天體運動宇宙速度

人造地球衛(wèi)星運行問題的幾個原則

人造地球衛(wèi)星的運行問題的分析和求解，需綜合運用萬有MmCj =ma（衣+對MmCj =ma（衣+對由此結(jié)果可以看出，影響衛(wèi)星運動情況的與衛(wèi)星有關(guān)的參數(shù)中僅僅是引力定律、牛頓第二定律等力學(xué)規(guī)律及方法，分析與求解人造地球衛(wèi)星運行類問題遵從以下幾個原則。軌道球心同面原則軌道球心同面原則，是說人造地球衛(wèi)星的運行軌道平面必通過地球球心。設(shè)想有一人造地球衛(wèi)星的運行軌道不通過地心，而僅垂直于地軸，如圖1所示。則衛(wèi)星將在地球?qū)ζ涞娜f有引力F的分量F/乍用下繞地軸做圓周運動；同時在F的分量F的作用下在地球赤道平面上下振動。這樣，這個衛(wèi)星的運行軌道將成1為螺旋線，而不是圓形軌道了，這樣的軌道顯然是不存在的。各種人造地球衛(wèi)星的運行軌道，不論是圓還是橢圓，其軌道平面一定通過地球球心，不存在軌道平面不通過地球球心的運行軌道。但軌道平面不一定都要與赤道平面重合，目前常見的有與赤道平面重合的赤道軌道，若軌道上運行的衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，衛(wèi)星相對地面靜止，這種衛(wèi)星主要用于通訊；有軌道平面與赤道平面垂直且經(jīng)過兩極的極地軌道，衛(wèi)星在繞地球圓周運行的同時還沿地球自轉(zhuǎn)方向從西向東轉(zhuǎn)動，其周期等于地球公轉(zhuǎn)周期，所以這種軌道也稱太陽同步軌道；還有軌道平面既不與赤道平面重合也不垂直的軌道的傾斜軌道。軌道決定一切原則設(shè)地球質(zhì)量為M、半徑為R，一質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星在距地面h高度的軌道上做圓周運動，向心加速度為A、線速度為v、角速度為①、周期為T。由牛頓第二定律和萬有引力定律有:，G園『二 j竺，或（衣+由）（&+幻，而（我+龍）、嘰解以上幾式得:衛(wèi)星的軌道半徑。速度影響軌道原則 在某確定軌道（半徑一定）上圓周運動的衛(wèi)星，由于某種原因的影響，若速度為生了變化，由基本關(guān)系式5+幻成+幻可以得出： 護。由此知，軌道半徑隨衛(wèi)星運行速度的增大而減小，這一過程中引力對衛(wèi)星做正功，又使衛(wèi)星的速度增大；隨衛(wèi)星運行速度的減小而增大，這一過程中引Mm vf2Ct y=m 0+切 *切。近地衛(wèi)星五最原則 所謂近地衛(wèi)星，是指在距地面的高度遠小于地球半徑軌道上運行的衛(wèi)星，此時R>>h，GMaThSK=d2=§he0。在“2”中得出的幾個結(jié)果中，令h=0得人造地球衛(wèi)星的幾個極值是： 向心加速度最大：艮（g為地面的重力加速度）向心力最大：電=弘=* 環(huán)繞速度最大：幌角速度最大:"HLttL運行周期最?。海╣為地面的重力加速度）向心力最大：電=弘=* 環(huán)繞速度最大：幌角速度最大:"HLttL運行周期最小：?5024s?84mm同步通訊衛(wèi)星五定原則 同步通訊衛(wèi)星的軌道平面與地球的赤道平面重合，衛(wèi)星相對于地面靜止，其周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等，即T=24h，將T值代入“2”中各結(jié)論表達式可得：饑"，心明藻血，Eg期s，皿**\薩成佰，再加上醐共有五個確定值。加速度相切相同原則人造地球衛(wèi)星發(fā)射時一般經(jīng)歷三個階段，先將其發(fā)射至距地球較近的環(huán)繞軌道1上，使衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運動。在適當(dāng)?shù)奈恢茫鏠點改變衛(wèi)星運行的切向速度大小，使其改變軌道繞地球做橢圓軌道2（轉(zhuǎn)移軌道）運行，再在橢圓軌道的遠地點P改變衛(wèi)星運行的切向速度，使其在距地面較遠的軌道3（運行軌道）上繞地球做圓周運動，如圖2所示。在兩軌道的相切處如圖2中的Q、P兩點，兩次離地心距離相等，由萬有引力定律及牛頓第二定律可知衛(wèi)星在兩個軌道上運行經(jīng)過兩軌道相切點時的向心加速度相同。速度近大遠小原則 行星繞太陽的運動軌跡一般是橢圓，衛(wèi)星發(fā)射時在轉(zhuǎn)移軌道的運動軌跡也是橢圓，太陽（或地球）處在橢圓的一個焦點上，當(dāng)行星（或衛(wèi)星）由近日（地）點向遠日（地）點運動時，萬有引力做負功，動能減小，速度減小，遠日（地）點速度最小；當(dāng)行星（或衛(wèi)星）由遠日（地）點向近日（地）點運動時，萬有引力做正功，動能增大，速度增大，近日（地）點速度最大。8.能量定比原則 衛(wèi)星運行的動能計算:設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m、軌道半徑為r，由廣廣及￡ 得，衛(wèi)星的動能為： ￡廣 衛(wèi)星勢能的計算：由庫侖定律 廣及電勢的定義可得點電荷Q電場中的電勢為： 廣。與此類似，可由萬有引力定律廣得地球引力場中的“引力勢”為： 廣。類似電荷在點電荷電場中某點電勢能的計算，可得質(zhì)量為m可得質(zhì)量為m的衛(wèi)星在距地心r處的引力勢能為：衛(wèi)星的機械能為：ILL L 1ILL L 1E=Ek+E?=--G——星所需最小能量為： 2 。宇宙速度的正確認(rèn)識在天體運動和衛(wèi)星發(fā)射中，宇則：&：&：占=1：-2：-1，利用這一比例關(guān)系，只要知道任一種能量，就可以算出另兩種能量。 9.發(fā)射能量最小原則 發(fā)射環(huán)繞速度為=Wg的近地衛(wèi)星，所需發(fā)射能量最小。在赤道上，沿地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星，可以充分利用地球自轉(zhuǎn)速度，減少發(fā)射能量。從理論上講，這樣發(fā)射衛(wèi)宙速度是個非常重要的概念。一般教材中都給出了三個宇宙速度的定義和數(shù)值：第一宇宙速度（亦稱環(huán)繞速度）是指物體（衛(wèi)星）離開地面繞地球做圓周運動所需的最小發(fā)射速度，大小為；第二宇宙速度（亦稱脫離速度）是物體掙脫地球引力的束縛而成為繞太陽運行的人造行星，或飛到其他行星上去的飛船所具有的最小速度，大小為明；第三宇宙速度（亦稱逃逸速度）是物體要進一步掙脫太陽的引力束縛，飛到太陽系以外的宇宙空間去所必須具有的最小速度，大小為明='&踞肉。本文將對這三個宇宙速度的推導(dǎo)過程及所涉及的參考系等問題進行闡述。由于一般教材中都對第一宇宙速度的推導(dǎo)有詳細的解釋，所以本文對此略過。第二宇宙速度的推導(dǎo)i.1利用功能關(guān)系推導(dǎo)一個航天器在它的燃料燒完后脫離地球的過程中，該系統(tǒng)符合機械能守恒的條件。物體在地面開始運動到脫離地球引力范圍（相當(dāng)于上升到無限遠處）的過程中，克服引力做功，動能減少，所以初始動能必須不小于脫離過程中克服引力所做的功。① 但同一物體在不同高度處所受地球引力并不相等，隨著物體高度的

