿足，∴，∴的最小值是．故答案為3．【點睛】本題主要考查了不等式的應(yīng)用問題，也考查了復(fù)數(shù)的運算問題，是基礎(chǔ)題目．13.若，則=

．參考答案：14.設(shè)拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是

參考答案：y2＝8x

略15.中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶——《九章算術(shù)》中涉及到一種非常獨特的幾何體——鱉擩，它是指四面皆為直角三角形的四面體.現(xiàn)有四面體ABCD為一個鱉擩，已知AB⊥平面BCD，，若該鱉擩的每個頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為

．參考答案：

7π16.對于函數(shù)，存在三個互不相等的實數(shù)，使得===k，則符合條件的一個k的值為_________。參考答案：答案不唯一，即可【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)，則，令，即，解得或，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又由當時，，且，當時，函數(shù)取得極小值，函數(shù)圖象如圖所示，要使得存在三個互不相等的實數(shù)，使得==，則實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及合理利用函數(shù)的圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以及推理與運算能力，屬于中檔試題．17.若，則x的值為

．參考答案：4或9由組合數(shù)公式的性質(zhì)，，可得或，解得x=4或x=9.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長等于b，一條側(cè)棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求這個三棱柱的側(cè)面積。參考答案：解析：過點B作BM⊥AA1于M，連結(jié)CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA為公用邊，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin450=a，∴BMC周長為2xa+a=(1+)a，且棱長為b，∴S側(cè)=(1+)ab

19.已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再讓其導(dǎo)函數(shù)大于0對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間，小于0對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間．）（2）已知條件可以轉(zhuǎn)化為a≥lnx﹣x﹣恒成立，對不等式右邊構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）令f'（x）＞0得：，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由題意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0，∴a≥lnx﹣x﹣恒成立①設(shè)h（x）=lnx﹣﹣，則h′（x）=﹣=﹣令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去）當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h'（x）＜0∴當x=1時，h（x）有最大值﹣2若①恒成立，則a≥﹣2，即a的取值范圍是[﹣2，+∞）．【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．這類題目是高考的?？碱}．20.在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），l與C交與A，B兩點，|AB|=，求l的斜率．參考答案：【考點】J1：圓的標準方程；J8：直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）把圓C的標準方程化為一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圓C的極坐標方程．（Ⅱ）由直線l的參數(shù)方程求出直線l的一般方程，再求出圓心到直線距離，由此能求出直線l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圓C的方程為（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的極坐標方程為ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），∴t=，代入y=tsinα，得：直線l的一般方程y=tanα?x，∵l與C交與A，B兩點，|AB|=，圓C的圓心C（﹣6，0），半徑r=5，圓心到直線的距離d=．∴圓心C（﹣6，0）到直線距離d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l(xiāng)的斜率k=±．21.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P在棱DF上．（Ⅰ）求證：AD⊥BF：（Ⅱ）若P是DF的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角D﹣AP﹣C的余弦值為，求PF的長度．參考答案：【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；異面直線及其所成的角．【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性質(zhì)，可得AD⊥平面ABEF，即可證明AD⊥BF；（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求得=（﹣，0，1），=（﹣1，﹣1，），利用向量的夾角公式，即可求異面直線BE與CP所成角的余弦值；（Ⅱ）設(shè)P點坐標為（0，2﹣2t，t），求得平面APF的法向量為=（1，0，0），平面APC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．【解答】（Ⅰ）證明：因為平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，所以AD⊥平面ABEF，因為BF?平面ABEF，所以AD⊥BF；（Ⅱ）解：因為∠BAF=90°，所以AF⊥AB，因為平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，因為四邊形ABCD為矩形，所以以A為坐標原點，AB，AD，AF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系O﹣xyz．所以B（1，0，0），E（，0，1），P（0，1，），C（1，2，0）．所以=（﹣，0，1），=（﹣1，﹣1，），所以cos＜，＞=，即異面直線BE與CP所成角的余弦值為．（Ⅲ）解：因為AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量為=（1，0，0）．設(shè)P點坐標為（0，2﹣2t，t），在平面APC中，=（0，2﹣2t，t），=（1，2，0），所以平面APC的法向量為=（﹣2，1，），所以cos＜，＞==，解得t=，或t=2（舍）．此