數(shù)學建模教案設計

數(shù)學建模教案設計要求應用和創(chuàng)新是數(shù)學建模的特點，也是素質(zhì)教育的靈魂；不論用數(shù)學方法解決哪類實際問題，還是與其他學科想結合形成交叉學科，首先的和關鍵的一步是用數(shù)學的語言表述所研究的對象，即建立數(shù)學模型。在高科技，特別是計算機技術迅速發(fā)展的今天，計算和建模正成為數(shù)學科學技術轉(zhuǎn)化的主要途徑。本課程旨在提高學生數(shù)學應用能力和數(shù)學知識的獲取能力。根據(jù)課程特點，要求同學們做到一些幾個環(huán)節(jié)：1、認真聽講，認真體會，善于思考，勤于總結。2、學會查閱資料，認真完成作業(yè)，要勤于動手，做好每一個實驗，認真對待每一個計算步驟。3、有問題及時提問，及時解決。參考書1．《數(shù)學模型》譚永基復旦大學出版社1997年2．《數(shù)學模型》姜啟源高等教育出版社2003年3．《數(shù)學建模與數(shù)學實驗》趙靜但琦高等教育出版社2000年4．《大學生數(shù)學建模競賽輔導教材》葉其孝湖南教育出版社2003年按學校規(guī)定，缺交作業(yè)或缺課達1/3者不得參加本課程的考試。前言1、數(shù)學史簡介(包括數(shù)學建模史)數(shù)學，作為一門研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系和空間形式的科學，它的內(nèi)容是從實際中抽象出來，與實際想脫離的，但在它生產(chǎn)和發(fā)展的歷史長河中，一直是和人們生活的實際需要密切相關。數(shù)學具有三大特點：（1）、抽象性（2）、嚴密性（3）、應用的廣泛性數(shù)學的任務和發(fā)展動力應用是數(shù)學的主要任務，也是數(shù)學發(fā)展的主要動力。數(shù)學的發(fā)展階段數(shù)學發(fā)展經(jīng)歷了五個主要階段主要階段時期主要成果主要事件萌芽時期-3500到-600無演繹推理和公理法三次數(shù)學危機發(fā)生在-500，1754，1897年初等數(shù)學時期希臘文明-600到641論證數(shù)學逐漸形成[1]中世紀641到1300文藝復興1300到1640日心說動搖神學，自然科學解放[2]變量數(shù)學時期1640到1920微積分的誕生[3]近代數(shù)學時期1920到1945現(xiàn)代數(shù)學時期1945到[1]雅典時期，泰勒斯，畢達哥拉斯開始對命題加以證明（勾股定理，無理數(shù)），沒留下書籍；亞歷山大時期，歐幾里德，阿基米德，阿波羅泥，海倫，丟番圖等作出了永載史冊的功績。[2]三次四次方程的求根公式，韋達和符號代數(shù)學，三角的發(fā)展，小數(shù)與對數(shù)的發(fā)明。笛卡兒力求用代數(shù)的方法來解決幾何問題，建立了解析幾何，標志著變量數(shù)學時期的到來。[3]牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，通過微積分的完善建立了分析數(shù)學。數(shù)學建模是指用數(shù)學的語言和方法對實際問題進行近似地刻劃和描述，數(shù)學建模并不是中新事物，自從有了數(shù)學并用數(shù)學去解決問題時，就有了數(shù)學建模。縱觀人類歷史上進行過的三次重大的科學技術革命，每一次都是滲透著數(shù)學的應用，都是數(shù)學建模過程。但將數(shù)學建模作為一門專門的學科和課程歷史還很短。（待續(xù)）2、數(shù)學建模教學的培養(yǎng)目標（1）、培養(yǎng)翻譯能力（2）、應用已學到的數(shù)學方法和思想進行綜合應用和分析，并能學習一點新的數(shù)學知識，并能理解合理的抽象和簡化，特別是進行數(shù)學分析的重要性。（3）、發(fā)展聯(lián)想能力。（4）、逐漸發(fā)展形成一種洞察力。（5）、熟練使用技術手段。3、數(shù)學建模競賽（MCM）由來和歷史1985年以前美國只有一種大學生數(shù)學競賽（TheWilliamLowellPutnammathematicalMonthly,簡稱Putnam(普特南)數(shù)學競賽）自1938年起已舉辦50屆，普特南數(shù)學競賽在吸引青年人熱愛數(shù)學從而走上數(shù)學研究的道路，鼓勵各數(shù)學系更好地培養(yǎng)人才方面起了很大的作用，事實上一批優(yōu)秀數(shù)學家就曾經(jīng)是它的獲獎者。（待續(xù)）第1章建立數(shù)學模型[教學目的和要求] 本章作為全書的導言和數(shù)學模型的概述，主要討論建立數(shù)學模型的意義、方法和一般步驟，讓學生對數(shù)學模型有一個全面的初步的了解。[教學內(nèi)容]§1．1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型本節(jié)先討論原型和模型，特別是數(shù)學模型的關系，再介紹數(shù)學模型的意義。原型和模型原型（Prototype）和模型（Model）是一對對偶體。原型指人們在現(xiàn)實世界里關心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實際對象。在科技領域通常使用系統(tǒng)（System）、過程（Process）等詞匯，如機械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、生命系統(tǒng)、社會經(jīng)濟系統(tǒng)，又如鋼鐵冶煉過程、導彈飛行過程、化學反應過程、污染擴散過程、生產(chǎn)銷售過程、計劃決策過程等。本書所述的現(xiàn)實對象、研究對象、實際問題等均指原型。模型則是指為某個特定目的將原型的某一部分信息減縮、提煉而構成的原型替代物。特別強調(diào)構造模型的目的性。模型不是原形原封不動的復制品，原型有各個方面和各種層次的特征，而模型只要求反映與某種目的有關的那些方面和層次。一個原型，為了不同的目的可以有很多不同的模型，模型的基本特征是由構造模型的目的決定的。例如：展廳里的飛機模型：外形上逼真，但是不一定會飛；航模競賽的模型飛機：具有良好的飛行性能，在外觀上不必苛求；飛機設計、試制過程中用大的數(shù)學模型和計算機模擬：要求在數(shù)量規(guī)律上真實反映飛機的飛行動態(tài)特征，毫不涉及飛機的實體。模型的分類用模型替代原型的方式來分類，模型可以分為物質(zhì)模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直觀模型、物理模型，后者包括思維模型、符號模型、數(shù)學模型。直觀模型指那些供展覽用的實物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例縮小或放大，主要追求外觀上的逼真。這類模型的效果是一目了然的。物理模型主要指科技工作者為一定目的根據(jù)相似原理構造的模型，它不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以用來進行模擬實驗，間接地研究原型的某些規(guī)律。如風洞中的飛機模型用來試驗飛機在氣流中的空氣動力學特性。這類模型應該注意驗證原型與模型間的相似關系，以確定模擬實驗結果的可靠性。物理模型的優(yōu)點是?？傻玫綄嵱蒙虾苡袃r值的結果，但也存在成本高、時間長、不靈活等缺點。思維模型指通過人們對原形的反復認識，將獲取的知識以經(jīng)驗的形式直接存于人腦中，從而可以根據(jù)思維或直覺作出相應的決策。通常說的某些領導者憑經(jīng)驗做決策就是如此。