2016版步步高高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略專用理科配套課件審題解題回扣第一篇第四篇14份打包

第一篇 活用審題路線圖，教你審題不再難內(nèi)容索引一審條件挖隱含二審結(jié)論會(huì)轉(zhuǎn)換三審圖形抓特點(diǎn)四審結(jié)構(gòu)定方案五審圖表找規(guī)律六審細(xì)節(jié)更完善審題突破練一審條件挖隱含審題是解題的基礎(chǔ)，深入細(xì)致的審題是成功解題的前提，審題不僅存在于解題的開(kāi)端，還要貫穿于解題思路的全過(guò)程和解法后的反思回顧．正確的審題要多角度地觀察，由表及里，由條件到結(jié)論，由數(shù)式到圖形，洞察問(wèn)題實(shí)質(zhì)，選擇正確的解題方向．事實(shí)上，很多考生往往對(duì)審題掉以輕心，或不知從何處入手進(jìn)行審題，致使解題失誤而丟分．本講結(jié)合實(shí)例，教你正確的審題方法，給你制訂一條

“審題路線圖”，攻克高考解答題．一審條件挖隱含任何一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成的．條件是解題的主要素材，充分利用條件間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必經(jīng)之路．條件有明示的，有隱含的，審視條件更重要的是要充分挖掘每一個(gè)條件的內(nèi)涵和隱含的信息，發(fā)揮隱含條件的解題功能．例

1

(2014·重慶)已知函數(shù)

f(x)＝

3sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2≤φ

π

的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)<2)

3的距離為π.求ω和φ的值；若

f

α

3

π

2π

3π(2)＝

4

(6<α<3

)，求cos(α＋2

)的值．審題路線圖(1)條件：fx圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)距離為π↓挖掘三角函數(shù)圖象的特征fx的周期為π|ω|↓T＝2π，ω>0(已知)ω＝23條件：fx圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱πf(3)取到最值↓2

π

π×3＋φ＝kπ＋2k∈Z－π

π2≤φ<2(已知)↓φ＝－π6↓(2)

條件：fα＝32

4↓代入f(x)sinα－π

＝1642π↓條件π

α<6<

3cosα－π

＝6154↓欲求cos(α＋3π

＝sin

α＝sin[(α－π

＋π2

)6)

6]sin

α＝3＋

158↓3πcosα＋

2

＝3＋

158解

(1)因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，所以f(x)的最小正周期為T(mén)＝π，T從而ω＝2π＝2.3又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，2π

π所以

2×3＋φ＝kπ＋

，k∈Z.由－π

φ

π

π

2π

π2≤<2，得k＝0，所以φ＝2－3

＝－6.(2)由(1)得f(2)α

＝26)3sin(2·

α－π

＝43，所以sin(α－π

＝16)

4.由π

2π

π

π6<α<3

，得0<α－6<2，6所以

cos(α－π

＝

1－sin2α－π＝6)4151－12＝

.4所以cos(α＋3π

＝sin

α＝sin[(α－π

＋π2

)

6)

6]＝sin(α－π

π＋cos(α－π6)cos

6π6)sin

6＝1

3

15

14×

2

＋

4

×2＝3＋

158.跟蹤演練

1

(2014·四川)已知函數(shù)

f(x)＝sin(3x＋π

．4)(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；解

因?yàn)楹瘮?shù)y＝sin

x

的單調(diào)遞增區(qū)間為[－π＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，2

2由－π＋2kπ≤3x＋π

π＋2kπ，k∈Z，2

4≤24得－π＋2kπ

π

2kπ3

≤x≤12＋

3

，k∈Z.4

3

12所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－π＋2kπ，π

＋2kπ

，k∈Z.3

]f(3)(2)若α

是第二象限角，

α

＝45cos(α＋π4)cos

2α，求cos

α－sin

α的值．解

由已知，有

sin(α＋π

＝44)5cos(α＋π24)(cos

α－sin2α)，所以

sin

αcos

π＋cos

αsin

π4

4＝4

π

π2

25(cos

αcos

4－sinαsin

4)(cos

α－sin

α)，即

sin

α＋cos

α＝4

α－sin

α)2(sin

α＋cos

α)．5(cos當(dāng)sin

α＋cos

α＝0時(shí)，4由α

是第二象限角，知α＝3π＋2kπ，k∈Z.此時(shí)，cos

α－sin

α＝－

2.當(dāng)sin

α＋cos

α≠0

時(shí)，有(cos

α－sin

α)2＝54.由α

是第二象限角，知cos

α－sin

α<0，此時(shí)