增加，地球引力將逐漸減弱。因此，功的數(shù)值不是簡單地用w=Fs就可以計算的。這里介紹兩種方法，一是用元功積分的思想，二是用微分的思想。方法一：根據(jù)萬有引力定律，如果用G表示萬有引力恒量地心的距離，R為地球半徑。則物體在離地心r處所受地球引力為，則在物體上升dr的過程中，克dW^G^dr服引力做功為 廣② 對上式積分，積分限為從R積到8,元功積分的思想，二是用微分的思想。方法一：根據(jù)萬有引力定律，如果用G表示萬有引力恒量地心的距離，R為地球半徑。則物體在離地心r處所受地球引力為，則在物體上升dr的過程中，克dW^G^dr服引力做功為 廣② 對上式積分，積分限為從R積到8,所以把 0-把 0-11Nm2/kg2，結(jié)合①、③可以得到奸6x1?；靕g，『號x10\帶入上式即可計算出第二宇宙速度的大小為％=1技林.方法二：如圖2所示，設(shè)物體m從地球E的引力場中從P處移動到P處。因各處的引力不等，我們可把PP0 n 0n的一段距離分成許多極小的等分Ax0P、P、P、……P和地球中心的距離分別為r、r、r、……r；先求出0 1 2 n 0 1 2 n每一等分中的平均引力，然后求出通過每一等分時物體克服地球引力所做的功，這些功的總和，就是物體從P0移動到Pn克服地球引力所做的功。§=G哮物體在動到Pn克服地球引力所做的功。§=G哮物體在Pi處所受的引力為 今因為P和P相距極近，物體在P.、i+1Pi+1間所受萬有引力的平均值可以近似地等于兩處引力的比例中項，即:，物體從Pi移動到Pi+1,的過程中克服萬有引力所做的功為:Wi的過程中克服萬有引力所做的功為:Wi=GS+i- =GmM—-￥+i則物體從P0移動到Pn整個過程中克服萬有引力所做的功為:5整個過程中克服萬有引力所做的功為:5" 所以使物體從地球表面七次處出發(fā)而脫衣，與方法一推導(dǎo)的結(jié)果一致。成的系統(tǒng)的重力勢能之差，表達式就表示物體在離地心r衣，與方法一推導(dǎo)的結(jié)果一致。成的系統(tǒng)的重力勢能之差，表達式就表示物體在離地心r處時具有的重力勢能。離地球，即到達r^=8處，克服引力做功為應(yīng)該指出，物體從P處移動到P處克服萬有引力所做的功，在數(shù)值上就等于物體在P和P兩處物體與地球組