思維模型便于接受，也可以在一定條件下獲的滿意的結果，是它往往帶有模糊性、片面性、主觀性、偶然性等缺點，難以對它的假設條件進行檢驗，并且不便于人們的相互溝通。符號模型是在一些約束或假設下借助于專門的符號、線條等，按一定形式組合起來描繪原型。如地圖、電路圖、化學結構式等，具有簡明、方便、目的性強及非量化等特點。數(shù)學模型是由數(shù)字、字母或其它數(shù)學符號組成的，描述現(xiàn)實對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學公式、圖形或算法。上面數(shù)學模型的概念還很模糊，我們下面仔細談談什么是數(shù)學模型。數(shù)學模型什么是數(shù)學模型航行問題：甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順水航行需30h，從乙到甲逆水航行需50h，問船速，水速各若干？用x，y分別代表船速和水速，則可以得到如下兩個方程（x+y）·30=750，（x-y）·50=750實際上，這組方程就是上述航行問題的數(shù)學模型。列出方程，原問題已轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學問題。方程的解x=20km/h，y=5km/h，最終給出了航行問題的答案。從上例中，我們可以看出建立數(shù)學模型的基本內(nèi)容。建立數(shù)學模型的基本內(nèi)容：據(jù)建立數(shù)學模型的目的和問題的背景作出必要的簡化假設（上例中，假設航行中船速和水速為常數(shù)）；用字母表示待求的未知量（上例中，x，y代表船速和水速）；利用相應的物理或其它規(guī)律（上例中，勻速運動的距離等于速度乘以時間），列出數(shù)學式子（上例中，二元一次方程）；求出數(shù)學上的解答（上例中，x=20，y=5）；利用解答解釋原問題（上例中，船速和水速分別為20km/h和5km/h）最后利用實際現(xiàn)象來驗證上述結果。數(shù)學模型可以描述為，對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必須的簡化假設，運用恰當?shù)臄?shù)學工具，等到的一個數(shù)學結構。本課程重點不在于介紹現(xiàn)實對象的數(shù)學模型（MathematicalModel）是什么樣子,而是要討論建立數(shù)學模型（MathematicalModelling）全過程。建立數(shù)學模型簡稱為數(shù)學建模或建模?！?．2建模示例之一椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍微挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩(wěn)了。這個看來似乎與數(shù)學無關的現(xiàn)象能用數(shù)學語言給以表述，并用數(shù)學工具來證實嗎？模型假設對椅子和地面作一些必要的假設：椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個點，四腳的連線呈正方形.地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面.對于椅腳的間距和椅腳的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地.模型構成中心問題是用數(shù)學語言把椅子四只腳同時著地的條件和結論表示出來。首先要用變量表示椅子的位置。注意到椅腳連線成正方形，以中心為對稱點，正方形的中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置。在圖1中椅腳連線為正方形ABCD，對角線AC與x軸重合，椅子繞中心點O旋轉(zhuǎn)角度后，正方形ABCD轉(zhuǎn)至的位置，所以對角線AC與x軸的夾角表示了椅子的位置。其次要把椅腳著地用數(shù)學符號表示出來。如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離,那么當這個距離為零時就是椅腳著地了。椅子在不同位置時椅腳與地面的距離不同，所以這個距離是椅子位置變量的函數(shù)。雖然椅子有四只腳，因而有四個距離，但是由于正方形的中心對稱性，只要設兩個距離函數(shù)就行了。記A,C兩腳與地面距離之和為f（），B,D兩腳與地面距離之和為g（）（f（），g（）0）。有假設2，f和g是連續(xù)函數(shù)。又假設3，椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的，f（）和g（）中至少有一個為零。當=0時不妨設g（）=0，f（）>0。這樣，改變椅子的位置使四只腳同時著地，就歸結為證明如下的數(shù)學命題：已知f（）和g（）是的連續(xù)函數(shù)，對任意，f（）·g（）=0，且g（0）=0，f（0）>0。證明存在，使f（）=g（）=0.模型求解上述命題有多種證明方法，這里介紹其中比較簡單，但是有些粗糙的一種。將椅子旋轉(zhuǎn)，對角線AC與BD互換。由g（0）=0和f（0）>0可知g（/2）>0和f（/2）=0。令h（）=f（）-g（），則h（0）>0和h（/2）<0。由f和g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，必存在（0<</2）使h（）=0，即f（）=g（）.最后，因為f（）·g（）=0，所以f（）=g（）=0.由于這個實際問題非常直觀和簡單，模型的解釋和驗證就略去了。評注這個模型的巧妙之處在與用一元變量表示椅子的位置，用的兩個函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離，進而把模型假設和椅腳同時著地的結論用簡單、精確的數(shù)學語言表達出來，構成了這個實際問題的數(shù)學模型?！?．3商人怎樣安全過河三名商人各帶一個隨從乘船過河，一只小船只能容納兩人，有他們自己劃船。隨從們密約，在河的任何一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨，但是如何乘船渡河的大權掌握在商人們手中，商人們怎樣才能安全渡河呢？模型構成記分別表示地k次渡河前此岸的商人數(shù)和隨從數(shù)，定義為狀態(tài)，顯然允許狀態(tài)集為分別表示地k次渡船上的商人數(shù)和隨從數(shù)，為決策變量；允許決策集為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方稱求解：§1．４人口增長模型預報人口增長：指數(shù)增長模型阻尼增長模型§1．5建立數(shù)學模型的方法和步驟數(shù)學建模面臨的實際問題是多種多樣的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的數(shù)學工具不同，所得的模型的類型也不同，我們不能指望歸納出若干條準則，使用與一切實際問題的數(shù)學建模方法。下面所謂的基本方法不是針對具體問題而是從方法論的意義上講的。數(shù)學建模的基本方法一般說來建模方法大體上可分為機理分析和測試分析兩種。機理分析是根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律，建立的模型常有明確的物理過現(xiàn)實意義?！?.2中的例子就是用的機理分析。測試分析將研究對象看作一個“黑箱”系統(tǒng)（意思是它的內(nèi)部機理看不清楚），通過對系統(tǒng)輸入，輸出數(shù)據(jù)的測量和統(tǒng)計分析，按照一定的準則找出與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。