cos

α－sin

α＝－

52

.5綜上所述，cos

α－sin

α＝－

2或－

2

.二審結(jié)論會(huì)轉(zhuǎn)換問(wèn)題解決的最終目標(biāo)就是求出結(jié)論或說(shuō)明已給結(jié)論正確或

錯(cuò)誤．因而解決問(wèn)題時(shí)的思維過(guò)程大多都是圍繞著結(jié)論這

個(gè)目標(biāo)進(jìn)行定向思考的．審視結(jié)論，就是在結(jié)論的啟發(fā)下，探索已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化規(guī)律．善于從

結(jié)論中捕捉解題信息，善于對(duì)結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠

近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向．例

2

(2015·北京)已知函數(shù)

f(x)＝ln

1＋x1－

.x(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)求證：當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＞2

x33x＋

；x33x＋

對(duì)x∈(0,1)恒成立，求k

的最(3)設(shè)實(shí)數(shù)k

使得f(x)＞k大值．x3轉(zhuǎn)化要證(2)

x∈0，1時(shí)fx>2x＋3

——結(jié)—論—→審題路線圖x3構(gòu)造函數(shù)fx－2x＋3

>0在0，1上恒成立—————————3→3gx＝fx－2x＋x

gx>0→研究函數(shù)gx的單調(diào)性求gx(3)求k的最大值構(gòu)造函數(shù)—————————3→3hx＝fx－kx＋x

研究hx單調(diào)性討論參數(shù)k—結(jié)—合—2—知——k≤—2—時(shí)—符—合—題—意→k>2時(shí)hx的單調(diào)性所以f′(x)＝1

11＋x

1－x＋

，f′(0)＝2.解

(1)因?yàn)閒(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，又因?yàn)閒(0)＝0，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝2x.(2)令g(x)＝f(x)－2

x33x＋

，2則g′(x)＝f′(x)－2(1＋x

)＝2x41－x2.即當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)>2

x＋x33.因?yàn)間′(x)>0(0<x<1)，所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增．所以g(x)>g(0)＝0，x∈(0,1)，(3)由(2)知，當(dāng)k≤2

時(shí)，f(x)>kx33x＋

對(duì)x∈(0,1)恒成立．當(dāng)k>2

時(shí)，令h(x)＝f(x)－kx33x＋

，則h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝kx4－k－21－x2.所以當(dāng)0<x<4k－2k時(shí)，h′(x)<0，因此h(x)在區(qū)間0，4k－2k上單調(diào)遞減．當(dāng)0<x<4k－2k時(shí)，h(x)<h(0)＝0，即f(x)<kx33x＋

.所以當(dāng)k>2

時(shí)，f(x)>kx33x＋

并非對(duì)x∈(0,1)恒成立．綜上可知，k的最大值為2.跟蹤演練

2

已知函數(shù)

f(x)＝1

＋aln

x.2x2(1)若a＝－1,求函數(shù)f(x)的極值,并指出是極大值還是極小值；解

由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，1當(dāng)a＝－1

時(shí)，f′(x)＝x－x＝x＋1x－1x，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝1

處取得極小值為12.min2所以

f(x)

＝f(1)＝1，f(x)max＝f(e)＝1

＋1.2e2(2)若a＝1，求函數(shù)f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；解

當(dāng)a＝1時(shí)，易知函數(shù)f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，(3)若

a＝1，求證：在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)

f(x)的圖象在3函數(shù)

g(x)＝2

的圖象的下方．x3證明

設(shè)