0 n 0n分得 ⑥無窮大，速度V永遠不會為零?？梢娪刮矬w上拋后去不返，其最小速度（即第二宇宙速）為寸尸3=口2km/so2分得 ⑥無窮大，速度V永遠不會為零?？梢娪刮矬w上拋后去不返，其最小速度（即第二宇宙速）為寸尸3=口2km/so2.第三宇宙速度的推導(dǎo)仿照上面推導(dǎo)第二宇宙速度的1.2利用動力學(xué)方程推導(dǎo)設(shè)物體以初速度％地球表面沿鉛垂方向離開地球，地球引力F（為位置坐標(biāo)的函數(shù)）牛g亨，初始條件為，，=強=嶷=%，列運動微分方程心t=亨即⑤對上式做分離變量的變換，并代入初始條件，進行積v2>2GM⑥式表明了物體速度隨位置（X）的變化規(guī)律。如果° 衣，則不論X為多大，甚至達任一方法，注意到虬=眼1滬kg，日地距離廣0Hm，并且物體是從地球表面而非太陽表面開始向外運v=S=42.2動的，可得到物體脫離太陽系引力的最小速度為 V廣 km/so 怎么不是16.7km/s?問題在于在研究第二宇宙速度時物體是從地面拋出的，速度是相對于地面而言的，即以地球為慣性系。而在研究第三宇宙速度時，是以太陽為慣性系，所以上面得到的是相對于太陽的。而地球本身在繞太陽做公轉(zhuǎn)，其所以肉=公轉(zhuǎn)速度叫=仲^km/s，如果物體順著地球運動的軌道切向飛出的話，便可借助于地球的公轉(zhuǎn)線速度，因而只需商^=42.2—29.8=12.4km/s就行了。但是，物體要飛出太陽系，要克服太陽的引力，首先要掙脫地球引力的束縛才行，故物體在地面上應(yīng)該具有的動能為所以肉=16.7km/s。 至此我們分析了宇宙速度的推導(dǎo)過程，并明確了宇宙速度均是相對于地球而言的。因此，諸如“地球公轉(zhuǎn)速度29.8km/s比16.7km/s大，為什么地球不離開太陽系？”這樣的問題便迎刃而解了。需要指出的是，在擺脫地球束縛的過程中，在地球引力的作用下物體實際上并不是直線飛離地球，而是按拋物線飛行，脫離地球引力后在太陽引力作用下繞太陽運行。擺脫太陽引力的束縛飛出太陽系時將按雙曲線軌跡（相對于地球）飛離地球，而相對太陽來說仍是沿拋物線飛離太陽。第一宇宙速度的兩種求法對于地球）飛離地球，而相對太陽來說仍是沿拋物線飛離太陽。根據(jù)牛頓拋物運動原理圖1知，從高山頂A以不同速度V水平拋出的物體，由于受到地球?qū)λ囊κ蛊滹w行路線發(fā)生彎曲而使物體落回到地面上，當(dāng)水平拋出物體的速度越大時，物體在地面上的落點離開山腳也越遠；如果沒有空氣阻力，當(dāng)物體的水平拋出速度足夠大時，物體就永遠不會落到地面上而將圍繞地球球旋轉(zhuǎn)，成為一顆繞地球運動的人造地球衛(wèi)星；我們將能使拋出的物體達到上述狀態(tài)（在地球表面附近繞地球作勻速圓周運）的拋出速度V（發(fā)射速度）稱作人造衛(wèi)星的第一宇宙速度。人造衛(wèi)星圍繞地球轉(zhuǎn)動時的速度人造衛(wèi)星圍繞地球轉(zhuǎn)動時的速度究竟有多大才能達到上述狀態(tài)呢？即人造衛(wèi)星的第一宇宙速度V大小為多少呢？方法一：數(shù)學(xué)方法牛頓拋物運動原理圖反映出從高山上水平拋出的物體不可能作直線運動。我們要想使水平拋出的物體不再落回到地面，必使物體運動軌跡的彎曲程度與地球表面的彎曲程度相同或更小，即至少使物體的繞地球旋轉(zhuǎn)的軌跡與地球表面相似且二者為同心圓，這樣物體就不會落回地面了。如圖2示為地球的部分?jǐn)嗝?，現(xiàn)在把物體從山頂上A點以水平速度V拋射出去，如果沒有地球的引力作用則1秒鐘后物體將到達B點，但由于地球的引力物體在1秒時實際到達位置C；地球為均勻球體設(shè)其表面重力加速度為g，故由自由落體運動可知8C=— =—g四4.9幽2 2 ；倘若物體到達點C時距地面的高度與點A處距地面的高度相同，則物體就會沿著與地球同心的圓作圓周運動而不再落回地面上；圖2中幽=拔=〃，AD=6370000米，再由勾股定理有血+泌=成'即^+^700002=（6370000+4.9）2,解之得在山頂水平拋出物體的速度為,=7.溉誠8。由此可見：要將物體從山頂A水平拋出后不再落回地球表面，則點A的拋出速度必滿足八浙"，這就是人造地球衛(wèi)星的第一宇宙速度。 1.當(dāng)人造衛(wèi)星的速度v=] 時，衛(wèi)星必繞地球作軌道半徑等于地球半徑的勻速圓周運動，軌跡如圖3中的“4”示。2.當(dāng)人造衛(wèi)星的速度時，物體將以地球為焦點作橢圓運動，且物體速度V越大橢圓將越扁。圖3示軌跡“1”。3.當(dāng)人造衛(wèi)星的速度v=H.2to/s時物體恰作以地球為焦點的拋物線運動，軌跡圖3中“2”。4.當(dāng)人造衛(wèi)星的速度"Vs時物體將作雙曲線運動，軌跡圖3中“3”示。注意：當(dāng)物體作拋物線運動、雙曲線運動時物體將永遠不可能再飛回到地球。（ 1質(zhì)+護二R+-a對其它任何星球均可用此方法得出其第一宇宙速度的表達式：由 '2J解之得星球的第一宇宙速度為]4，其中R為星球的半徑、a為星球表面附近的重力加速度。方法二：物理方法設(shè)地球和衛(wèi)星的質(zhì)量分別為M、m，衛(wèi)星到地心的距離為r，衛(wèi)星運動的速度為v。由于衛(wèi)星運動所需的向心力是由_Mmv2\GMI、 =m V=J 二者間萬有引力提供的，故可得： 廣廣有 ；對于靠近地球表面運行的人造衛(wèi)星，可以認(rèn)為此_IGM時的軌道半徑r近似等于地球的半徑日，故V成；將地球質(zhì)量兇=對*10%頂=&3"討幽代入此

