高中數(shù)學(xué)-橢圓定義的應(yīng)用探究教學(xué)課件設(shè)計(jì)

2.1橢圓定義的應(yīng)用探究數(shù)學(xué)高二年級(jí)選修2-1人民教育出版社(A版)

橢圓定義的應(yīng)用探究

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．【知識(shí)目標(biāo)】（1）理解掌握橢圓定義.（2）應(yīng)用橢圓定義探究橢圓的性質(zhì)3.

【突破方法】探究發(fā)現(xiàn)——運(yùn)用提高——反思提升2.[重點(diǎn)]：掌握橢圓定義及應(yīng)用

[難點(diǎn)]：幾何性質(zhì)，橢圓定義的綜合運(yùn)用已知點(diǎn)Q是圓F1:(x+

)2+y2=16上任意一點(diǎn),F2(

,0)是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段F2Q的垂直平分線與半徑F1Q交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),寫(xiě)出點(diǎn)P的軌跡方程.

一

橢圓定義的生成例1已知點(diǎn)Q是圓F1:(x+

)2+y2=16上任意一點(diǎn),F2(

,0)是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段F2Q的垂直平分線與半徑F1Q交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),寫(xiě)出點(diǎn)P的軌跡方程.

一

橢圓定義的生成例1已知點(diǎn)Q是圓F1:(x+

)2+y2=16上任意一點(diǎn),F2(

,0)是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段F2Q的垂直平分線與半徑F1Q交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),寫(xiě)出點(diǎn)P的軌跡方程.解:由題意知|PQ|=|PF2|，又∵|F1Q|=|F1P|+|PQ|=4,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=4>|F1F2|=2由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡是橢圓,a=2,c=∴b=1，∴點(diǎn)P的軌跡方程

+y2=1.

一

橢圓定義的生成橢圓：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值（定值大于兩定點(diǎn)的距離）的點(diǎn)的軌跡.已知圓F1:(x+

)2+y2=16,過(guò)點(diǎn)F2(

,0)的直線與圓交于MN兩點(diǎn)，過(guò)F2作F1N的平行線與交F1M于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.

二.橢圓定義的自覺(jué)運(yùn)用自主探究已知圓F1:(x+

)2+y2=16,過(guò)點(diǎn)F2(

,0)的直線與圓交于MN兩點(diǎn)，過(guò)F2作NF1的平行線與交F1M于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.

二.橢圓定義的自覺(jué)運(yùn)用自主探究解:因?yàn)閨F1M|=|F1N|,PF2∥NF1，故∠PF2M=∠F1NM=∠F1MN，所以|PF2|=|PM|，故|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+

)2+y2=16，從而|F1M|=4,所以|PF1|+|PF2|=4,a=2,c=,b=1，由橢圓定義可得∴點(diǎn)P的軌跡方程

+y2=1

(y≠0).到兩定點(diǎn)距離和為定值(Ⅱ).當(dāng)點(diǎn)P在橢圓

(a>b>0)上運(yùn)動(dòng)時(shí),F1F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，的長(zhǎng)度變化范圍?過(guò)F1的直線交橢圓于AB兩點(diǎn),|AB|在什么位置最短?三：分層探究焦點(diǎn)三角形中邊角關(guān)系分層探究(學(xué)習(xí)組自主選擇探究問(wèn)題)(Ⅲ)點(diǎn)A，B分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓

(a>b>0)上運(yùn)動(dòng),探究:當(dāng)P位于______位置時(shí)，∠A

PB最大.

（2）猜想與證明：一般地，點(diǎn)P在

(a>b>0)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ與OM的斜率之積是否為定值?(Ⅰ).|PF1|與|PF2|為定值，那么|PF1|與|PF2|積呢？(Ⅰ).當(dāng)點(diǎn)P在橢圓

(a>b>0)上運(yùn)動(dòng)時(shí),F1F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，則的最大值是________.

a2共同關(guān)注,合作探究到兩定點(diǎn)的距離積的范圍三：互助探究焦點(diǎn)三角形中邊角關(guān)系解:

∵|PF1|+|PF2|=2a,

∴當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào).(Ⅱ).當(dāng)點(diǎn)P在橢圓

(a>b>0)上運(yùn)動(dòng)時(shí),F1F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，的最大值是____，最小值是_____.

二：互助探究焦點(diǎn)三角形中邊角關(guān)系a+ca-c分層探究,分組展示焦點(diǎn)弦的取值范圍(Ⅱ).點(diǎn)P在橢圓(a>b>0)上運(yùn)動(dòng)時(shí),F1F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于AB兩點(diǎn),當(dāng)AB在什么位置時(shí),|AB|的長(zhǎng)的最小值.焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度：分層探究,分組展示(Ⅲ).點(diǎn)A，B分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓

(a>b>0)上運(yùn)動(dòng),探究當(dāng)P位于___________位置時(shí)，∠A

PB的值最大.