F(x)＝f(x)－g(x)＝1

＋ln

x－22x2

3x3，11－x1＋x＋2x2x，則F′(x)＝x＋x－2x2＝當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，故f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是減函數(shù)，6<0所以在區(qū)間[1，＋∞)上，F(xiàn)(x)<0恒成立．即f(x)<g(x)恒成立．因此，當(dāng)a＝1時(shí)，在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方．三審圖形抓特點(diǎn)在不少數(shù)學(xué)高考試題中，問(wèn)題的條件往往是以圖形的形式給出，或?qū)l件隱含在圖形之中，因此在審題時(shí)，要善于觀察圖形，洞悉圖形所隱含的特殊關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢(shì)．抓住圖形的特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，是破解考題的關(guān)鍵．例3

如圖(1)所示，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.點(diǎn)E、F分別在邊CD、CB上，點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如圖(2)所示．求證：BD⊥平面POA；當(dāng)PB取得最小值時(shí)，求四棱錐P－BDEF的體積．審題路線圖(1)(2)(1)證明

因?yàn)榱庑蜛BCD的對(duì)角線互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因?yàn)镋F⊥AC，所以PO⊥EF.因?yàn)槠矫鍼EF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO

平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因?yàn)锽D

平面ABFED，所以PO⊥BD.因?yàn)锳O∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.(2)解

設(shè)AO∩BD＝H.因?yàn)椤螪AB＝60°，所以△BDC為等邊三角形．故

BD＝4，HB＝2，HC＝2

3.3－x.設(shè)

PO＝x(0<x<2 3)，則

OH＝2

3－x，OA＝4連結(jié)

OB，由

OH⊥BD，得

OB2＝(2

3－x)2＋22.又由(1)知PO⊥平面BFED，則PO⊥OB.所以

PB＝

OB2＋OP2＝

2

3－x2＋22＋x2＝

2x－

32＋10.當(dāng)

x＝

3時(shí)，PBmin＝

10，此時(shí)

PO＝

3＝OH，所以V四棱錐P－BDEF＝1梯形BDEF3×S

×PO＝1

3

32

23×(

4

×4

－

4

×2

)×3＝3.跟蹤演練

3

如圖，在△ABC

中，AB＝3，AC＝5，若

O

為△ABC

的外心，則→

·→

的值為

．AO

BC解析

方法一

取邊BC的中點(diǎn)D，由于O

為△ABC

的外心，所以→⊥→，DO

BC1

→→

→

→

→

→

→所以→

·BC＝0，AO＝AD＋DO＝

(AB＋AC)＋DO，DO

2所以→→1

→AO·BC＝[2(AB＋AC)＋DO]·BC→

→

→＝1

→

1→

→

→ →

2

→

22(AB＋AC)·

(AC－AB)＝2(|AC|

－|AB|

)＝8.AO

AB

AE，OF，方法二

取AB的中點(diǎn)E，AC的中點(diǎn)F，連結(jié)OE則OE⊥AB，OF⊥AC.→

→

→AO在AC上的投影為|AF|，所以→·BC＝AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·ABAO→

→

→

→ →

→ →

→＝

→

→

→

→5

3|AC|·

|AF|－|AB|·

|AE|＝5×2－3×2＝8.答案

8數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條件和結(jié)論，很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的．在這些問(wèn)題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中，往往都隱含著某種特殊關(guān)系，認(rèn)真審視數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)數(shù)式結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入分析，加工轉(zhuǎn)化，可以尋找到突破問(wèn)題的方案．四審結(jié)構(gòu)定方案例4

(2015·四川)設(shè)數(shù)列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列an

1

11

000的前

n

項(xiàng)和為

Tn，求使得|Tn－1|＜ 成立的n

的最小值．審題路線圖解

(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因?yàn)閍1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2n.an2n(2)由(1)得1