式可得人造衛(wèi)星在地面附近繞地球作勻速圓周運動所必須具有的速度即第一宇宙速度為v= 。（”=修="切3'占也可以得出此結(jié)果）。 上述從物理與數(shù)學(xué)的分析方法來看，無論用哪種方法首先必須準(zhǔn)確建立起物理模型與數(shù)學(xué)模型，然后才能選擇合適的處理途徑進行解答；因此建立模型是同學(xué)們在物理學(xué)習(xí)中必須時刻培養(yǎng)的基本能力。開普勒定律的推導(dǎo)及應(yīng)用隨著人類航天技術(shù)的飛速發(fā)展和我國嫦娥繞月衛(wèi)星的發(fā)射成功，以天體運動為載體的問題將成為今后考查熱點。在現(xiàn)行的高中物理教材中主要引用了開普勒三大定律來描述了天體的運動的規(guī)律，這三條定律的主要內(nèi)容如下：（1）所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓軌道的一個焦點上。（2）對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。（3）所有行星烏=^的軌道半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值『 。至于行星繞太陽的軌道為何是橢圓以及T 中的常量C與那些量相關(guān)并無說明。為了更深入的理解天體和人造衛(wèi)星的運行規(guī)律，本文將以橢圓的性質(zhì)為基礎(chǔ)從理論上推導(dǎo)開普勒定律。一、開普勒第一定律 1.地球運行的特點 （1）由于地球始終繞太陽運動，則太陽對地球的萬有引力的力矩始終為零，所以地球在運動過程中角動量守恒。（2）若把太陽與地球當(dāng)作一個系統(tǒng)，由于萬有引力為保守力且無外力作用在這個系統(tǒng)上，所以系統(tǒng)機械能守恒。地球運行軌跡分析 地球在有心力場中作平面運動且萬有引力的作用線始終通過太陽，所以建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則P點坐標(biāo)為（r，0）。0 參考軸若太陽質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為m，極徑為r時地球運行的運行速度為v。當(dāng)?shù)厍虻倪\行速度與極徑r垂直時，則地球運行過程中的角動量L=e （1）若取無窮遠處為引力勢能的零參考點，則引力勢能，地球在運行過程中的機械能若取無窮遠處為引力勢能的零參考點，則引力勢能，地球在運行過程中的機械能(3)（2） （1）式代入（2）式得:(3)1GMmML皿.由式（3）得：廣匕Wm維 （4） 由式（4）可知，當(dāng)?shù)厍虻倪\行速度與極徑r垂直時，地球運行的極徑r有兩解，由于初始假設(shè)地球的運行速度與極徑垂直，所以r為地球處在近日點和遠日點距太陽的距離。考慮到地球的這兩個位置在極坐標(biāo)系中分別相當(dāng)于g$=T和8明二+1，可把式（4）中的土號改寫為更普遍的形式極坐標(biāo)方程。1GMmML瀝e(5)則地球的運行軌跡方程為廣(5)（5）式與圓錐曲線的極坐標(biāo)方程吻合，其中（p為決定圓錐曲線的開口），（5）式與圓錐曲線的極坐標(biāo)方程吻合，其中（p為決定圓錐曲線的開口），羅M將（e為偏心率，決定運行軌跡的形狀），所以地球的運行軌跡為圓錐曲線。由于地球繞太陽運動時E<0,則圓錐曲線的偏心率3運動時E<0,則圓錐曲線的偏心率3.人造星體的變軌所以地球繞太陽運行的軌跡為橢圓。由于運載火箭發(fā)射能力的局限，人造星體往往不能直接由火箭送入最終運行的空間軌道，若要使人造星體到達預(yù)定的軌道，要在地面跟蹤測控網(wǎng)的跟蹤測控下，選擇合適時機向衛(wèi)星上的發(fā)動機發(fā)出點火指令使人造星體的速度增加（機械能增加），進而達到改變衛(wèi)星運行軌道E_G2M2m3的目的。如圖所示最初人造星體直接由火箭送入近地軌道1，此時 2尸，偏心率e=0，人造星體運行的軌跡為圓；當(dāng)?shù)竭_A點時，人造星體發(fā)動機點火，此時 2尸 <e<0，偏心率0<e<i，運行的軌跡為橢圓軌E_時，偏心率e=0，人造星體將在圓軌道3上道2；當(dāng)?shù)竭_B時，偏心率e=0，人造星體將在圓軌道3上運行；當(dāng)?shù)竭_B點時人造星發(fā)動機再次點火，人造星體將在開口更大的橢圓軌道4上運動，人造星體將離地球越

