宇宙速度的正確認(rèn)識

宇宙速度的正確認(rèn)識在天體運(yùn)動(dòng)和衛(wèi)星發(fā)射中，宇宙速度是個(gè)非常重要的概念。一般教材中都給出了三個(gè)宇宙速度的定義和數(shù)值：第一宇宙速度（亦稱環(huán)繞速度）是指物體（衛(wèi)星）離開地面繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的最小發(fā)射速度，大小為=7.9鬲"；第二宇宙速度（亦稱脫離速度）是物體掙脫地球引力的束縛而成為繞太陽運(yùn)行的人造行星，或飛到其他行星上去的飛船所具有的最小速度，大小為氣蚯成$；第三宇宙速度（亦稱逃逸速度）是物體要進(jìn)一步掙脫太陽的引力束縛，飛到太陽系以外的宇宙空間去所必須具有的最小速度，大小為均=1&7止幽"“vmax^=vmin發(fā)”的推證第一宇宙速度既是地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度（簡稱“v環(huán)”），同時(shí)又是地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度（簡稱“v.發(fā)”）。 幌環(huán)一、地球衛(wèi)星繞地球做勻速口周運(yùn)動(dòng)的盛大環(huán)繞速度設(shè)G是萬有引力常量，地球質(zhì)量為M，人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量是m.當(dāng)人造地球衛(wèi)星在離地心r處的軌道上繞地球以速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星環(huán)繞運(yùn)行所需的向心力關(guān)系知繞運(yùn)行所需的向心力關(guān)系知由此可知，軌道半徑r越大，人造地球衛(wèi)星環(huán)繞速度就越小。當(dāng)?shù)厍蛐l(wèi)星在地球表面附近環(huán)繞地球運(yùn)行時(shí)，地球衛(wèi)星的軌道半 徑r和地球半徑R近似相等，于是有 頃v=q日=7.9km/s7.9km/s稱為第一宇宙速度。因?yàn)镽是r的最小值，所以…廚心是地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度，即^5=向茹。二、地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度軌道半徑r越大，人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)速度v就越小。但這并不是說從地面上把衛(wèi)星送入半徑r越大的軌道上運(yùn)行時(shí)，所需要的地面發(fā)射速度就越小，這一點(diǎn)學(xué)生容易混淆。事實(shí)上，在運(yùn)行速度越小的高軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，所需要的發(fā)射速度就越大。證明如下:取離地球中心無窮遠(yuǎn)處為引力勢能的零點(diǎn)，則物體在距地球中心為r處的引力勢能可表示為Sp=-G些設(shè)地面上衛(wèi)星的發(fā)射速度為v發(fā)，先假定發(fā)射時(shí)不十空氣阻力，地球衛(wèi)星進(jìn)人地球軌道半徑r處時(shí)，衛(wèi)星環(huán)繞速度為v，則由機(jī)械能守恒定律，可得1212—-Cj =—mv-Cj 2 R2 r又因*廣，將其代入上式可得

