2017屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 理 北師大版

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第1課時函數(shù)及其表示

考綱?點擊高考指數(shù):★★★★★

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.

2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單的應(yīng)用.

主干回顧夯基固源重溫教材掃清盲點

1.函數(shù)的概念及表示

給定兩個非空數(shù)集1和6,如果按照某個對應(yīng)關(guān)系￡對于集合月中任何一個數(shù)x,在

函數(shù)定義集合3中都存在唯二確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng)，那么就把對應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合H

上的函數(shù).

函數(shù)記法記作￡_上叁或y=f(x),

函數(shù)的定義域在函數(shù)的定義中X叫作自變量，X的取值范圍力叫作函數(shù)的定義域

函數(shù)的值域集合上辿金L叫作函數(shù)的值域

函數(shù)的三要素定義域、值域和對應(yīng)法則

函數(shù)的表示法解析法、圖像法和列表法

段函數(shù)

如果函數(shù)尸F(xiàn)G),才￡4根據(jù)自變量X在4中不同的取值范圍，有著丕回的對應(yīng)關(guān)系，則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù).

3.映射的定義

(1)兩個非空集合力與6間存在著對應(yīng)關(guān)系而且對于力中的每一個元素必8中總有唯二的一個元素y與它對應(yīng)，就稱這種對應(yīng)為從力

到6的映射，記作A-B.

力中的元素才稱為感像，8中的對應(yīng)元素y稱為x的像，記作工犬一乂

(2)一一映射

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一一映射是一種特殊的映射，它滿足：

①力中每一個元素在6中都有唯二的像與之對應(yīng)；②力中的不同元素的像也丕回；③6中的每一個元素都有原像.

［基礎(chǔ)自測］

1.(教材改編題)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

A.y=T"與y=i

次一1,x>l

B.y=x-1，與y=\八

1A1—x,x<\

C.y=x|+x-1|與y=2x—1

x'+x-

D?尸7TT與尸工

解析：A中定義域不同，B中定義域不同，C中兩個函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不同，D中定義域均為R,對應(yīng)關(guān)系均為尸x,故選D.

答案：D

2.設(shè)￡g都是從力到力的映射(其中力={1,2,3}),其對應(yīng)關(guān)系如下表：

X123

f312

g321

則丹晨3))等于()

A.1B.2

C.3D.不存在

解析：??'g(3)=L，F(xiàn)(g(3))=F(l)=3,故選C.

答案：C

90,

3.(教材改編題)設(shè)函數(shù)—若F(a)+F(—1)=2,則a=()

—x,K0,

A.-3B.±3

C.-1D.±1

解析：vr(-D=^---=1,/(a)+A-1)=2,

.\f(a)=1,???當(dāng)力0時，爪=1解得a=l.當(dāng)水0時，yj—a=l解得a=-1..??a=±l.

答案：D

4.函數(shù)曠=丁一2入的定義域為{0,1,2,3},那么其值域為.

解析：當(dāng)x取0,1,2,3時，對應(yīng)的函數(shù)y的值依次為0,-1,0,3,所以其值域為{-1,0,3}.

答案：{-1,0,3}

5.設(shè)集合力={x|y=Yx—2},集合8=加尸？，x￡R},則404=.

解析：已知力={x|x—220}={x才22},B—{y|y^0),

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：.AViB={x\x'?2}.

答案：{x|x22)

考點研析題組沖關(guān)核心考點深化突破

考點一函數(shù)、映射的概念與求函數(shù)值

大一輪復(fù)習(xí)BSD數(shù)學(xué)(理)第二章基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用[例1](1)(2014?高考江西卷)函數(shù)f(x)=ln(y—x)的定義域為

()

A.(0,1)

B.[0,1]

C.(一8,o)U(1,+8)

D.(—8,0]U[1,+8)

(2)有以下判斷：

①/'(x)=4與g(x)={_]表示同一函數(shù)；

②函數(shù)y=f(x)的圖像與宜線才=1的交點最多有1個：

③F(x)—2x+l與g(8=/—21+1是同一函數(shù)；

④若f(x)=|x-11一削，則《/(習(xí))=0.