來越遠，當(dāng)?shù)厍驅(qū)λ囊π∮谄渌求w對它的引力時，人造星體將脫離地球的束縛奔向其它星體（如嫦娥一號

衛(wèi)星）。二、開普勒第二定律 行星繞太陽的軌道為橢圓，若在時刻t行星位于A點，經(jīng)dt時間后行星位于點B，dS=-r2d&（1）在此時間內(nèi)行星的極徑r轉(zhuǎn)過的角度為dO,則AOB所圍的面積 2（1）如竺里齊（1）式除以dt如竺里齊（1）式除以dt有血2魂2(2) 由于角動量L=g=g1（3）航1 9 ￡——= mr苗= （3）式代入（2）式得成M瑚竺由于L是恒量，所以單位時間內(nèi)極徑所掃過的面積肥也是恒量。所以地球在近日點運行的快，在遠地點運

行的慢。如圖人造星體從軌道1變化到軌道3的過程中，若點火前后A、B兩點的速度分別為匕七七七，則點火

前后速度V<V,V<V；在橢圓軌道3上A、B兩點分別為近地點和遠地點，則速度V>V；由于人造星體在軌道1。1 2 3 4 2 3軌道3上做勻速圓周運動，以V>V；故V>V>V>V。1 4 2 14 3三、開普勒第三定律 行星繞太陽運動橢圓軌道的面積，根據(jù)橢圓的性質(zhì)則橢圓的面積S=旭&（a為長竺—土輒b為短軸）由于單位時間內(nèi)極徑所掃過的面積出一知下隹dtTub2m7Etb2m竺—土輒b為短軸）由于單位時間內(nèi)極徑所掃過的面積出一知下隹dtTub2m7Etb2m（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和開普勒第一定律，半長軸則周期（2）(2)式得￡'=&&標(biāo)(1-/)（2）式代入（1）式得（3）（2）式代入（1）式得（3）（已知地球半徑為R0）A（已知地球半徑為R0）A點到B點所需的時間。T2_AtP時間與軌道之間的關(guān)系滿足/國必-（衣+衣口）3C，故有根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓的半短軸h= ，則*=妒（1-『）（4）Z2_47?_式（4）代入（3）式得痍阪C，由此式可知繞同一中心天體運行的人造星體軌道半長軸的三次方跟它們的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值由中心天體的質(zhì)量所決定。例飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動，其周期為T，如圖所示如果飛船要返回地面，可在軌道上的某點A將速度降低到適當(dāng)?shù)臄?shù)值，從而使飛船沿著地心為焦點的橢圓軌道運行，橢圓與地球表面在B點相切，求飛船由分析：無論飛船是沿圓軌道運行還是沿橢圓軌道運行，飛船都是繞地球運動，所以運行孕&如亨）"解得52'I我 則飛船由A點到B點所需的時間為 Eg*試天體運動中的幾個“另類”問題天體運動部分的絕大多數(shù)問題，解決的原理及方法比較單一，處理的基本思路是：將天體的運動近似看成勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力列方程，向心加速度按涉及v22 5' 《罕Ct——=man=m—= r=m——r=刑（2陌）r的運動學(xué)量選擇相應(yīng)的展開形式。"廣 ''） 如有必要，可結(jié)合黃金代換式眼=忒簡化運算過程。不過，還有幾類問題僅依靠基本思路和方法，會讓人感覺力不從心，甚至就算找出了結(jié)果但仍心存疑惑，不得要領(lǐng)。這就要求我們必須從根本上理解它們的本質(zhì)，把握解決的關(guān)鍵，不僅要知其然，更要知其所以然。