面對一個實際問題用哪一種方法建模，主要取決與人們對研究對象的了解程度和建設模的目的。如果掌握了一些內(nèi)部機理的知識，模型也要求具有反映內(nèi)在特征的物理意義，建模就應以機理分析為主。而如果對象的內(nèi)部規(guī)律基本上不清楚，模型也不需要反映內(nèi)部特性（例如僅用于對輸出作預報），那么就可以用測試分析。對于許多實際問題還常常將兩種方法結合起來建模，即用機理分析建立模型的結構，用測試分析確定模型的參數(shù)。機理分析當然針對具體問題來做，不可能有同意的方法，因而主要是通過實例研究（Casestudies）來學習。測試分析有一套完整的數(shù)學方法。本課程所說的數(shù)學建模主要是只機理分析。數(shù)學假模的一般步驟建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定的模式，通常與問題的性質(zhì)、建模目的等有關。下面介紹的是機理分析方法建模的一般過程，如下圖所示.模型準備模型假設模型構成模型檢驗模型分析模型求解模型應用模型準備了解問題的實際背景，明確建模的目的，搜集必要的信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的主要特征形成一個比較清晰的“問題”，由此初步確定用哪一類模型。情況明才能方法對。在模型準備階段要深入調(diào)查研究，虛心向?qū)嶋H工作者請教，盡量掌握第一手資料。模型假設根據(jù)對象的特征和建模目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，作出必要的、合理的簡化假設。對于建模的成敗這是非常重要和困難的一步。假設作的不合理或太簡單，會導致錯誤或無用的模型；假設作得過分詳細，試圖把復雜對象的眾多因素都考慮進去，會使你很難或無法繼續(xù)下一部的工作。常常需要再合理與簡化之間作出恰當?shù)恼壑?。模型構成根?jù)所作的假設，用數(shù)學的語言、符號描述對象的內(nèi)在規(guī)律，建立包含常量、變量等的數(shù)學模型，如優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型、圖的模型等。建模時應遵循的一個原則是：盡量采用簡單的數(shù)學工具，因為你的模型總希望更多的人了解和使用，而不是只供少數(shù)專家欣賞。模型求解可以采用解方程、畫圖形、優(yōu)化方法、數(shù)值計算、統(tǒng)計分析等各種數(shù)學方法，特別是數(shù)學軟件和計算機技術。模型分析對求解結果進行數(shù)學上的分析，如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的敏感性分析、對假設的強健性分析等。模型檢驗把求解和分析結果翻譯回到實際問題，與實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性和適用性。如果結果與實際不符，問題常常出在模型假設上，應該修改、補充假設，重新建模，如圖中的虛線所示。這一步對于模型是否真的有用非常關鍵，要以嚴肅認真的態(tài)度對待。有些模型要經(jīng)過幾次反復，不斷完善，直到檢驗結果獲得某種程度上的滿意。模型應用應用的方式與問題性質(zhì)、建模目的及最終的結果有關，本課程一般不討論這個問題。數(shù)學建模的全過程數(shù)學建模的過程分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，并且通過這些階段完成從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型，再從數(shù)學模型回到現(xiàn)實對象的循環(huán)，如下圖所示。數(shù)學模型現(xiàn)實對象的信息表述數(shù)學模型現(xiàn)實對象的信息（歸納）驗證求解（演繹）現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答解答現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述是將現(xiàn)實問題“翻譯”成抽象的數(shù)學問題，屬于歸納法。數(shù)學模型的求解則屬于演繹法。歸納是依據(jù)個別現(xiàn)象推出一般規(guī)律；演繹是按照普遍原理考察特定對象，導出結論。因為任何事物的本質(zhì)都要通過現(xiàn)象來反映，必然要透過偶然來表露，所以正確的歸納不是主觀、盲目的，而是有客觀基礎的，但也往往是不精細的、帶感性的，不易直接檢驗其正確性。演繹利用嚴格的邏輯推理，對解釋現(xiàn)象、作出科學預見具有重大意義，但是它要以歸納的結論作為公理化形式的前提，只能在這個前提下保證其正確性。因此，歸納和演繹是辨證統(tǒng)一的過程：歸納是演繹的基礎，演繹是歸納的指導。解釋是把數(shù)學模型的解答“翻譯”回到現(xiàn)實對象，給出分析、預報、決策或者控制的結果。最后，作為這個過程的重要的一環(huán)，這些結果需要用實際的信息加以驗證。上圖揭示了現(xiàn)實對象和數(shù)學模型的關系。一方面，數(shù)學模型是將現(xiàn)象加以歸納、抽象的產(chǎn)物，它源于現(xiàn)實，又高于現(xiàn)實。另一方面，只有當數(shù)學建模的結果經(jīng)受住現(xiàn)實對象的檢驗時，才可以用來知道實際，完成實踐——理論——實踐這一循環(huán)?！?．6數(shù)學模型的特點和建模能力的培養(yǎng)通過前面的學習，我們看到用建模方法解決實際問題，首先是用數(shù)學語言表述問題，即構造模型，其次才是用數(shù)學工具求解構成的模型。用數(shù)學語言表述問題，包括模型假設、模型構造等，除了需要廣博的知識和足夠的經(jīng)驗之外，特別需要豐富的想象力和敏銳的洞察力。想象力指人們在原來知識的基礎上，將新感知的形象與記憶中的形象相互比較、重新組合、加工處理，創(chuàng)造出新的形象，是一種形象思維活動。洞察力知人們在充分占有資源的基礎上，經(jīng)過初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍棄次要因素，簡化問題的層次，對可以用哪些方法解決面臨的問題，以及不同方法的優(yōu)劣作出判斷。比類方法和理想化方法是建模中常用的方法，它們的運用與想象力、洞察力有密切關系。類比法注意到研究對象與已熟悉的另一對象具有某些共性，比較二者相似之處以獲得對研究對象的新認識。選擇什么對象進行類比，比較哪些相似的屬性，在一定程度上是靠想象進行的。將交通流與水流類比來建立交通流模型是這方面的例子。理想化方法是從觀察和經(jīng)驗中通過想象和邏輯思維，把對象簡化、純化，使其升華到理想狀態(tài)，以期更本質(zhì)地揭示對象的固有規(guī)律。在一定條件下把物體看作質(zhì)點，把實際位置看成數(shù)學上的點、線等理想化的結果。直覺和靈感在數(shù)學建模中往往也起著不可忽略的作用。直覺是人們對新事物本質(zhì)的極敏銳的領悟、理解或推斷，靈感指在人們有意識或下意識思考過程中迸發(fā)出來的猜測、思路或判斷。二者都具有突發(fā)性，且思維者本人往往說不清它的來路和道理。當由于各種限制利用已有知識難以對研究對象作出有效的推理和判斷時，憑借相似、類比、猜測，外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、不嚴密的，帶啟發(fā)性的直覺和靈感，去“戰(zhàn)略性”地認識對象，是人類創(chuàng)造性思維的特點之一，也是人腦比按程序邏輯工作的計算機、機器人的高明之處。