兩頂點(diǎn)張角大小的探究：上(下)頂點(diǎn)分層探究,分組展示1.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓

(a>b>0)上運(yùn)動(dòng)時(shí),F1F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，滿足__________條件時(shí),總存在點(diǎn)P,使∠F1PF2=900

,離心率的取值范圍是運(yùn)用橢圓定義探究焦點(diǎn)三角形中邊角關(guān)系共同關(guān)注,合作探究c≥b方案一:1.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓

(a>b>0)上運(yùn)動(dòng)時(shí),F1F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，滿足__________條件時(shí),總存在點(diǎn)P,使∠F1PF2=900

,離心率的取值范圍是運(yùn)用橢圓定義探究焦點(diǎn)三角形中邊角關(guān)系共同關(guān)注,合作探究c≥b方案二:當(dāng)P在上（下）頂點(diǎn)位置時(shí)，∠F1PO≥45°,tan∠F1PO≥1,所以c≥b.1.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓

(a>b>0)上運(yùn)動(dòng)時(shí),F1F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn),總存在點(diǎn)P,使∠F1PF2=900

,求離心率的取值范圍.運(yùn)用橢圓定義探究焦點(diǎn)三角形中邊角關(guān)系共同關(guān)注,合作探究解法三:

∵|PF1|+|PF2|=2a,

|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴(|PF1|+|PF2|)2

-2|PF1||PF2|=4c2,∴(|PF1||PF2|)=2a2-2c2,又

當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào).∴2a2-2c2≤a2,∴a2≤2c2,得1.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓

(a>b>0)上運(yùn)動(dòng)時(shí),F1F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn),總存在點(diǎn)P,使∠F1PF2=900

,求離心率的取值范圍.運(yùn)用橢圓定義探究焦點(diǎn)三角形中邊角關(guān)系共同關(guān)注,合作探究解法四：設(shè)P（acosθ,bsinθ),所以(acosθ+c)(acosθ-c）+b2sin2θ=0，a2cos2θ+（a2-c2)

sin2θ=c2.a2=(1+sin2θ)c2.得e2=.

2.點(diǎn)M(-,2),點(diǎn)P在橢圓

+y2=1

上運(yùn)動(dòng)時(shí),F1F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，則的最大值是——.

四.橢圓定義及探究結(jié)論在焦點(diǎn)三角形中的運(yùn)用6和諧之美共同關(guān)注,合作探究解:

∵|PF1|+|PF2|=4,

∴|PM|+|PF2|=|PM|+4-|PF1|≤

4+|MF1|=6當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào).1.為了考察冰川的融化狀況,我國(guó)科考隊(duì)在某冰川山上相距8Km的A,B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地,視冰川面為平面形,以過(guò)A.

B兩點(diǎn)的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).考察范圍到A.

B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)10Km的區(qū)域.求考察區(qū)域邊界曲線的方程.

五.知識(shí)遷移：定義法在解決圓錐曲線問(wèn)題中的類比應(yīng)用回歸橢圓定義2.由于考察冰川出現(xiàn)融化,科考隊(duì)重新在某冰川上相距8km的A,B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地.視冰川面為平面形,以過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.在直線x=2的右側(cè),考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過(guò)km的區(qū)域;在直線x=2的左側(cè),考察范圍為到A,B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)km的區(qū)域.求考察區(qū)域邊界曲線的方程.

五.知識(shí)遷移：定義法在解決圓錐曲線問(wèn)題中的類比應(yīng)用2.解:設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）.當(dāng)x≥2時(shí)，由題意知(x-4)2+y2=.當(dāng)x<2時(shí)，由|PA|+|PB|=4知，點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為2a=4的橢圓上.此時(shí)短半軸長(zhǎng)b=2.因而其方程為.故考察區(qū)域邊界（如圖）的方程為C1：(x-4)2+y2=（x≥2）和C2：(x＜2）.

五.知識(shí)遷移：定義法在解決圓錐曲線問(wèn)題中的類比應(yīng)用回歸橢圓,圓的定義3.點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東4km,點(diǎn)C在B北偏東300的2km處,我們家鄉(xiāng)白馬河沿岸PQ上任意點(diǎn)到點(diǎn)A的距離比點(diǎn)B的距離遠(yuǎn)2km，在河岸PQ的選點(diǎn)M建設(shè)碼頭，從碼頭到B，C的修路費(fèi)用均為m萬(wàn)元每千米，請(qǐng)你參與規(guī)劃，怎樣選址，才能使修路費(fèi)用最??？最小值是多少？五.知識(shí)遷移：定義法在解決圓錐曲線問(wèn)題中的類比應(yīng)用解：以AB所在的直線為小軸，線段AB的中垂線為y軸,建系如圖:|MA|-|MB|=2,點(diǎn)M在以AB為焦點(diǎn)的雙曲線右支上,|MC|+|MB|=|MC|+MA|-2≥|AC|-2.又A(-2,0),C(3,

),所以修路費(fèi)用最小值是m萬(wàn)元.雙曲線：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差為定值（定值小于兩定點(diǎn)的距離）的點(diǎn)的軌跡.4.已知直線l1:3x?4y?6=0和直線l2:y=

-

,若拋物線C:x2=2py(p>0)上的點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.則拋物線C的方程_______.五.知識(shí)遷移：定義法在解決圓錐曲線問(wèn)題中的類比應(yīng)用4.已知直線l1:3x?4y?6=0和直線l2:y=

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,若拋物線C:x2=2py(p>0)上的點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.則拋物線C的方程_______.

解：直線l2為拋物線C:x2=2py的準(zhǔn)線,根據(jù)拋物線的定義,可得拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l