其中正確判斷的序號是.

審題視點(1)將求函數(shù)的定義域問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題.

(2)從函數(shù)的定義、定義域、值域等方面對所給結(jié)論進(jìn)行逐一分析判斷.

解析(1)要使Hx)=ln(V—x)有意義，只需入＞0,

解得上＞1或K0.

，函數(shù)f(x)=ln(V—4)的定義域為(一8,o)U(1,+8).

1x1*

(2)對于①，由于函數(shù)人切=」的定義域為且杼0},而函數(shù)g(x)=的定義域是R,所以二者不是同一函數(shù)，

x(―1,x

對于③，與g(E)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以FJ)與g1)表示同一函數(shù)，對于②，若x=l不是尸八才)定義域的值，則宜線

才=1與尸f(x)的圖像沒有交點，如果x=l是尸F(xiàn)(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)的定義可知，直線x=l與y=F(x)的圖像只有一個交點，即尸

f(x)的圖像與直線x=l最多有一個交點，對于④，由于7GHH-冏=0,...碉=制0)=1.

綜上可知，正確的判斷是②，③.

答案(DC⑵②③

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I方法總結(jié)I

函數(shù)的三要素是：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.這三要素不是獨立的，值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定；因此當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)

系都相同的函數(shù)才是同一函數(shù).特別值得說明的是，對應(yīng)關(guān)系是對效果而言的(判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的

任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同)不是指形式上的.即對應(yīng)關(guān)系是否相同，不能只看外形，要看本質(zhì)；

若是用解析式表示的，要看化簡后的形式才能正確判斷.

題組沖關(guān)

1.(2015?高考重慶卷)函數(shù)尸(x)=log2(7+2x—3)的定義域是

()

A.[—3,1]

B.(—3,1)

C.(-8,+8)

D.(-8,-3)U(1,+8)

解析：要使函數(shù)有意義，只需丁+2工—3〉0,即(x+3)(x—l)>0,解得求一3或力1.故函數(shù)的定義域為(—8,-3)U(1,+-)

答案：D

2.(2016?安徽宣城一模)函數(shù)f(x)=亞亙?nèi)亩x域是

X—

()

A.[3,+8)B.1)

《一",3)D.(-8,-3)

'|工一2|一120,

解析：要使函數(shù)有意義，需使

d—1W1.

X—221或X—2W—1,

X>1,

(#2.

所以才23,即定義域為[3,+8).

答案：A

考點二分段函數(shù)及其應(yīng)用

y+1,才>0,

[例2](2014?高考福建卷)已知函數(shù)人力=…則下列結(jié)論正確的是()

cosx,xWO,

A.f(x)是偶函數(shù)B.〃力是增函數(shù)

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C.Hx）是周期函數(shù)D.Hx）的值域為［-1,+8）

審題視點根據(jù)所給分段函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像解答.

座+1,x>0,

解析函數(shù)/'（?=J的圖像如圖所示，由圖像知只有D正確.

cosx,后0

答案D

I方法總結(jié)I

對于分段函數(shù)應(yīng)當(dāng)注意的是分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，其特征在于“分段”，即對應(yīng)關(guān)系在不同的定義區(qū)間內(nèi)各不相同，在

解決有關(guān)分段函數(shù)問題時既要緊扣“分段”這個特征，又要將各段有機聯(lián)系使之整體化、系統(tǒng)化.分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程,

而應(yīng)寫成函數(shù)的幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.

題組沖關(guān)強化訓(xùn)練提升考能

1+10g2—XK1,

1.（2015?高考課標(biāo)卷1［）設(shè)函數(shù)/U）=則F(—2)+〃1限⑵=()

NT*21,

A.3B.6

C.9D.12

解析：???一2<1,

AA-2)=1+log?(2+2)=1+log24=1+2=3.

Vlog212>l,

12

.,./,(log212)=21og212-l=y=6.