直覺和靈感不是憑空產(chǎn)生的，它要求人們具有豐富的背景知識，對問題進行反復思考和艱難探索對各種思維方法運用嫻熟。相互討論和思想交鋒，特別是不同專業(yè)的成員之間的探討，是激發(fā)直覺和靈感的重要因素。掌握建模這門藝術，培養(yǎng)想象力和洞察力，需要作好這樣兩條：第一，學習、分析、評價、改造別人作過的模型。首先弄懂它，分析為什么這么作，然后找出它的優(yōu)缺點，并嘗試改進的方法。第二，要親自動手，踏實地做幾個實際題目。為了這個目的，本課程主要將采取實例研究方法。[教學重點與難點] 了解數(shù)學建模的一般步驟和方法，體會如何用數(shù)學的語言和方法表述和解決實際問題。[思考題]１、§1．2的方桌問題（推廣到長方形）2、跑步問題：在任何5min的時間區(qū)間內(nèi)均不能跑500m，問10min內(nèi)能否恰好跑1000m。提示：第2章MATLAB語言[教學目的和要求]了解MATLAB在主要功能，掌握MATLAB的基本命令和語法；會利用MATLAB編寫程序。[教學內(nèi)容]1．MATLAB語言的特點與工作原理 2．MATLAB命令與文件的編輯 3．MATLAB語言應用舉例[教學重點與難點]MATLAB的基本命令和語法，難點是利用MATLAB編寫程序。[練習實驗題]1、隨機產(chǎn)生兩個矩陣A,B(都為10x10的方陣),計算A+B和AB2、計算自然底數(shù)e(精確到)第3章初等數(shù)學方法建模[教學目的和要求] 通過用簡單的數(shù)學方法對一些饒有趣味的實際問題的解決，進一步了解建模的方法，讓學生認識到衡量模型優(yōu)劣的標準是應用的效果而不是采用多么高深的方法。[教學內(nèi)容]§3．1公平的席位分配某學校有3個系共200名學生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。若學生代表會議設20個席位，公平而又簡單的席位分配方法是按學生人數(shù)的比例分配，顯然甲乙丙三系分別應占有10，6，4個席位。現(xiàn)在丙系有6名學生轉(zhuǎn)入甲乙兩系，各系人數(shù)如表1第2列所示。仍按比例（表中第三列）分配席位時出現(xiàn)了小數(shù)（表中第4列），在將取得整數(shù)的10席分配完畢后，三系同意剩下的1席參照所謂慣例分給比例中小數(shù)最大的丙系，于是三系仍分別占有10，6，4席（表中第5列）。因為有20個席位的代表會議在表決提案時可能出現(xiàn)10：10的局面，會議決定下一屆增加1席。他們按照上述方法重新分配席位，計算結果見表6，7列。顯然這個結果對丙系太不公平，因為總席位增加1席，而丙系卻由4席減為3席。請?zhí)岢鲂碌姆峙浞椒āＯ祵W生人數(shù)學生人數(shù)20個席位的分配21個席位的分配別的比例（%）比例分配參照慣例比例分配參照慣例甲10351.510.31010.81511乙6331.56.366.6157丙3417.03.443.5703總和200100.020.02021.00021分析：從表中可見，分配的席位從20->21,丙隊名額從4->3，顯然是不合理的。為了給出席位分配方案，我們先討論A,B兩方的席位分配方案。設兩方的認輸為,占有席位為;如這樣不公平程度可用來衡量；但這是一個絕對指標，有其不合理性，如=120,=100,==10及=1020,=1000,==10兩種情況指標值是一樣的。所以我們引入相對指標為對A的不公平度。如,可定義對B的不公平度當總席位增加一個時，要么分給A要么分給B,不失一般性可設，即對A不公平。當再分配一個席位時可能有以下3種可能。，說明給A增加一個仍然對A不公平，自然分給A。,說明給A增加一個席位對B不公平，計算rb(n1+1,n2)。，說明給B增加一個席位對A不公平，計算ra(n1,n2+1)。這樣如果則給A方，否則給B.而上式又等價于這樣我們定義，增加的一席分配給Q值較大的一方。這種席位分配的方法稱為Q值法。§3．2劃艇比賽的成績賽艇是一種靠槳手劃槳前進的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇，八人艇四種。各種艇雖然大小不同，但形狀相似。T.A.McMahon比較了各種賽艇1964-1970年四次2000m比賽的最好成績（包括1964年和1968年的兩次奧運會和兩次世界錦標賽），見表5第1到6列，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當一致的差別，他認為比賽成績與槳手數(shù)量之間存在著某中聯(lián)系，于是建立了一個模型來解釋這種關系。200m成績t（min）艇長l艇寬b艇重(kg)艇種1234平均(m)（m）l/b槳手數(shù)n單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7問題分析賽艇前進時受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦力。艇靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進。槳手越多，劃艇前進的動力越大。但是艇與槳手總重量的增加會使艇浸沒面積加大，于是阻力加大。建模目的是尋找槳手數(shù)量與比賽成績之間的數(shù)量規(guī)律。從上表中可以看出，槳手數(shù)增加時，艇的尺寸，及艇重都隨之增加，但比值和變化不大。若假定是常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得到艇浸沒面積與排水體積之間的關系。若假定是常數(shù)，則可得到艇和槳手的總重量與槳手數(shù)之間的關系。此外還需對槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關系等方面作出簡化且合理的假定，才能運用合適的物理定律建立需要的模型。模型假設各種艇的集合形狀相同，為常數(shù)；艇重與槳手數(shù)成正比。這是艇的靜態(tài)特征。艇速是常數(shù)，前進時受的阻力與成正比（是艇浸沒部分面積）。這是艇的動態(tài)特征。所有槳手的體重都相同，記作；在比賽中每個槳手的劃漿功率保持不變，且與成正比。模型構成有名槳手的艇的總功率與阻力和速度的乘積成正比，即（1）由假設2，3代入（1）式可得（2）由假設1，各種艇幾何形狀相同，若艇浸沒面積與艇的某特征尺寸的平方成正比（），則艇的排水體積必與的立方成正比（），于是有（3）又根據(jù)艇重與槳手數(shù)成正比，所以艇和槳手的總重量也與成正比，即（4）而由阿基米德定律，艇排水體積與總重量成正比，即（5）由（3），（4），（5）有（6）將（6）代入（2）式，當是常數(shù)時得到（7）因為比賽成績（時間）與成反比，所以就得到了（8）模型檢驗設與的關系為和為待定系數(shù)。對上式兩邊取，得到利用最小二乘法根據(jù)所給數(shù)據(jù)擬合上式，得到可以看出（8）式與這個結果吻合得相當好?！?．3錄象機計數(shù)器的用途老式的錄象機上都有計數(shù)器，而沒有計時器，一些錄音機也有類似的情況。這種計數(shù)器有什么用呢，讓我們從這樣一個問題開始：一盤表明180分鐘的錄象帶從頭轉(zhuǎn)到尾，用時184分鐘，計數(shù)器從0000變到6061。在某一次使用中錄象帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下一小時的節(jié)目。如果計數(shù)器讀數(shù)隨著錄象帶的轉(zhuǎn)動是均勻增加的，那么由于4450已經(jīng)顯著地超過6041的三分之二，即錄象帶已經(jīng)轉(zhuǎn)了兩小時多，所以顯然不能再錄一小時的節(jié)目。