＝

1

，n1

12

22所以

T

＝

＋

2＋…＋

n＝1

211－

1

2n11－2

＝1－12n.n由|T

－1|＜1

000，得

1

1n1－

－1

1

2 1

000＜

，即2n＞1

000，因?yàn)?9＝512＜1

000＜1

024＝210，所以n≥10，n于是，使|T

－1|＜11

000成立的n

的最小值為10.跟蹤演練

4

(1)已知數(shù)列{an}滿足

a1＝6，an＋1－an＝2n，記cn＝an，且存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切n∈N*，cn≥M

恒成n立，則

M

的最大值為

．解析

∵an＋1－an＝2n，∴an－an－1＝2n－2，……，a2－a1＝2，∴an－a1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＝n(n－1)，∴an＝n(n－1)＋6，n∴c

＝an6n

n＝n＋

－1≥5－1＝4，∵對(duì)一切n∈N*，cn≥M恒成立，∴M的最大值為4.答案

4(2)(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)·(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，則△ABC面積的最大值為

．解析

∵a

bcsin

A

sin

B

sin

C＝

＝

＝2R，a＝2，又(2＋b)·(sin

A－sin

B)＝(c－b)sin

C可化為(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.∴b2＋c2－a2bc

1＝2bc＝2＝cos

A，∴A＝60°.2bc∴△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos

60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取得)，∴S△ABC＝1

1

32·bc·

sin

A≤2×4×

2

＝

3.答案

3題目中的圖表、數(shù)據(jù)包含著問(wèn)題的基本信息，往往也暗示著解決問(wèn)題的目標(biāo)和方向．在審題時(shí)，要認(rèn)真觀察分析圖表、數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律，常?？梢哉业浇鉀Q問(wèn)題的思路和方法．五審圖表找規(guī)律例5

下表中的數(shù)陣為“森德拉姆素?cái)?shù)篩”，其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第j列的數(shù)為ai，j(i，j∈N*)，則(1)a9,9＝

；(2)表中的數(shù)82共出現(xiàn)

次.234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……………………審題路線圖審視圖表數(shù)據(jù)ai，j每行成等—差—數(shù)—列→a1，9＝a1，1＋8×1＝10每列成等差——數(shù)—列—→a9，9＝a1，9＋8×9＝72————→一般規(guī)律ai，j＝i＋1＋j－1·i＝ij＋1—————→82出現(xiàn)次數(shù)ij＋1＝82解的個(gè)數(shù)解析

(1)a9,9表示第9行第9列，第1行的公差為1，第2行的公差為2，……，第9行的公差為9，第9行的首項(xiàng)b1＝10，則b9＝10＋8×9＝82；(2)第1行數(shù)組成的數(shù)列a1，j(j＝1,2，…)是以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以a1，j＝2＋(j－1)·1＝j(luò)＋1；第i行數(shù)組成的數(shù)列ai，j(j＝1,2，…)是以i＋1為首項(xiàng)，公差為i的等差數(shù)列，所以ai，j＝(i＋1)＋(j－1)i＝ij＋1，由題意得ai，j＝ij＋1＝82，即ij＝81，且i，j∈N*，所以81＝81×1＝27×3＝9×9＝1×81＝3×27，故表格中82共出現(xiàn)5次．答案

(1)82

(2)5跟蹤演練5

為調(diào)查企業(yè)工人的身體情況，社保局從某企業(yè)800名男職工中隨機(jī)抽取50名測(cè)量其身高，據(jù)測(cè)量，被測(cè)職工的身高全部在155cm到195cm之間．將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成8組：第一組[155,160)，第二組[160,165)，……，第八組[190,195]，頻率分布直方圖的部分圖象如圖所示，頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的一部分如下表，已知第一組與第八組的人數(shù)相同，第七組與第六組的人數(shù)差恰好為第八組與第七組的人數(shù)差，則x＝

，y＝

.分組頻數(shù)……[180,185)x[185,190)y……由題意，可得

解得解析

由頻率分布直方圖可知前五組的頻率之和是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，第八組的頻率是0.008×5＝0.04，所以第六、七組的頻率之和為1－0.82－0.04＝0.14.故第八組的人數(shù)為50×0.04＝2，第六、七組的人數(shù)之和為50×0.14＝7.x＋y＝7，

x＝4，y－x＝2－y，

y＝3.答案

4

3六審細(xì)節(jié)更完善審題不僅要從宏觀上、整體上去分析、去把握，還要更加

注意審視一些細(xì)節(jié)上的問(wèn)題．例如括號(hào)內(nèi)的標(biāo)注、數(shù)據(jù)的

范圍、圖象的特點(diǎn)等．因?yàn)闃?biāo)注、范圍大多是對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制條件．審視