???F(-2)+f(log212)=3+6=9.故選C.

答案：C

%+1,xWO,

2.（2016?陜西榆林一模）已知f{x}='使—1成立的x的取值范圍是一

x—x>0,

aWO,

x>0,

解析：由題意知<

%+12-1,或，

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解得一4WxW0或0<運2,故x的取值范圍為[-4,2].

答案：[-4,2]

考點三函數(shù)的表示法

[例3](1)下列函數(shù)中，不滿足f(2x)=2f(x)的是()

A.F(x)=|x|B.f(x)=x-\x\

C.f(x)=x+1D.f(x)=-x

(2)如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am(0<a<12),4m,不考慮樹的粗細(xì).現(xiàn)在想用16m

長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形的花圃4%以設(shè)此矩形花圃的面積為Sm」，S的最大值為f(a),若將這棵樹圍在花圃內(nèi)，則函數(shù)u=f(a)的圖

像大致是()

審題視點(D將f(2M表示出來，與2f(x)作比較.

(2)將f(a)用函數(shù)表示出來，用函數(shù)觀點來研究最值.

解析(1)對于A,f(2x)=|2x|=2|*|=2f(x)；

對于B,f(2x)=2x-\2x\=2(x-|x|)=2f[x｝；

對于C,f(2x)=2x+l片2f(x)；

對于D,f(2x)=-2x=2f(x),故只有C不滿足f(2x)=2f(x),所以選C.

(2)設(shè)DC=y,則*+y=16,5=xy=x(16-x)=一(X一8尸+64(才小@).

當(dāng)0<aW8時，x=8使S取得最大值，且f(a)=64；

當(dāng)8〈a〈12時，x=a使S取得最大值，且f(a)=—(a—8)2+64是一個在區(qū)間(8,12)上單調(diào)遞減的函數(shù)，但始終有f(a)>0.故只有C圖像符

合，故選C.

答案(DC(2)C

|方法總結(jié)|

求函數(shù)解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)換元法；(3)待定系數(shù)法；(4)解函數(shù)方程等.

題組沖關(guān)強化訓(xùn)練提升考能

1.(2016?浙江慈溪、余姚聯(lián)考)若函數(shù)f(x)滿足：2f(力+/。=3%則F(x)=.

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解析：用;替換2f(x)+6)=3*中的x,得到27Q+f(x)=1，兩個方程聯(lián)立消去心得f[x)=2x，

答案：2T

2.(2016?河北唐山統(tǒng)考)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x30時，f(x)=M+ln(l+x),則當(dāng)K0時，f[x)=()

A.—y―ln(l-A)B.f+ln(l-x)

C.]n(l—x)D.—x34-ln(l—A)

解析：當(dāng)KO時，-x>0,

f(—x)=(—Ar)J+ln(l—A).

???f(x)是R上的奇函數(shù)，

...當(dāng)KO時，f(x)=—f(—x)=—[(—xF+lnd—才)],

?，?F(x)=x—In(1—%).

答案：C

素能提升學(xué)科培優(yōu)提高技能特色展示

創(chuàng)新探究系列2

與函數(shù)有關(guān)的新定義問題

［典例］設(shè)/Xx）,g（x）,力（才）是R上的任意實值函數(shù)，如下定義兩個函數(shù)（戶g）（X）和（F?g）（x）；對任意x￡R,（戶g）（X）=久代力）；

6?g）（x）=F（x）g（x）.則下列等式恒成立的是（）

A.（（f。g）?血（才）=（（F?力）。（g?方））（x）

B.（（f?g）。力）（x）=（（f。/i）?（Q力））（才）

C.（（戶g）°力）（＞）=（（戶力）。幅/i））（x）

D.（（/?g）?A）（%）=（（/?力）?（g?力））（x）

解題指南根據(jù)新的定義逐個選項驗證其真?zhèn)危瑥亩鞒雠袛?