但是你細心地觀察一下就會發(fā)現(xiàn)，讀數(shù)并非均勻增長而是先快后慢，這樣，回答上面的問題就需要知道讀數(shù)器讀數(shù)與錄象帶轉(zhuǎn)過的時間之間的關系。本節(jié)目的就是建立表述這個關系的數(shù)學模型。首先，我們要找出計數(shù)器讀數(shù)（記n）與錄象帶轉(zhuǎn)過的時間（記t）之間的關系，即建立一個數(shù)學模型.模型假設錄象帶的線速度是常數(shù)v;計數(shù)器讀數(shù)n與右輪盤轉(zhuǎn)的圈數(shù)（m）成正比，m=kn,k為比例系數(shù)；錄象帶厚度是常數(shù)w,空右輪盤半徑為r；初始時刻t=0時n=0.模型建立由錄象帶轉(zhuǎn)m圈的長度和線速度的關系得考慮到w比r小得多及m=kn易得當然還可以用其他的辦法得到此式。將上式的兩個系數(shù)分別記為a和b即得通過實驗數(shù)據(jù)（如下表）經(jīng)擬合得a=0.00000261,b=0.0145這樣題目中的問題就可以解決了。t0102030405060708090n061711411601201924032760309634133715t100110120130140150160170184n400442804545480350515291552557526061§3．4雙層玻璃的功效你是否注意到北方城鎮(zhèn)的一些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層的玻璃且中間留有一定空隙，如下圖所示，兩層厚度為d的玻璃夾著一層厚度為l的空氣。據(jù)說這樣做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失。我們要建立一個模型來描述熱量通過窗戶的傳導（即流失）過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如圖三右圖，玻璃厚度為2d）的熱量傳導進行對比，對雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結果。墻墻dd2d熱傳導方向墻墻圖雙層玻璃與單層玻璃模型假設熱量的傳播過程只有傳導，沒有對流。室內(nèi)溫度和室外溫度保持不變，即沿熱傳導方向，單位時間通過單位面積的熱量是常數(shù)。玻璃材料均勻，熱傳導系數(shù)是常數(shù)。模型構成熱傳導過程遵循以下的物理定律：厚度為d的均勻介質(zhì)，兩側的溫度差為，則單位時間由溫度高的一側向溫度低的一側通過單位面積的熱量Q與成正比，與d成反比，即（1）為熱傳導系數(shù)。記雙層窗內(nèi)層玻璃的外側溫度是，外層玻璃的內(nèi)側溫度是，玻璃的熱傳導系數(shù)是，空氣的熱傳導系數(shù)是，由（1），單位時間單位面積的熱量傳導（熱量流失）為（2）由（2）可以得（3）對于厚度為2的單層玻璃，容易寫出其熱量傳導為（4）兩者之比為（5）顯然。由物理學的相關知識，有保守估計，取/=16，又.我們可以看出只與有關，是的減函數(shù)?！?．5動物的身長和體重四足動物的軀干的長度（不含頭尾）與它的體重有什么關系，這個問題有一定的實際意義。比如在生豬收購站或屠宰場工作的人們，往往希望能從生豬的身長估計出它的體重。動物的生理結構因種類不同而異，如果陷入對生物學復雜生理結構的研究，將很難得到滿足上述目的的有使用價值的模型。這里我們僅在十分粗略的假設基礎上，利用類比方法，借助力學的某些結果，建立動物身長與體重間的比例關系。把四肢動物的軀干看做圓柱體，長度、直徑、斷面面積，入下圖所示。將這種圓柱體的軀干類比作一根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用一些彈性力學的一些研究結果。設動物在自身體重f作用下軀干的最大下垂為b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對彈性梁的研究（1）因為，所以（2）四足動物軀干示意圖 動物軀干的相對垂度。太大，四足將無法支撐；太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費。因此從生物學的角度可以假定，經(jīng)過長期進化，對于每一種動物而言已經(jīng)達到其最合適的數(shù)值，換句話說，應視為與這種動物的尺寸無關的常數(shù)，于是由（2）式得到再從，，以（3）式代入可得即體重與軀干長度的4次方成正比。這樣，對于某一種四足動物比如生豬，在根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)以后，就能從軀干長度估計出動物的體重了。[教學重點與難點] 如何將講解的幾個實際問題歸結為數(shù)學問題，并進行求解。[練習實驗題]學校共1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學生們要組織一個10人的委員會，試用下列方法分配各宿舍的委員數(shù)：按比例分配取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大的。Q值方法：m方席位分配方案：設第i方人數(shù)為，已經(jīng)占有個席位，i=1，2，…，m .當總席位增加1席時,計算，i=1，2，…，m把這一席分給Q值大的一方。d’Hondt方法：將A，B，C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,…相除，其商數(shù)如下表：12345…A235117.578.358.75…B333166.511183.25…C43221614410886.4將所得商數(shù)從大到小取前10個（10為席位數(shù)），在數(shù)字下標以橫線，表中A,B,C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個宿舍分配的席位。（試解釋其道理。）（4）試提出其他的方法。第4章數(shù)學的巧妙應用[教學目的和要求]通過一些簡單的問題，讓學生嘗試怎樣把數(shù)學應用到實際問題中，培養(yǎng)和發(fā)揮學生的創(chuàng)造性思維。[教學內(nèi)容]問題：棋子顏色的變化任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8個，排成如下圖所示的一個圓圈。然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顆顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子。在重復以上的過程，這樣放一圈后就拿走前次的一圈棋子，問這樣重復進行下去各棋子的顏色會怎樣變化呢？跑步問題在任何一個5min的時間去件內(nèi)均不跑500m，問10min能否恰好跑完1000m？鋪瓷磚問題要用40快方形瓷磚鋪如下圖所示形狀的地面，但當時市場上只有長方形瓷磚，每塊大小等于方形的兩塊。一人買了20塊長方形瓷磚，試著鋪地面，結果弄來弄去始終無法鋪好。試問是這人的工夫不到家還是這個問題根本無解呢？鋪瓷磚地面七橋問題18世紀，普魯士哥尼斯堡鎮(zhèn)上有一個小島，島旁流過一條河的兩條支流，七座橋跨在河的兩支流上（如下圖）。假設A表示島，B表示河的左岸，C表示右岸，D為兩支流間地區(qū)，a,b,c,d,e,f,g分別表示七座橋。問一個人能否經(jīng)過每座橋一次且恰好經(jīng)過每座橋一次并且最后回到原出發(fā)點？圖：哥尼斯七橋相識問題在6人的集會上，假定認識是相互的，則總能找到或者3個人相互都認識，或者3個人誰都不認識誰。請問這個結論正確嗎？