、變軌問題例：某人造衛(wèi)星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運轉(zhuǎn)的軌道會慢慢改變。每次測量中衛(wèi)星的運動可近似看作圓周運動，某次測量衛(wèi)星的軌道半徑為‘1,后來變?yōu)椤?，以”1、為表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的線速度大小，1、表示衛(wèi)星在這兩個軌道上繞地球運動的周期，則（)A.，，R門f 道上的線速度大小，1、表示衛(wèi)星在這兩個軌道上繞地球運動的周期，則（)A.，，R門f L<t2. ， ，CFl5山<V27>方

. ， ，DFl5V1〈為LE. ， ，分析：空氣阻力作用下，衛(wèi)星的運行速度首先減小，速度減小后的衛(wèi)星不能繼續(xù)沿原軌道運動，由于Mm vl2F供=>嗎=*一廣 廣而要作近（向）心運動，直到向心力再次供需平衡，即衛(wèi)星又做穩(wěn)定的圓周運動。如圖，近（向）心運動過程中萬有引力方向與衛(wèi)星運動方向不垂直，會讓衛(wèi)星加速，速度增大（從能量角度看，又由T又由T可知號解：應(yīng)選C選項。說明：本題如果只注意到空氣阻力使衛(wèi)星速度減小的過程，很容易錯選B選項，因此，分析問題一定要全面，切忌盲目下結(jié)論。 衛(wèi)星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛(wèi)星技術(shù)的一個重要方面，衛(wèi)星定軌和返回都要用到這個技術(shù)。F>m—以衛(wèi)星從橢圓遠點變到圓軌道為例加以分析：如圖，在軌道遠點，萬有引力 廣，要使衛(wèi)星改做圓周F=m— m—=F運動，必須滿足廣和F±v，而F±v在遠點明顯成立，所以只需增大速度，讓速度增大到廣成立即可，這個任務(wù)由衛(wèi)星自帶的推進器完成。“神舟”飛船就是通過這種技術(shù)變軌的，地球同步衛(wèi)星也是通過這種技術(shù)定點于同步軌道上的。二、雙星問題例：在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運動。如果雙星間距為￡，質(zhì)量分別為財1和財2，試計算：（1）雙星的軌道半徑；（2）雙星的運行周期；（3）雙星的線速度。分析：雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點做勻速圓周運動，且兩者始終與圓心共線，相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度，即角速度相等，則周期也相等。但兩者做勻速圓周運動的半徑不相等。解：設(shè)行星轉(zhuǎn)動的角速度為做，周期為『（1）如圖，對星球財L由向心力公式可得:同理對星球財2有:

力公式可得:同理對星球財2有:所以（3）因為^二財，（即軌道半徑與質(zhì)量成反比） 又因為兩式相除得:（2）因為所以所以說明：處理雙星問題必須注意兩點（1）兩顆星球運行的角速度、周期相等；（2）軌道半徑不等于引力距離（這一點務(wù)必理解）。弄清每個表達式中各字母的含義，在示意圖中相應(yīng)位置標(biāo)出相關(guān)量，可以最大限度減少錯誤。所以（3）因為^二財，（即軌道半徑與質(zhì)量成反比） 又因為兩式相除得:（2）因為所以所以說明：處理雙星問題必須注意兩點（1）兩顆星三、追及問題例：兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)繞地球做勻速圓周運動，地球半徑為長，&衛(wèi)星離地面的高度等于正，&衛(wèi)星離地面高度為衣，^0：（1）&、'兩衛(wèi)星運行周期之比孔:烏是多少？（2）若某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面同一點正上方，則“至少經(jīng)過多少個周期與'相距最遠?分析：兩衛(wèi)星周期之比可按基本思路處理;可借用直線運動部分追及和相遇問題的處理思想，只不過，關(guān)鍵一步應(yīng)該變換成“利用角位移關(guān)系列方程”。解：（1）對做勻速圓周運動的衛(wèi)星使用向心力公式可得:所以*項二仙+時：仙+3砂二M很所以（2）由 艾可知：％*，即白轉(zhuǎn)動得更快。設(shè)經(jīng)過時間'兩衛(wèi)星相距最遠，則由圖可得:（打=1、2、3部=——而服勰，T所以分析：兩衛(wèi)星周期之比可按基本思路處理;可借用直線運動部分追及和相遇問題的處理思想，只不過，關(guān)鍵一步應(yīng)該變換成“利用角位移關(guān)系列方程”。解：（1）對做勻速圓周運動的衛(wèi)星使用向心力公式可得:所以*項二仙+時：仙+3砂二M很所以（2）由 艾可知：％*，即白轉(zhuǎn)動得更快。設(shè)經(jīng)過時間'兩衛(wèi)星相距最遠，則由圖可得:（打=1、2、3部=——而服勰，T所以，得其中理=1時對應(yīng)的時間最短。說明：圓周運動中的追及和相遇問題也應(yīng)“利用（角）位移關(guān)系列方程”。當(dāng)然，如果能直接將角位移關(guān)系轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)動圈數(shù)關(guān)系，運算過程更簡潔，但不如利用角位移關(guān)系容易理解，而且可以和直線運動中同類問題的解法統(tǒng)一起來，記憶比較方便。常見情況下的角位移關(guān)系如下，請自行結(jié)合運動過程示意圖理解。設(shè)& ，貝0：；盟囂了露蠢｝即初、末位置關(guān)系相反T&M⑶-肋，其中（心）