解析根據(jù)新函數(shù)的定義分析如下，

A項（（戶g）?力）（x）=（戶g）（x）力（x）=f（g（x））力（x）：

（（/?/］）°（g?力））（x）=（廣力）（（g?力）（x））

=（/?力（gCr）"x））=f（g（x）23）力（g（x）方3）；等式不恒成立.

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B項（6?g）。力）（x）=（f?8）（力（力）=/（力（彳））式力（力）；

（（/，oA）?（6人））（才）=（1'。力）（x）（夕/?）（x）=f（7?（x））gS（x））；等式恒成立.

C項（（戶g）。力）（力=（尸g）（力（x））=f（g（A（x）））；

（（f。力）。（夕力））（才）=（廣力）（（夕力）（*））=（公力）（g（力（x）））=F（0（g（力（x））））；等式不恒成立.

D項（6-g）?/?）（x）=（f?g）（x）力（x）=f（x）g（x）力（x）；

（（外力）?3?力））（力=（F?力）（x）（g?力）（x）=F（x）/;（x）g（x）/7（x）.等式不恒成立.

答案B

閱卷點評A本題突破以往給出具體函數(shù)解析式的模式，努力讓學(xué)生打破常規(guī)思維，對學(xué)生的思維能力提出了更高的要求.

創(chuàng)新點評A（1）本題為新定義問題，命題背景、題目設(shè)置新穎.

（2）考查內(nèi)容創(chuàng)新：本題是將新定義的兩個函數(shù)用于辨別與之有關(guān)的等式是否恒成立問題，主要考查對新定義抽象函數(shù)的理解，需要考生有

較強的理解能力、推理論證能力和抽象概括能力.

備考建議A（1）熟練掌握函數(shù)有關(guān)概念、運算.

（2）在新問題面前，要冷靜思考，新問題的解決還是要靠“老知識”“老方法”，應(yīng)該有意識地運用轉(zhuǎn)化思想，將新問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的

問題.

指點迷津展示4

?一個關(guān)系——函數(shù)與映射的關(guān)系

（1）函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于集合A與集合5只能是非空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集5的映射.

（2）映射不一定是函數(shù)，從/到4的一個映射，人3若不是數(shù)集，則這個映射便不是函數(shù).

?兩點提醒

（1）定義域與值域相同的函數(shù)，不一定是相同函數(shù).如函數(shù)y=x與y=x+l,其定義域與值域完全相同，但不是相同函數(shù).因此判斷兩個

函數(shù)是否相同，關(guān)鍵是看定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同.

（2）分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

課時規(guī)范訓(xùn)練

[A級基礎(chǔ)演練]

1.函數(shù)y=、nln（l—x）的定義域為（）

A.（0,1）B.[0,1）

C.（0,1]D.[0,1]

后0

解析：由八，解得0W/CL故選B.

[1—x>0

答案：B

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2.(2015?高考陜西卷)設(shè)f(x)=P一則

[2，，x<0,

f(f(-2))=()

A.-1B3

C.1D.|

解析：因為一2〈0,所以f(-2)=2T=；＞0,

所以￡?)=]_故

答案：C

figx,0＜Kl

3.(2016?浙江臺州調(diào)研)若點力(a,—1)在函數(shù)f(x)=＜廠，的圖像上，則a=()

A.1B.10

C.?D.看

解析：當(dāng)時，y=y[x^l,因此點4(a,-1)在函數(shù)y=lg*(0＜豕1)的圖像上，故一l=lga,a=5.

答案：D

4.(2016?青島一模)函數(shù)尸f(x)的定義域為在同一坐標(biāo)系下，尸f(x)與直線『=1的交點個數(shù)是

解析：由函數(shù)定義的唯一性及xe[—1,5],知函數(shù)f(x)與x=l只有唯一一個交點.

答案：1

3x-x

5.(2016?西寧模擬)若函數(shù)Ax)=1x=

則f(H0))=.