夫妻過河問題有三對夫妻要過河，船至多可載2人，條件是任一女子不能在其丈夫不在場的情況下與另外的男子在一起，問如何安排這3對夫妻過河。解答：棋子顏色的變化這個問題似乎和數(shù)學沒有關系，純粹是游戲性的東西。但我們完全可以用數(shù)學的推理方法說明最多經(jīng)過8次變換，各棋子的顏色都會變黑.注意到我們的規(guī)則是同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，用+1表示黑，-1表示白，則這與+1、-1之間的乘法運算是一致的，開始擺的8顆棋子記為，我們僅關心的是棋子的顏色，故+1或-1，，下一次在與中間擺的棋子的顏色由決定，類似的正好給出了所放棋子的顏色，這樣一次次地放下去，各次的顏色均可由下面的數(shù)確定：第0次第1次第2次第三次第八次在原來的基礎上，最多經(jīng)過8次變換以后，各個數(shù)都變成了+1，這意味著所有旗子都是黑色，且以后重復上述過程，顏色也就不再變化了。跑步問題設[0，t]內(nèi)跑過的距離為，則是t的連續(xù)非減函數(shù)，假設在10分鐘之內(nèi)能夠跑1000m，則有，，令,就是t的連續(xù)函數(shù)，=，，因，故由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必有，與題意矛盾，所以假設錯誤，題目中提出的要求無法實現(xiàn)。瓷磚問題首先討論用20塊長方形瓷磚鋪成題中圖所示地面的可能性。為此，在圖上黑白相間地染色。然后仔細觀察，發(fā)現(xiàn)工有19個白格和21個黑格。一塊長方形瓷磚可以蓋住一黑一白兩個方塊兩個方塊。所以鋪上19塊長方形瓷磚后，總要剩下2個黑格無法鋪，因一塊長方形瓷磚是無法蓋住兩個黑格的，唯一的解決辦法是把最后一塊瓷磚分為兩個正方形瓷磚去蓋住兩個黑格。解決這一問題時所用的方法在數(shù)學上稱為奇偶檢驗，即可認為圖黑色的格子是偶數(shù)，涂白色的格子是奇數(shù)，同色的格子有相同的奇偶性，一塊長方形瓷磚顯然只能覆蓋奇偶性相反的一對方格，因此把19塊瓷磚在地面上鋪好后，只有在剩下的兩個方格具有相反的奇偶性時，才可能把最后一塊長方形瓷磚鋪上。由于剩下的兩個方格具有相同的奇偶性，因此無法鋪上最后一塊瓷磚。七橋問題建模既然島與陸地無非是橋梁連接的，那么就不妨把4處地點縮?。ǔ橄螅┏?個點，并把7座橋縮?。ǔ橄螅┏?條邊，便得到七橋問題的模擬圖（如下），于是七橋問題就等價為一筆畫出上述圖形的問題（每條邊必須且只須經(jīng)過一次）。圖：七橋模擬圖歐拉解決七橋問題是先考慮一般化問題：如果給定任意一個河道圖與任意河道圖與任意多座橋，可否判斷每座橋能否恰好走過一次呢？一般化的問題就要有一個一般解法，才有更實際的意義，考查一筆畫的結構特征，有個起點和終點（起點和終點重合時即為歐拉圖）。除起點與終點處，一筆中出現(xiàn)在交點處的邊總是一進一出的，故交點的度數(shù)總和為偶數(shù)，由此歐拉給出一般結論：連接奇數(shù)個橋的陸地僅有一個或超過兩個以上，不能實現(xiàn)一筆畫。連接奇數(shù)個橋的陸地僅有兩個時，則從兩者任一陸地出發(fā)，則從兩者任一陸地出發(fā)，可以實現(xiàn)一筆畫而停在另一陸地。每個陸地都連接有偶數(shù)個橋時，則從任一陸地出發(fā)都能實現(xiàn)一筆畫，而回到出發(fā)點。對于模擬圖，顯然圖必須是連通的，當且僅當圖為歐拉圖時，一筆畫問題才能實現(xiàn)，由圖可以知道，問題無解。相識問題本問題也可以通過圖論獲解。用6個點（記為）表示6個人，若兩個人相互認識，就在相應的兩個點之間連一條邊，則此圖補圖的一條邊就表示對應于它的關聯(lián)頂點的人相互不認識，于是問題轉(zhuǎn)化為須證下列命題：對于一個任意的具有6個頂點的簡單圖，要么這圖本身要么它的補圖含有一個三角形（即具有3個頂點的完全圖）.圖：相識圖不妨考慮與其余的5個頂點不在中相鄰就在中相鄰，因此在中或在中，至少與三個點相鄰，不妨假設在中，有邊，見下圖若這3個點有兩個點在中相鄰，比如說，則有這3個頂點的完全圖即為所求。若這3個頂點任兩個點在中不相鄰，則在中，則這3個頂點的完全圖即為所求。由此，問題得到解決。夫妻過河問題用向量表示有個男人和個女人在左岸，其中.可取狀態(tài)：一共10個，它們是其中表示對夫妻.可取運載：取可取運載向量為其中，且，.當為奇數(shù)時，負向量表示過河；當為偶數(shù)時，正向量表示從對岸返回來?？扇∵\算：按普通向量加法運算，一次過河就相當于一個可取狀態(tài)向量與一個可取運載向量相加.問題轉(zhuǎn)化為：由初始狀態(tài)經(jīng)多少次（奇數(shù)次）可取運算才能轉(zhuǎn)化為狀態(tài).可以驗證，經(jīng)11次可取運算即可完成：計算機求解：記可取狀態(tài)集合和可取運載集合分別為并用表示狀態(tài)的變化過程，表示狀態(tài)下的過河方案，當為奇數(shù)時，表示從左岸到右岸，當為偶數(shù)時，表示從右岸到左岸。狀態(tài)轉(zhuǎn)移滿足如下關系：問題轉(zhuǎn)化為：求，使狀態(tài)從初始狀態(tài)經(jīng)轉(zhuǎn)移達到最小的.用這個模型可以很方便的在計算機上求解，如果計算過程出現(xiàn)循環(huán)，說明問題無解答。圖解法求解：在平面坐標系中，用“”表可取狀態(tài)，從經(jīng)奇數(shù)次轉(zhuǎn)移到達，其轉(zhuǎn)移規(guī)則為：第奇數(shù)次轉(zhuǎn)移應該向左或向下移動2格，而落在一個可取狀態(tài)上.第偶數(shù)次轉(zhuǎn)移時需向右或上移動1至兩格而落在一個可取狀態(tài)上.下圖給出了一種可實現(xiàn)的轉(zhuǎn)移過程。[教學重點與難點]靈活地應用數(shù)學去解決實際問題。[練習實驗題]第5章微積分的應用[教學目的和要求]提供一些簡化的應用問題，用學習過的高等數(shù)學的知識來解決這些實際問題，增加學習數(shù)學的興趣和應用數(shù)學的能力。[教學內(nèi)容]問題雨中行走問題人在雨中沿直線從一處向另一處行走，當雨的速度已知時，問人行走的速度多大時才能使淋雨量最小。磁盤的最大存儲量微型計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構成的同心軌道，扇區(qū)是指被圓心角分隔所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。磁盤的構造如下圖。為了保障磁盤的分辨率，磁道寬度必須大于，每比特所占用的磁道長度不得小于.為了數(shù)據(jù)檢索的便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)?，F(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)的半徑是介于與之間的環(huán)行區(qū)域，試確定，使磁盤具有最大存儲量。通信衛(wèi)星的覆蓋面積一顆地球同步軌道通信衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi)，且可近似認為是圓軌道。通信衛(wèi)星運行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相同，即人們看到它在天空不動。若地球半徑取為，問衛(wèi)星距地面的高度應為多少？試計算通信衛(wèi)星的覆蓋面積。水的流出時間一橫截面積為常數(shù)，高為的水池內(nèi)盛滿了水，由池底一橫截面積為的小孔放水。設水從小孔流出的速度為，求在任意時刻的水面高度和將水放空所需的時間。交通管理中的黃燈在十字路口的交通管理中，亮紅燈之前，要亮一段時間的黃燈，這是為了讓那些正行駛在十字路口上或距十字路口太近以至無法停下的車輛通過路口。