若黑警T：器譬［即初、末位置關(guān)系相同**=知2苦其中（%6蹄,柏距取匹T帕距取匹J應(yīng)=一g四、超失重問題 例：某物體在地面上受到的重力為16°川，將它放置在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以加速度 2隨火箭加速上升的過程中，當(dāng)物體與衛(wèi)星中的支持物的相互壓力為9°^時，求此時衛(wèi)星距地球表面有多遠？（地球半徑成=8.4x10’左刑，g取1。幽，b）分析：物體具有豎直向上的加速度，處于超重狀態(tài)，物體對支持物的壓力大于自身實際重力；而由于高空重力加速度小于地面重力加速度，同一物體在高空的實際重力又小于在地面的實際重力。解：如圖，設(shè)此時火箭離地球表面的高度為攻，火箭上物體對支持物的壓力為％，物體受到的重力為噸根據(jù)超、失重觀點有咨旬Sk=可得瑤-mam90-16x-x10=J=腭（酬后）?Mm幽g=G度_Mm而由L 、『可矢口 ：所以h=-R-R=3R=3x6AxW3=1.92xlO4（MV質(zhì) 說明：航天器在發(fā)射過程中有一個向上加速運動階段，在返回地球時有一個向下減速階段，這兩個過程中航天器及內(nèi)部的物體都處于超重狀態(tài)；航天器進入軌道作勻速圓周運動時，由于萬有引力（重力）全部提供向心力，此時航天器及內(nèi)部的所有物體都處于完全失重狀態(tài)。既掌握基本問題的處理方法，又熟悉“另類”問題的分析要點，這樣在面對天體運動問題時才能應(yīng)付自如。五、變式練習(xí) 1.開普勒三定律也適用于神舟七號飛船的變軌運動。飛船與火箭分離后進入預(yù)定軌道，飛船在近地點（可認(rèn)為近地面）開動發(fā)動機加速，之后，飛船速度增大并轉(zhuǎn)移到與地球表面相切的橢圓軌道，飛船在遠地點再次點火加速，飛船沿半徑為廣的圓軌道繞地運動。設(shè)地球半徑為五，地球表面的重力加速度為g，若不計空氣阻力，試求神舟七號從近地點到遠地點的時間（變軌時間）。兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩星中心距離為R，其運動周期為T，求兩星的總質(zhì)量。

已知地球如圖所示，元是地球的同步衛(wèi)星。另一衛(wèi)星的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為放半徑為我，地球自轉(zhuǎn)角速度為吒，地球表面的重力加速度為昌，。為地球中心。（1）求衛(wèi)星日的運行周期；（2）若衛(wèi)星繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻』、月兩衛(wèi)星相距最近（。、月、應(yīng)在同一直線上），則至少經(jīng)過多長時間，他們再一次相距最近？已知地球北京時間9月27日17時，航天員翟志剛在完成一系列空間科學(xué)實驗，并按預(yù)定方案進行太空行走后，安全返回神舟七號軌道艙，這標(biāo)志著我國航天員首次空間出艙活動取得成功。若這時神舟七號在離地面高為由的軌道上做圓周運動，已知地球半徑為成，地球表面處的重力加速度為&。航天員站在飛船時，求：（1）航天員對艙底的壓力，簡要說明理由。（2）航天員運動的加速度大小。為了迎接太空時代的到來，美國國會通過一項計劃：在2050年前建造成太空升降機，就是把長繩的一端擱置在地球的衛(wèi)星上，另一端系住長降機。放開繩，升降機能到達地球上；人坐在升降機里，在衛(wèi)星上通過電動機把升降機拉到衛(wèi)星上。已知地球表面的重力加速g=I0^/S\地球半徑為衣。求：（1）某人在地球表面用體重計稱得重河可，站在升降機中，當(dāng)升降機以加速度“（g為地球表面處的重力加速度）豎直上升時，在某處此人再一次用同一體重計稱得視重為S5W，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，求升降機此時距地面的高度； （2）如果把繩的一端擱置在同步衛(wèi)星上，地球自轉(zhuǎn)的周期為T求繩的長度至少為多長。變式練習(xí)答案:忒成+廣）R+r3.(1)5祭(2)1.4.（1）航天員對神舟七號的壓力為零。因為地球?qū)教靻T的萬有引力恰好提供了航天員隨飛船繞地球做勻如果把繩的一端擱置在同步衛(wèi)星上，地球自轉(zhuǎn)的周期為T求繩的長度至少為多長。變式練習(xí)答案:忒成+廣）R+r3.(1)5祭(2)1.4.（1）航天員對神舟七號的壓力為零。因為地球?qū)教靻T的萬有引力恰好提供了航天員隨飛船繞地球做勻住= g速圓周運動所需的向心力，航天員處于完全失重狀態(tài)；（2） **沁5.（1）龍二衣；（2）天體運動中的追及相遇問題地面上的物體常常出現(xiàn)追及相遇問題，關(guān)鍵是找出它們的位移、速度和時間等關(guān)系，運動路線應(yīng)該在同一軌道上。天體運動中也有追及相遇問題，它與地面上的追及相遇問題在思維有上相似之處，即也是找出一些物理量的關(guān)系，但它也不同之處，有其自身特點。根據(jù)萬有Mmv2[GMG―廠=m—=>v=1 引力提供向心力，即'廣"廣，所以當(dāng)天體速度增加或減少時，對應(yīng)的圓周軌道會發(fā)生相應(yīng)的變化，所以天體不可能能在同一軌道上追及或相遇。分析天體運動的追及相遇重點是角度、角速度和時間等關(guān)系的判斷。1.追及問題例1如圖1所示，有A、B兩顆行星繞同一顆恒星M做圓周運動，旋轉(zhuǎn)方向相同，A行星的周期為T1，B行星的周期為T2，在某一時刻兩行星相距最近，則①經(jīng)過多長時間，兩行星再次相距最近？②經(jīng)過多長時間'，兩行星第一次相距最遠？