解析：f(0)=n,f(n)=3JT-—4,

???f(/?(()))=/?(n)=3五2一&

答案：3H2-4

6.已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x+l)-2f(x—l)=2x+17,則f(x)=

解析：???ax)是一次函數(shù)，

??.設(shè)f[x)=ax+6(aW0),

又???3f(—(x—1)=2x+17,

即ax+5a+A=2x+17,

.*.a=2,6=7,/.f(x)=2x4-7.

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答案：2x+7

7.已知函數(shù)y=f(x)的圖像由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成，求函數(shù)的解析式.

解：根據(jù)圖像，設(shè)左側(cè)的射線對應(yīng)的解析式為

??,點(1,1),(0,2)在射線上，

卜+8=1,k=-l,

[6=2,解得，

6=2.

???左側(cè)射線對應(yīng)函數(shù)的解析式為y=-x+2CrWl)；

同理，才23時，函數(shù)的解析式為y=x—2(x23).

再設(shè)拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式為尸a(*-2)2+2(lWxW3,a<0),

1?點(1,D在拋物線上,

，a+2=l,a=-1,

???1WXW3時，函數(shù)的解析式為

y=—%2+4x—2(1W啟3),

—x+2,水1

T+4x-2,0W3

{x—2,x>3

x—1,x>0

8.(2016?深圳模擬)已知f(x)=V—l,g(x)=

2—x、X0

(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；

⑵求F(g(x))和g(f(x))的解析式.

解：(1)由已知，g(2)=Lf(2)=3,

???F(g(2))=f(l)=0,g(F(2))=g(3)=2.

(2)當(dāng)%>0時，g(x)=x—1,

故F(g(x))=(x—I)?-1=V—2x；

當(dāng)/0時，g(x)=2一筋

故f(g(x))=(2—A)2—1=/—4xH-3；

卜J2x,x>0,

??"(g(x))=

4x+3,KO,

當(dāng)x〉l或水一1時，f(A)>0,

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故哉f(x))=f(x)—1=x—2；

當(dāng)一1<K1時，/U)<0,

故g(f(x))=2—f(x)=3一—

x-2tx>1或點—1,

，g(U))=

3—x2,-1<X1.

［B級能力突破］

2*7—2xWl,

1.(2015?高考課標(biāo)卷I)已知函數(shù)/U)=,且y(a)=-3,則f(6—血=()

—log2>>1,

解析：由于f(a)=-3,

①若aWL則21—2=-3,整理得21=-1.

由于2'>0,所以21=—1無解；

②若a>l,則一log2(a+l)=-3,

解得a+l=8,a=7,

7

所以F(6—a)=F(-1)=22=--

7

綜上所述，/(6—a)=--故選A.

答案：A

2.(2016?衡水模擬)函數(shù)FJ)的定義域為〃若對于任意小，x￡D,當(dāng)乂＜生時都有/"JWAE),則稱函數(shù)F(x)在〃上為非減函數(shù).設(shè)

函數(shù)/、(才)在［0,1］上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①/.(0)=0；②?3=gf(x)；③f(l—X)=1—/，(才)，則/(與+/(5)等于()

31

"彳B.5

2

C.1D.-

解析:V/(0)=0,f(l一力=1一〃力,

/./(I)=L又《卜聶⑴，

又V/(I—x)+f(x)=I,

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階筑4

周=笫="

答案：A

1,力0

3.(2015?高考湖北卷)設(shè)x￡R,定義符號函數(shù)sgnx=j0,x=0,則()

.-1,X0

A.|x=x\sgnx\B.|x\=ABgn|x

C.|x=|x\sgnxD.|x|=xsgnx

解析：當(dāng)水0時，|x|=-x,xlsgnx\=x,xsgnl^l=x,

x\sgnx=(-x)?(—1)=x,排除A,B,C,故選D.

答案：D

4.(2015?高考浙江卷)存在函數(shù)f(x)滿足：對任意x￡R都有()

A.Asin2A)=sinxB.Asin2x)=xA-x

C.f(x+1)=|%+1|D.f(x4-2A)=|AH-11

解析：取特殊值法.