細(xì)節(jié)能適時(shí)地利用相關(guān)量的約束條件，調(diào)整解決問(wèn)題的方

向．所以說(shuō)重視審視細(xì)節(jié)，更能體現(xiàn)審題的深刻性．n

n

n4例

6

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a

}的前

n

項(xiàng)和為

S

，S

＝1an2＋12n*a

(n∈N

)．(1)求an；(2)令bn＝an，2nn為奇數(shù)，b

，

n為偶數(shù)，cn＝b2n

＋4

(n∈N*)，求{cn}的前n

項(xiàng)和Tn.審題路線圖n(1)S

＝14an2＋12an↓(注意n∈N*，an>0)a1＝2↓(下面的變形是有條件的，條件是n≥2)an＝Sn－Sn－144an

2an

a2–＝1

2＋1

－1

－1n

1

2an－1↓(進(jìn)行代數(shù)式變形)(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0↓(an＋an－1>0)an－an－1＝2↓(利用等差數(shù)列的定義)an＝2＋(n－1)×2＝2n↓(注意bn與an的關(guān)系，n是分奇偶的)(2)b1＝a1＝2；b2＝a1＝2；b3＝a3＝6；b4＝b2＝2↓(注意cn與bn的關(guān)系)c1＝b6＝b3＝6c2＝b8＝b4＝2↓(注意下面變化的條件是n≥3)n2n＋42n－1＋22n－2＋12n－2＋1c

＝b

＝b＝b＝a

＝2n－1＋2.↓Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝6＋2＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n－1＋2)＝2n＋2n↓(當(dāng)n＝1，n＝2時(shí)，對(duì)Tn的表達(dá)式的驗(yàn)證)nT

＝6，nn＝1，2

＋2n，

n≥2且n∈N*.解

(1)a

＝S

＝14a1

2a12＋1

1

2－14a1

2a1＝0，1

1因?yàn)閍1>0，故a1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－12n

n＝1

1

14

2

4a

＋

a

－

a2–n

112–

a–n

1，2所以1

a

－a(2n

n

114

2)－

(a

＋－

－n

n

1a

)＝0，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.因?yàn)閍n>0，所以an－an－1＝2，即{an}為等差數(shù)列，所以an＝2n

(n∈N*)．(2)c1＝b6＝b3＝a3＝6，c2＝b8＝b4＝b2＝b1＝a1＝2，n≥3時(shí)，n2n＋42n－1＋22n－2＋12n－2＋1c

＝b

＝b＝b＝a

＝2n－1＋2，此時(shí)，Tn＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n－1＋2)＝2n＋2n；當(dāng)n＝1時(shí)，2＋2＝4≠6，不符合上式，所以Tn＝當(dāng)n＝2時(shí)，T2＝22＋2×2＝8＝c1＋c2，符合上式．6，

n＝1，n2

＋2n，*n≥2且n∈N

.跟蹤演練6n設(shè)數(shù)列{a

}的前n

項(xiàng)和為nS

，已知1a

＝1，2Snn＝an＋1－1

22

*3n

－n－3，n∈N

.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；1

23

3解

依題意，2S

＝a

－1－1－2，又S1＝a1＝1，所以a2＝4，n當(dāng)n≥2

時(shí)，2S

＝nan＋1－123n3－n2－3n，n－1

n2S

＝(n－1)a

－123(n－1)3－(n－1)2－3(n－1)，兩式相減得n2a

＝(nan＋11323n13–

n

－n

－

n)－[(n－1)a

－

(n－1)