9MmmGMMmMm-mvt,-G——二—■ G——二-G——R2rr 所以從v發(fā)可知地球衛(wèi)星環(huán)繞半徑r越大時(shí)，人造地球衛(wèi)星所要求的發(fā)射速度就越大；若考慮空氣阻力，當(dāng)r越大時(shí)，衛(wèi)星運(yùn)行的速度就越小，但發(fā)射時(shí)須達(dá)到的速度就越大。也就是向高軌道發(fā)射衛(wèi)星比向低軌道發(fā)射衛(wèi)星要困難的原因。從另一方面看，向高軌道發(fā)射衛(wèi)星火箭要克服地球?qū)λ囊鸵龈嗟墓?。要發(fā)射一個(gè)貼“地皮”飛行的人造地球衛(wèi)星，這時(shí)的r是最小的，從v發(fā)可知衛(wèi)星發(fā)射速度也是最小的，將r=R代入上式的v發(fā)，得岫歡* 。龍岫郎=嘰鑫=y!GM/R=7.9km/s所以第一宇宙速度既是地球衛(wèi)星繞地三、結(jié)論 龍岫郎=嘰鑫=y!GM/R=7.9km/s所以第一宇宙速度既是地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度，同時(shí)又是地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。第二宇宙速度的推導(dǎo)1.1利用功能關(guān)系推導(dǎo)一個(gè)航天器在它的燃料燒完后脫離地球的過程中，該系統(tǒng)符合機(jī)械能守恒的條件。物體在地面開始運(yùn)動(dòng)到脫離地球引力范圍（相當(dāng)于上升到無限遠(yuǎn)處）的過程中，克服引力做功，動(dòng)能減少，所以初始動(dòng)能必須不小于脫離過程中克服引力所做的功。-m^>W2 ①但同一物體在不同高度處所受地球引力并不相等，隨著物體高度的增加，地球引力將逐漸減弱。因此，功的數(shù)值不是簡單地用^Fs就可以計(jì)算的。這里介紹兩種方法，一是用元功積分的思想，二是用微分的思想。方法一：根據(jù)萬有引力定律，如果用G表示萬有引力恒量，M表示地球的質(zhì)量，m表示物體的質(zhì)量，r表示物體離地心的距離，R為地球半徑。則物體在離地心r處所受地球引力，則在物體上升dr的過程中，克服引力做功為，則在物體上升dr的過程中，克服引力做功為對上式積分，積分限為從R積到8,所以，對上式積分，積分限為從R積到8,所以，結(jié)合①、③可以得到，歐'艮把G=6.67xl0-nNm2/kg2，垃?；靕g，衣10\帶入上式即可計(jì)算出第二宇宙速度的大小為*"一”2km/s.方法二：如圖2所示，設(shè)物體m從地球E的引力場中從P0處移動(dòng)到Pn處。因各處的引力不等，我們可把PP的一段距離分成許多極小的等分Ax。P、P、P、：??…P和地球中TOC\o"1-5"\h\z0n 0 12 n心的距離分別為r、r、r、……r；先求出每一等分中的平均引力，然后求出通過每一等012 n分時(shí)物體克服地球引力所做的功，這些功的總和，就是物體從P0移動(dòng)到Pn克服地球引力所做的功。 °n耳=&哮物體在P處所受的引力為 *，因?yàn)镻和P相距極近，物體在P、P間所i ii+1 i i+1Fi=G受萬有引力的平均值可以近似地等于兩處引力的比例中項(xiàng)，即： 5+1；物體從Pi移動(dòng)到Pi+1,的過程中克服萬有引力所做的功為：明=_r.)=1_X￥+1 槌4+J；則物體從p0移動(dòng)到Pn整個(gè)過程中克服萬有引力所做的功為：yW-—

所以使物體從地球表面r°=R處出發(fā)而脫離地球，即到達(dá)七=8處，克服引力做功為W=&箜^R，與方法一推導(dǎo)的結(jié)果一致。應(yīng)該指出，物體從P°處移動(dòng)到處克服萬有引力所做的功，在數(shù)值上就等于物體在P°E=-G^-和Pn兩處物體與地球組成的系統(tǒng)的重力勢能之差，表達(dá)式 廣就表示物體在離地心r處時(shí)具有的重力勢能。1.2利用動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)設(shè)物體以初速度％地球表面沿鉛垂方向離開地球，地球引力F（為位置坐標(biāo)的函數(shù)）、,,.t—0?x—R,v—V[-|，初始條件為， 。，列運(yùn)動(dòng)微分方程列運(yùn)動(dòng)微分方程 1即 ⑤對式做分離變量的變換，并代入初始條件，進(jìn)行積分I即「 I ⑥——⑥式表明了物體速度隨位置（x）的變化規(guī)律。如果，則不論X為多大，甚至達(dá)無窮大，速度v永遠(yuǎn)不會(huì)為零?？梢娪刮矬w上拋后一去不返，第三宇宙速度的推導(dǎo)仿照上面推導(dǎo)第二宇宙速度的任一方法，注意到 kg,日地距離I ，并且物體是從地球表面而非太陽表面開始向外運(yùn)動(dòng)的，可得到物體脫離太陽系引力的最小速度為I「怎么不是16.7km/s?問題在于在研究第二宇宙速度時(shí)物體是從地面拋出的，速度是相對于地面而言的，即以地球?yàn)閼T性系。而在研究第三宇宙速度時(shí)，是以太陽為慣性系，所以上面得到的I I是相對于太陽的。而地球本身在繞太陽做公轉(zhuǎn)，其公轉(zhuǎn)速度=29為km/s，如果物體順著地球運(yùn)動(dòng)的軌道切向飛出的話，便可借助于地球的公轉(zhuǎn)線速度，因而只需商亦5心=42.2—29.8=12.4km/s就行了。但是，物體要飛出太陽系，要克服太陽的引力，首先要掙脫地球引力的束縛才行，故物體在地面上應(yīng)該具有的動(dòng)能為2 1 2^1 .22 2所以％=16.7km/s。至此我們分析了宇宙速度的推導(dǎo)過程，并明確了宇宙速度均是相對于地球而言的。因此，諸如“地球公轉(zhuǎn)速度29.8km/s比16.7km/s大，為