取x=0,y,可得以0)=0,1,這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項A錯誤；

取x=0,n,可得F(0)=0,n2+JI,這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項B錯誤；

取x=l,-1,可得/?(2)=2,0,這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項C錯誤；

取木，則對任意x￡R都有尸(*2+2彳)=｛寸+2>+1=分+1],故選項D正確.

綜上可知，本題選D.

答案：D

(2/一8ax+3,K1,

5.(2016-福州一模)函數(shù)/V)=1、

[lOgaX,X^\

在x￡R內(nèi)單調(diào)遞減，則a的范圍是()

A.(0,|1B./1)

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15'

D.

c.2f8

解析：要求此函數(shù)的兩段均為減函數(shù)，并且才=1時第一段的函數(shù)值在第二段的上方或者相等，即

r?>i

1R

<0〈水L解得<0<水1,故jWaWa

/O

、2—8a+321og35

答案：C

x+~-3,后1

6.(2015?高考浙江卷)已知函數(shù)f(x)=<x則F"(—3))=f(x)的最小值是

/+,K1

解析：由內(nèi)到外依次代入計算可得〃『(一3)),在分段函數(shù)的兩段內(nèi)分別計算最小值，取二者中較小的為〃/)的最小值.

,.,f(-3)=lg[(-3)2+l]=lg10=1,

.,./(/,(-3))=/'(1)=1+2-3=0.

當(dāng)x/1時，x+~3>2x>-3=2>^2—3,當(dāng)且僅當(dāng)x=孑，即x=*時等號成立，此時/'(x)“；”=2m—3<0；

當(dāng)水1時，lg(-+l)Mlg(02+l)=0,此時

所以f(x)的最小值為2蛆一3.

答案：02小一3

7.某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間f(小時)之間近似滿

足如圖所示曲線.

(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于4微克時治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥的時間為7：00,問之后的10小時中應(yīng)怎

樣安排服藥時間？

0W尾),

12r

解：(1)由題意知產(chǎn)=《

梟W8)

45+T迎5

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(2)設(shè)第二次服藥是在第一次服藥后自住〈床8)小時，

4Q9

則一不1十三=4,解得力=3(小時).因而第二次服藥應(yīng)在10：00.設(shè)第三次服藥在第一次服藥后點3〈叢8)小時，則此時血液中含藥量應(yīng)

55

為兩次服藥后的含藥量的和.

解得,=7(小時),即第三次服藥應(yīng)在14：00.

設(shè)第四次服藥應(yīng)在第一次服藥后七小時(打＞8),

則此時第一次服進(jìn)的藥已吸收完，此時血液中含藥量應(yīng)為第：、三次的和.

-1(r3-3)+y+F-|h-+yl=4,

ujLuJ」

解得右=10.5(小時)》小小時故舍去.

第2課時函數(shù)的定義域和值域

考綱?點擊高考指數(shù):★★★

1.了解定義域、值域是構(gòu)成函數(shù)的要素.

2.會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.

主干回顧夯基固源重溫教材掃清盲點

1.函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

確定函數(shù)定義域的原則：

(1)當(dāng)函數(shù)尸以力用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)x的集合;

(2)當(dāng)函數(shù)y=F(x)用圖像給出時，函數(shù)的定義域是指圖像在三軸上投影所覆蓋的實數(shù)的集合；

(3)當(dāng)函數(shù)尸F(xiàn)Q)用解析式給出時，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)的集合；

(4)當(dāng)函數(shù)尸f(x)由實際問題給出時，函數(shù)的定義域由實際問題的篁乂確定：

(5)當(dāng)函數(shù)尸/Xx)是由幾部分?jǐn)?shù)學(xué)式子構(gòu)成時，函數(shù)的定義域就是使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合.

2.函數(shù)的值域

(1)函數(shù)的值域的定義：在函數(shù)y=f(x)中與自變量x的值對應(yīng)的/的值叫作函數(shù)值,所有函數(shù)值的集合，叫作函數(shù)的值域.