分析與解答：A、B兩顆行星做勻速圓周運動，由萬有Mm 4^rCj—廠=m―r二>因此T1<T2?？梢姰?dāng)A運動完一周時，B因此T1<T2?？梢姰?dāng)A運動完一周時，B還沒有達到一周，但是要它們的相距最近，只有A、B行星和恒星M的連線再次在一條直線上，且A、B在同側(cè)，從角度看，在相同時間內(nèi)，A比B多轉(zhuǎn)了2n；如果A、B在異側(cè)，則它們相距最遠，從角度看，在相同時間內(nèi)，A比B多轉(zhuǎn)了口。 11— ty— t->= 所以再次相距最近的時間t1，由勺七 "1；第一次相距最遠的時間匕，由——h-——％=打二>&=————1 2 i'。如果在問題中把“再次”或“第一次”這樣的詞去掉，那么結(jié)果如何？2.相遇問題 例2設(shè)地球質(zhì)量為M，繞太陽做勻速圓周運動，有一質(zhì)量為m的飛船由靜止開始從P點沿PD方向做加速度為a的勻加速直線運動，1年后在D點飛船掠過地球上空，再過3個月又在Q處掠過地球上空，如圖2所示(圖中“S”表示太陽)。根據(jù)以上條件，求地球與太陽之間的萬有引力大小。 分析與解答：飛船開始與地球相當(dāng)于在D點相遇，經(jīng)過3個月后，它們又在Q點相遇，因此在這段時間內(nèi)，地球與太陽的連線轉(zhuǎn)過^=—x360°=90°的角度12 。設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周期為T，飛船由靜止開始做加速度為a的勻加速直線運動，則DQ=PQ-PD=-a(-T)2--aT2=—aT2 A=—■24 2 32地球的公轉(zhuǎn)半徑為2 64所以地球與太陽之間的萬有引力大小為 T 16例3閱讀下列信息，并結(jié)合該信息解題： (1)開普勒從1609年?1619年發(fā)表了著名的開普勒行星運動三定律，其中第一定律為：所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運動，太陽在這個橢圓的一個焦點上。第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。實踐證明，開普勒三定律也適用于其他中心天體的衛(wèi)星運動。(2)從地球表面向火星發(fā)射火星探測器，設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運動，火星軌道半徑R為地球軌道半徑R的1.500倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進行加速，使之獲得足夠動能，從而脫離地球引力作用成為一個沿地球軌道運動的人造衛(wèi)星；第二步

是在適當(dāng)時刻點燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機，在短時間內(nèi)對探測器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，從而使得探測器沿著一個與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道正好射到火星上。當(dāng)探測器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運行后，在某年3月1日零時測得探測器與火星之間的角距離為60°，如圖3所示，問應(yīng)在何年何月何日點燃探測器上的火箭發(fā)動機方能使探測器恰好落在火星表面？（時間計算僅需精確到日），已知地球半徑為:乩=6.4x1"7(1.確到日），已知地球半徑為:乩=6.4x1"7(1.5)3=1.840 =1.400分析與解答：為使探測器落到火星上，必須選擇適當(dāng)時機點燃探測器上的發(fā)動機，使探測器沿橢圓軌道到達火星軌道的相切點，同時，火星也恰好運行到該點與探測器相遇，為此必須首先確定點燃時刻兩者的相對位置。如圖4所示。 因探測器在地球公轉(zhuǎn)軌道運行周期T與地球公轉(zhuǎn)周期T相等，即T=T=365天 探測器在點火前繞太陽轉(zhuǎn)動角速度d e de探測器沿橢圓軌道的半長軸退+（皿-"l雙由開普勒第三定律得探測器在橢圓軌道上運行周期駕 頌=51°天因此探測器從點火到達火星所需時火星公轉(zhuǎn)周期探測器沿橢圓軌道的半長軸退+（皿-"l雙由開普勒第三定律得探測器在橢圓軌道上運行