那么，黃燈應該亮多長時間呢？[教學重點與難點]利用高等數(shù)學的知識，來建立解決這些實際問題的模型。[練習實驗題]一容器內(nèi)盛入鹽水100升，含鹽50克，然后將2克/升的鹽水流入容器內(nèi)，流量為3升/秒；設流入鹽水與原有鹽水攪拌而成均勻的混合物。同時，此混合物又以2升/秒的流量流出，試求出在30秒時，容器內(nèi)所含的鹽量。若以同樣的流量放進的是淡水，則30秒時，容器內(nèi)還剩下多少鹽。第6章隨機模型[教學目的和要求]通過對隨機現(xiàn)象的觀察和分析，找出隨機事件發(fā)生的概率，構造一些統(tǒng)計量；結合一些實例來說明處理隨機現(xiàn)象的一些方法，并讓學生了解這些方法。[教學內(nèi)容]問題賭博問題均勻正方體骰子的六個面分別刻有1，2，3，4，5，6的字樣，將一對骰子拋25次決定勝負。問將賭注押在“至少出現(xiàn)一次雙六”或“完全不出現(xiàn)雙六”的哪一個上面有利。Banach火柴盒問題波蘭數(shù)學家Banach隨身帶著兩盒火柴，分別放在兩個衣袋里，每盒有n根火柴，每次使用時，便隨機地從其中一盒中取出一根。試求他將其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根數(shù)的分布規(guī)律。信與信封的匹配問題某人給他的N個朋友寫信，寫好分別將這些信放入N個信封中，并在每一個信封上分別任意不重復地寫上N個收信人中的一個地址。問他一個都沒有寫正確和恰好有r個寫正確的可能性分別是多少？供電問題設某車間有200臺車床相互獨立的工作，由于經(jīng)常需要檢修、測量、調(diào)換刀具、變換位置等種種原因需要停機。若每太車床有60%的時間在開動，而每臺車床在開動時需耗電1kW，問應供給這個車間多少電力才能保證在8h生產(chǎn)中大約僅有半分鐘因電力不足而影響生產(chǎn)。釣魚問題為了估計湖中的魚的數(shù)量，先從湖中釣出r條魚做上記號后又放回湖中，然后再從湖中釣出S條魚，結果發(fā)現(xiàn)S條中有x條魚標有記號。問應該如何估計湖中魚的數(shù)量N?報童的策略報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。每份報紙的購進價為b元，零售價為a元，退回價為c元，a>b>c.報童售出一份報紙賺a-b元，退回一份報紙賠b-c元。報童每天如果購進的報紙?zhí)?，不夠賣時會少賺錢，如果購進的太多賣不出去時要賠錢。試為報童籌劃每天應該如何確定購進的報紙數(shù)使收益最大。機器任務分配某工廠用200臺機器來加工兩種零件，需要安排4周完成任務。根據(jù)以往的經(jīng)驗知道：機器加工第一種零件，一周后損壞的概率是1/9；加工第二種零件，一周后的損壞率為1/10。如果機器加工第一種零件一周的收益為90元，加工第二種零件一周的收益為88.5元。問怎樣分配機器的任務，才能使總的收益最大？設備的維修更換由于種種預想不到的原因，設備會突然發(fā)生故障，并需要立即更換機件。由于故障發(fā)生的隨機性，故障后的實際更換費用比預防性更換費用要多。為了減少故障發(fā)生的次數(shù)，應按規(guī)定的時間間隔進行預防性更換，間隔期越短，更換所需要的費用也就越多。現(xiàn)在的問題是：如何確定預防性更換的最優(yōu)間隔期，使得預防更換所花的費用與更換后減少故障所取的經(jīng)濟效益綜合平衡，使設備在單位時間內(nèi)的預期更換費用最低？排隊問題某超市有一個收款太，已知顧客到收款臺和服務的時間都是隨機的，顧客按Poisson流到達，平均每小時到達20人，收款時間服從負指數(shù)分布，平均每個顧客需要2.5min。試求該收款機服務員空閑的概率、服務臺前排隊顧客的期望值和每個顧客等待時間的期望值。10、測16名成年女子的身高與腳長所得數(shù)據(jù)如下：身高（cm）143145146147149150153154155156157158159160162164腿長（cm）8885889192939395969897969899100102試研究這些數(shù)據(jù)之間的規(guī)律。[教學重點與難點]處理隨機現(xiàn)象的一些基本方法。[練習實驗題]數(shù)學建模與數(shù)學實驗問題10上機實現(xiàn)第7章規(guī)劃模型[教學目的和要求]了解線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的基本概念和算法，結合實際問題讓學生學會優(yōu)化問題的建模方法。規(guī)劃模型[教學目的和要求]了解線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的基本概念和算法，結合實際問題讓學生學會優(yōu)化問題的建模方法。[教學內(nèi)容]在眾多實際問題中，常常要求決策（確定）一些可控制量的值，使得相關的量（目標）達到最佳（最大或最?。＿@些問題就叫優(yōu)化問題，通常需要建立規(guī)劃模型進行求解。稱這些可控制量為決策變量，相關的目標量為目標函數(shù)；一般情況下，決策變量x的取值是受限制的，不妨記為，稱為可行域，優(yōu)化問題的數(shù)學模型可表示為Mix(或Min)f(x),一般情況下，x是一個多元變量，f(x)為多元函數(shù)，可行域比較復雜，一般可用一組不等式組來表示，這樣規(guī)劃問題的一般形式為.雖然，該問題屬于多元函數(shù)極值問題，但變量個數(shù)和約束條件比較多，一般不能用微分法進行解決，而通過規(guī)劃方法來求解；這里討論的不是規(guī)劃問題的具體算法，主要是討論如何將一個實際問題建立優(yōu)化模型，并利用優(yōu)化軟件包進行求解。根據(jù)目標函數(shù)和約束函數(shù)是否為線性，將規(guī)劃模型分為線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃。線性規(guī)劃線性規(guī)劃問題很多，最具代表性的有投資問題、配料問題、生產(chǎn)計劃安排問題、勞動力安排問題、運輸問題等。例1某工廠在計劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)1、2兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需要的設備臺時和A、B兩種原材料的消耗以及資源的限制情況材料的消耗以及資源的限制表產(chǎn)品1產(chǎn)品2資源限制設備11300臺時原料A21400kg原料B01250kg該工廠每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品1可獲利50元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品2可獲利100元，問工廠應生產(chǎn)多少個1產(chǎn)品和2產(chǎn)品使工廠獲利最大。Matlab函數(shù)調(diào)用的標準形式模型語法：X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)程序：f=[-50-100]’;A=[11;21;01];b=[300400250]’;lb=[00]’;[X,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)計算結果X=[50,250],fval=27500例2某商業(yè)集團公司在三地設有倉庫，它們分別庫存40，20，40個單位質(zhì)量的貨物，而其零售商店分布在地區(qū)，它們需要的貨物量分別是25，10，20，30，15個單位質(zhì)量。