(2)確定函數(shù)值域的原則：a.當(dāng)函數(shù)f(x)用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中所有y值組成的集合.b.當(dāng)函數(shù)尸f(x)用圖像給出時,

函數(shù)的值域是指圖像上每一個點的縱坐標(biāo)組成的集合.c.當(dāng)函數(shù)y=F(x)用解析式給出時，函數(shù)的值域由定義域和解析式確定.

(3)求函數(shù)值域的方法有：直接法、換元法、配方法、判別式法、幾何法、不等式法、單調(diào)性法等.

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［基礎(chǔ)自測］

1.已知函數(shù)〃才）=的定義域為M,以才）=1。（1+力的定義域為\,則MAAM）

y1-X

A.{x|x>—1}B.{x|x〈l}

C.UI-KK1}D.0

解析：由題意知材={川水i},歸{x|x>—1},故稱n芹=3—1<水1}.

答案：c

2.函數(shù)尸量后的值域為（）

B.y混

A.R

4圍}

D.

解析：,.?寸+232,.，.。〈產(chǎn)；2g.

答案:D

3.函數(shù)/■(x)=±+lg(l+x)的定義域是(

A.(—8,—1)B.(1,+oo)

C.(-1,1)U(1,+8)D.(一8,+8)

fl-r#0

解析：要使函數(shù)有意義，須…、八解得x>—1且xWl.

U+x>0

答案：c

4.（教材改編題）函數(shù)/.（x）=log2（3'+l）的值域為.

解析：???3'+1>1且/Q）=log2X為增函數(shù).

.,.log2（3'+l）>log2l=0,???值域為（0,+8）.

答案：（0,4-oo）

5.（教材改編題）若皆有意義，則函數(shù)尸產(chǎn)+3x—5的值域是—

解析：由5■有意義知x30,

又?.?尸f+3x-5在［0,+8）上為增函數(shù)，

二函數(shù)y=f+3x-5的值域為［-5,+8）.

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答案：[-5,+8)

考點研析題組沖關(guān)核心考點深化突破

考點一求函數(shù)的定義域

[例1](1)函數(shù)f(x)=71—21og6彳的定義域為.

(2)已知函數(shù)F(2,)的定義域是[-1,1],求f(x)的定義域.

審題視點(1)使根式和對數(shù)式有意義，求x的范圍.

(2)明確2'與FCr)中x的含義，從而構(gòu)造不等式求解.

[1—21ogc^0

解析(1)由條件得八，

[x>0

解得卜g6，W5=iog《，所以函數(shù)的定義域為(0,#].

[A->0

答案(0,4]

(2)：/'(2')的定義域為[-1,1],即一1W后1,

.?.”W2,故f(x)的定義域為猿21.

|方法總結(jié)|

簡單函數(shù)定義域的類型及求法

①已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.②對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.③

對抽象函數(shù)：(i)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,3，則復(fù)合函數(shù)f(g(r))的定義域由不等式aWg(x)W6求出.(ii)若已知函數(shù)f(g(x))的定

義域為[a,A],則f(x)的定義域為g(x)在xC[a,6]時的值域.

題組沖關(guān)強化訓(xùn)練提升考能

1.(2016?德州模擬)求函數(shù)，(*)=二1丁+4711+(彳一4/的定義域為—

解析：要使/■(X)有意義，則只需

2-|x|^0,XH±2

,X—120,即或xW—l

/一4工0,/W4

x^-1且#2且痣4或后一1且xW—2.

故函數(shù)的定義域為{x\x<—2或一2<啟一1或1Wx<2或2<水4或x>4}.

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答案：{x|水一2或一2<xW-l或1WK2或2<K4或x>4}

2.（2016?萊蕪模擬）已知函數(shù)汽力的定義域為［3,6］,則函數(shù)的定義域為（）

A.+0°2

+8Df2

C.修-2

解析:要使函數(shù)9=有意義，需滿足

3W2xW6,

]WZ3,3

=>5=故選B.

10g--X

20<2—矛<1.