－(n－1)3

2

3

2－23(n－1)]．整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，n＋1n即an＋1

－an＝1，又a2－a1＝1，2

1故數(shù)列

an}是首項(xiàng)為

1，公差為

1

的等差數(shù)列，{

nn所以an＝1＋1×(n－1)＝n，所以an＝n2.a1

a2(2)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有1

＋1

＋…＋17an<4.證明

當(dāng)

n＝1

時(shí)，

1

＝1<a1

47；當(dāng)

n＝2

時(shí)，

1

＋

1

＝1＋1＝5

7；ann2當(dāng)n≥3

時(shí)，1

＝

1

<1a1

a2

4

4<41nn－1

n－1n＝

－1，a1

a2

an此時(shí)1

＋1

＋…＋1

＝1＋1

＋1

＋1

＋…＋122

32

42

n24

2

34)<1＋1＋(1－1

＋(1－1

＋…＋(3)n－11

－1n)4

2

n

4＝1＋1＋1－1＝7－1

7n<4.a

a1

2綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，有1

＋1

＋…＋1n7a

<4.審題突破練1.已知點(diǎn)A(－3,0)，B(0,3)，若點(diǎn)P在圓x2＋y2－2x＝0上運(yùn)動(dòng)，則△PAB面積的最小值為

.解析

由圓的方程x2＋y2－2x＝0，得(x－1)2＋y2＝1，所以圓的圓心G(1,0)，且圓的半徑r＝1，AB3由

A(－3,0)，B(0,3)，得

k

＝3＝1，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10所以AB的方程為y＝x＋3，即x－y＋3＝0，所以點(diǎn)G(1,0)到AB

的距離d＝|1–0＋3|21

2

3

4

5

6

7

8

9

10＝2

2＞1，所以AB與給定的圓相離，2－1，圓上到AB

的距離的最小值t＝d－r＝2又

AB＝

9＋9＝3

2，所以△PAB

面積的最小值為1

3

2×(22×2－1)＝6－322.答案6－3

22不同的件連結(jié)成一個(gè)系統(tǒng)，2.如圖所示，用K，A1，A2三類

元當(dāng)K正常工作且A1，A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，則系統(tǒng)正常工作概率為

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10解析

由題意可知K，A1，A2三類元件正常工作相互獨(dú)立.A1，A2至少有一個(gè)正常工作的概率為P＝1－(1－0.8)2＝0.96.所以系統(tǒng)正常工作的概率為PKP＝0.9×0.96＝0.864.答案

0.8641

2

3

4

5

6

7

8

9

103.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC＝150°，若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離大于1的概率為1

2

3

4

5

6

7

8

9

10解析

P＝4×4×sin

150°－π×124×4×sin

150°π＝1－8.1－π

8

.整數(shù)值的流程圖，則正數(shù)n4.如圖是求12＋22＋32＋…＋1002的＝

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10解析

第一次判斷執(zhí)行后，s＝12，i＝2；第二次判斷執(zhí)行后，s＝12＋22，i＝3，

而題目要求計(jì)算12＋22＋…＋1002，故n＝100.答案

1001

2

3

4

5

6

7

8

9

105.已知a＞0，函數(shù)f(x)＝πsin

2x，x∈[－1，0，若f(tax2＋ax＋1，x∈[0，＋∞，－1

13)＞－2，則實(shí)數(shù)

t

的取值范圍為

.3解析

①當(dāng)－1≤t－1＜0

時(shí)，f(t－1

＝2π

1

13)

sin[2(t－3)]＞－

，6

6∴－π＋2kπ＜π

t－1

＜7π＋2kπ(k∈Z).2(

3)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10∴－1＋4k＜t－1＜7＋4k(k∈Z).3

3

33

3

3∵－1≤t－1＜0，∴－1＜t－1＜0，∴0＜t＜13.1

1

1

13≥0

時(shí)，f(t－

＝a(t－

2＋a(t－

＋1＞－3)

3)

3)