產(chǎn)品從到的每單位質(zhì)量裝運費列于下表：5530405040353010045604060953530試建立裝運費最省的調(diào)運方案的數(shù)學模型.設表示從第i個倉庫到第j個商店的運量；表示從第i個倉庫到第j個商店的單位運量的運費；表示第i個倉庫的庫存量；表示第j個商店的需求量庫存量；建立規(guī)劃模型如下：例3p832．非線性規(guī)劃[教學重點與難點]線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的基本概念和算法，優(yōu)化問題的建模方法。非線性規(guī)劃模型在實際中的應用及其廣泛，但其計算也非常困難，至盡還沒有一種非常有效的通用的方法，常用的方法主要有：剃度法、牛頓迭代法、最速下降法、神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳算法等，這里我們主要任務是討論如何建立非線性規(guī)劃模型，并利用matlab優(yōu)化軟件包進行計算。在建立規(guī)劃模型時，首先要確定決策變量和目標函數(shù)。例1求側面積為150m2的體積最大的長方體的體積。解：設長方體的長、寬、高分別為建立模型如下Matlab計算程序：編一個M文件為myfun.mFunctionf=myfun(x)f=-x(1)*x(2)*x(3);編一個M文件為myfunc.mFunction[c,ceq]=myfunc(x)ceq=x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(1)*x(3)-75;給定初值x0=[456];lb=zeros(31)調(diào)用函數(shù)為[x,fval]=fmincon(@myfun,x0,[],[],[],[],lb,[],@myfunc)計算結果：X=[5,5,5],fval=125.例2假設市場上只有兩只股票A,B可供選擇，且該投資者對未來一年的股票市場進行了分析，認為市場只能出現(xiàn)兩種可能的情況（1和2），此外，該投資者對每種情況出現(xiàn)的概率、每種情況出現(xiàn)時兩只股票的增值情況進行了預測分析（見表），該投資者是一位非常保守的人，其投資目標是使兩種情況下最小的收益最大化，如何建立模型，并進行求解？解：設年初投資A,B股票的比例分別為x1,x2;目標函數(shù)為：max(min(x(1)+1.2*x(2),1.5*x(1)+0.7*x(2)))限制條件為：x1+x2=1;x1,x2>=0Matlab計算：建立M文件myfun1.mfunctionf=myfun1(x)f=-min([x(1)+1.2*x(2),1.5*x(1)+0.7*x(2)]);函數(shù)調(diào)用：x0=[0.40.6]';lb=zeros(0,1);aeq=[11];beq=[1];[x,fval]=fmincon(@myfun1,x0,[],[],aeq,beq,lb)計算結果：x=[0.5001，0.4999]fval=-1.1000例3河流供水問題：供水損耗率與距離平方成反比，試給出最佳的供水方案。仰水站A仰水站A85仰水站B90A1（52）A2（80）A3（38）A4（70）A5（49）A6（62）[教學重點與難點]線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的基本概念和算法，優(yōu)化問題的建模方法。[練習實驗題]鋼管下料問題實現(xiàn)第8章差分方程建模[教學目的和要求] 通過具體例子介紹確定性動態(tài)離散模型的建立方法，并用差分方程進行求解。問題銀行復利的計算一個人為了積累養(yǎng)老金，他每個月按時到銀行存100元，銀行的年利率為4%，如果利息按復利計算，試問此人在5年后共積累了多少養(yǎng)老金？如果存款和復利按日計算，則他又有多少養(yǎng)老金？如果復利和存款按連續(xù)計算呢？設年利率為，每時段的利率為（如按月記，如按日記），每時段處的存款額為（如按月記，如按日記），第時段末的本息和為，則有所以按年存款，5年后的存款為：所以按月存款，5年后的存款為：所以按日存款，5年后的存款為：如將一月分成m段則每筆存款在第一個月的本息和是每筆存款在第i個月后的本息和是所以五年的本息總和為所以按月存款，按日記息，5年后的存款為：所以按月存款，按小時記息，5年后的存款為：所以按月存款，按連續(xù)復利計算，5年后的存款為：植物基因的分布設一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的基因型為AA、Aa和aa.研究所計劃采用AA型的植物與每一種基因型植物相結合的方案培育植物后代。問經(jīng)過若干年后，這種植物的任意一代的三種基因分布如何？問題的分析及求解：AAAaaaAAAAAAAAAaAaAa設第n階段AA、Aa和aa.三種基因的比例為，則其中抵押貸款《報刊文摘》1994年3月3日載：“職工購買公房，一次性付清房款的，可申請抵押貸款，貸款部分不超過房價的70%，限期25年，利息高于銀行存款利息?！毙±罘驄D要購買二居室公房一套，共10萬元一次付清。他們自己設法籌借到4萬元，另外6萬元申請抵押貸款。若貸款月利率為1%，還貸期限25年，問小李夫婦每月要還多少錢？若希望每月還的錢最少，應選擇的利率大小和借期的最佳值應為多少？設貸款額為，每月還貸款額為，月利息為，第個月后的欠款為，則第1個月后還欠款：；第2個月后還欠款：；……第個月后還欠款：.所以，抵押貸款的數(shù)學模型為：n=0,1,2,3,…計算月還款額：記令得當小李夫婦正要簽約時，房地產(chǎn)商提出了一個更誘人的承諾；在每月還款額不變的前提下，可以提前三年還清貸款，但他們的條件是，小李改為每半月還316元，且首期必須先預付三個月的還款，小李夫婦很動心，請參謀！問題的分析：兩者到底要選擇哪一個，不能完全憑感覺，首先得有一個可以用來比較的指標，請大家先思考…如果我們用房地產(chǎn)商的規(guī)則跟銀行記帳，需要多少時間付清那？將x=316,q=1.005,a0=60000-1896=598104代入（1）式，解得，合21年。按年齡分組的人口增長模型前面，我們通過建立微分方程得到了人口增長模型；但那個模型均不能很好地反應人口增長的規(guī)律，這里，我們將通過將人口按年齡段進行分組，利用差分方程建立人口增長模型。模型的建立：將人口按一定的年齡間隔等分為n個組，對時間按同樣的間隔進行離散化，考慮到不同性別的人口數(shù)量是一樣的，這里只考慮女性。設為時段k第i個年齡組的人口數(shù)量，bi和di表示第i個年齡組的在一個時間段內(nèi)繁殖率和死亡率。這樣，記時段k人口按年齡組的分布向量為于是如果已知起始時段各年齡組的人數(shù)x(0)，就可以計算出任意時段的人數(shù)。[練習實驗題]在測量某種細菌增長速度的實驗中，采集到如下數(shù)據(jù)：時間01234567數(shù)量（p）9.618.329.047.271.1119.1174.6357.3差分(dp)8.710.718.223.948.055.582.71繪制散點圖；2擬合該曲線；3求

p的通項公式。[教學重點與難點] 建立確定性動態(tài)離散模型，求解差分方程。[練習實驗題]四人追逐問題求解（高等數(shù)學實驗課Ｐ２２４）；第9章離散模型[教學目的和要求] 介紹層次分析法的基本原理和方法，并利用層次分析法對一些定性問題建立定量模型，對此進行求解，達到解決問題的目的。[教學內(nèi)容]§8．1層次分析模型（姜啟源p224）§8．2循環(huán)比賽的名次§8．3足球隊排名[教學重點與難點] 層次分析法的基本原理和方法，層次分析法建模、求解。[練習實驗題]足球隊排名計算第11章：圖論初步．第1