答案：B

考點二求函數(shù)的值域

［例2］求下列函數(shù)的值域:

/、/、x-3

⑵*“）=不匕:

（3）f（x）=x—Gl—2x.

審題視點根據(jù)各個函數(shù)解析式的特點,分別選用不同的方法求解，（1）用分離常數(shù)法：（2）用配方法；（3）用換元法或單調(diào)性法.

Y^-qv-i-1-44

解（1）（分離常數(shù)法）f（x）=F7=-.,,=1—TT.

XIkXI1XI1

44

因為幣所以1一幣Hl,

即函數(shù)的值域是{yy￡R,y#l}.

（2）（配方法）由于2+*—9=-0—；）+.乏*此時有三種情況，若一口一3+*0,則yVO；

若W+沁

則y無意義；

若___0_＜_（一卜1Y司,9+1產(chǎn)9不

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?，?函數(shù)的值域為(-8,0)U.,+8)

_/

(3)法一：(換元法)令Jl—2x=3則320且x=”2%

?—1

于是y=-^--t=--(f+l)2+l,

由于a0,所以應(yīng)，故函數(shù)的值域是上|國j.

法二：(單調(diào)性法)容易判斷f(x)為增函數(shù)，而其定義域應(yīng)滿足1一2G0,即W，所以

即函數(shù)的值域是?

|方法總結(jié)|

(1)在求函數(shù)值域時，若函數(shù)解析式中是分式的形式，且分子、分母都是一次的，可考慮用分離常數(shù)法；若函數(shù)與二次函數(shù)有關(guān)，可用配方

法；若解析式中含有根式，應(yīng)考慮用換元法或單調(diào)性法：若解析式結(jié)構(gòu)與均值不等式有關(guān)，可用均值不等式法求解.

(2)對于含有根式的函數(shù)y=ax+6+炳1(a,b,d,e均為常數(shù)且4步0),若a與d同號,用單調(diào)性法求值域較為簡單；當(dāng)a與d異號

時，一般要用換元法求值域.

題組沖關(guān)強化訓(xùn)練提升考能

1.(2016?北京海淀一模)函數(shù)y=-*+l,-1WA<2的值域是

()

A.(-3,0]B.(-3,1]

C.[0,1]D.[1,5)

解析：V+i在(-1,0)上遞增，在(0,2)上遞減，且?￥=-1時，y=0,x=0時，y=l,x=2時，y=-3,.,.yG(—3,11>故選B.

答案：B

2.求下列函數(shù)的值域，并指出函數(shù)有無最值.

⑵7=*+：+1(丘0).

解：(D法一：(判別式法)

3y

??，x￡R,尸了百，整理得以一3x+4y=0.

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當(dāng)y=0時，x=0；

33

當(dāng)尸產(chǎn)。時，由/20=一產(chǎn)kX，且斤0,

綜上，函數(shù)的值域為[一*；].

二函數(shù)有最小值一牙，最大值彳

法二：(基本不等式法)

?.3=0時，y=0,

QIv|QQ4

，當(dāng)xWO時，IW=v+4=---------"W不當(dāng)且僅當(dāng)以”=；1，即才=±2時，等號成立.

3+而.

.33?？物/占甘由33

..一彳在辰丁??函數(shù)值域為一*,牙.

33

??.函數(shù)有最小值一彳，最大值才

(2)(基本不等式法)

由y=x+：+l(a0),得y-l=x+；

???|x+：|=x|+：|22yjx|?(1=2,

A|y-1|^2,即yW-l或y23.

，函數(shù)值域為(-8,-1]U[3,+8).

???函數(shù)既無最大值，又無最小值.

法二：(判別式法)

由尸x+；+l,得/+(]—y)x+l=O.

???方程有實根，???4=(1一02-420,即(r)22.

???y—1W—2或y—122.解得z—1或y23.

工函數(shù)值域為(一8,-1]U[3,+8).

???函數(shù)既無最大值又無最小值.

考點三與函數(shù)定義域、值域有關(guān)的參數(shù)問題

[例3]已知函數(shù)f(x)=Naf+