2(a＞0)②當(dāng)

t－1恒成立，∴t≥13.綜上可知：實(shí)數(shù)t的取值范圍為(0，＋∞).答案

(0，＋∞)1

2

3

4

5

6

7

8

9

106.(2015·福建)若銳角△ABC

的面積為103，且AB＝5，AC23，＝8，則

BC＝

7

.2AB在銳角三角形中A＝π，由余弦定理得BC＝3AB2＋AC2－2AB·AC·cos

A＝7.1

2

3

4

5

6

7

8

9

1017.已知在△ABC

中，sin

A＋cos

A＝5.(1)求sin(

23π－A

π)cos(2＋A)；(2)求tan

A值.解

方法一5(1)∵sin

A＋cos

A＝1，25∴1＋2sinA·cosA＝

1

，25∴sin

2A＝－24，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10sin

3π

π(

2

－A)cos(2＋A)＝－cos

A·

(－sin

A)＝sin

Acos

A＝1

2A2sin＝－1225.(2)∵sin

A＋cos

A＝1，5∴(sin

A－cos

A)2＝(sin

A＋cos

A)2－4sin

Acos

A＝

1

＋48＝49，25

25

251

2

3

4

5

6

7

8

9

105又0＜A＜π

且sin

A＋cos

A＝1，∴π＜A＜π，2∴sin

A＞0，cos

A＜0，5∴sin

A－cos

A＝7，∴sin

A＝4，cos

A＝－3，5

5∴tan

A＝sin

A＝－4cos

A

3.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10方法二

(1)同方法一.25(2)sin

2A＝

2sin

Acos

A

＝

2tan

A

＝－24，cos2A＋sin2A

1＋tan2A∴12tan2A＋25tan

A＋12＝0∴tan

A＝－4或tan

A＝－33

45又0＜A＜π，sin

A＋cos

A＝1，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10∴π＜A＜3π，2

4∴tan

A＜－1，3.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10為＝＋1，＝1n–1n28.數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別(n∈N*)，證明：an＞bn.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10an

ln(1

n)

bn證明

欲證原不等式成立，nn2需證明ln(1＋1

－1＋1

＞0.n)構(gòu)造函數(shù)F(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(0＜x≤1)所以F′(x)＝1－1＋2x＝x2x＋11＋x

x＋1.當(dāng)0＜x≤1時(shí)，F(xiàn)′(x)＞0，所以函數(shù)F(x)在(0,1]上單調(diào)遞增.所以函數(shù)F(x)＞F(0)＝0，即F(x)＞0.所以

x∈(0,1]，ln(1＋x)－x＋x2＞0，即ln(1＋x)＞x－x2.令x＝1

n∈N*)，則有n(ln(1＋n1

1

1n2n

nn)＞

－ ，即a

＞b

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

109.已知a∈R，函數(shù)f(x)＝16x23＋12(a－2)x

＋b，g(x)＝2aln

x.(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處的切線互相垂直，求a，b的值；解

f′(x)＝132x2＋(a－2)x，f′(1)＝a－2.g′(x)＝2a，g′(1)＝2a.x依題意有f′(1)g′(1)＝－1，1

2

3

4

5

6

7

8

9

1032aa－2＝－1，且f(1)＝g(1)，可得1

16＋2a－2＋b＝0，解得a＝1，b＝1，或a＝1，b＝

7

.3

2

121

2

3

4

5

6

7

8

9

10(2)設(shè)F(x)＝f′(x)－g(x)，若對(duì)任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有F(x2)－F(x1)＞a(x2－x1)，求a的取值范圍.2x2解

F(x)＝1

＋(a－2)x－2aln

x.不妨設(shè)x1＜x2，F(xiàn)(x2)－F(x1)＞a(x2－x1)，等價(jià)于F(x2)－ax2＞F(x1)－ax1.設(shè)G(x)＝F(x)－ax，則對(duì)任意的x1，x2∈(0，＋∞)，1

2

3

4

5

6

7

8

9

101且x

≠x2，都有Fx2－Fx1x2－x1＞a，等價(jià)于G(x)＝F(x)－ax在(0，＋∞)上是增函數(shù).G(x)＝12a2x2－2aln

x－2x，可得G′(x)＝x－x

－2＝x2