名師點(diǎn)睛：怎樣應(yīng)用旋轉(zhuǎn)解題

/名師點(diǎn)睛：怎樣應(yīng)用旋轉(zhuǎn)解題資料圖1資料圖2資料圖3資料圖4天津四中馬艷芳精講精練隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施,其根本理念對(duì)近幾年中考數(shù)學(xué)命題的改革產(chǎn)生了重大影響。新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)教材,增添了圖形變化的問(wèn)題,使數(shù)學(xué)更貼近生活,幾何變換這一重要的數(shù)學(xué)思想,在近幾年的中考、競(jìng)賽試題中經(jīng)常出現(xiàn),這使得數(shù)學(xué)試題的解題方法和技巧更加靈活多變。只改變圖形的位置,而不改變其形狀大小,使幾何圖形重新組合,產(chǎn)生新的圖形關(guān)系,從而找到解決問(wèn)題的途徑,這是進(jìn)行幾何變換的目的,其中旋轉(zhuǎn)變換是最常見(jiàn)的手段之一。旋轉(zhuǎn)是幾何變換中的根本變換,它一般先對(duì)給定的圖形(或其中一局部圖形),通過(guò)旋轉(zhuǎn),改變位置后重新組合,然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系,進(jìn)而揭示條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,找出證題途徑。旋轉(zhuǎn)變換是一種重要的幾何變換,進(jìn)行幾何變換的目的有兩個(gè)：①揭示幾何圖形的性質(zhì)或幾何量之間的內(nèi)在聯(lián)系；②使分散的元素集中,從而使外表互不相干的條件變得密切相關(guān)。什么時(shí)候考慮用旋轉(zhuǎn)變換？怎樣運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換呢？下面結(jié)合例題談?wù)勑D(zhuǎn)變換在平面幾何解題中的應(yīng)用：例1.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,將正方形OMNP的一頂點(diǎn)O放在正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)處,你能求出兩正方形重疊局部的面積嗎？這道題是初二課本上的一道課后練習(xí)題,當(dāng)時(shí)我們解這道題時(shí)是從全等的角度來(lái)考慮的?，F(xiàn)在我們可以嘗試著用新方法旋轉(zhuǎn)來(lái)解這道題。分析：重疊局部被分為兩局部△OCF和△OCE,而△OCF≌△OBE,△OCE≌△ODF,我們可以將△OCF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90與原有的△OBE重合,或?qū)ⅰ鱋CE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90與原有的△ODF重合。這樣,通過(guò)旋轉(zhuǎn)我們能輕而易舉地知道重疊局部面積為正方形ABCD面積的■,所以重疊局部面積為■a2。解：∵OB=OC將△OCF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90△OCF≌△OBES陰影=S△OBCS陰影=■a2這道題也可將△OEC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,進(jìn)行解答。這道題是通過(guò)旋轉(zhuǎn)使圖形與原有圖形重合,從而使重疊局部面積得到重新組合,使問(wèn)題得到解決。這個(gè)以前做過(guò)的題目,我們換一個(gè)角度再看這道題目,又別有一番風(fēng)景。在感觀上認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn),了解旋轉(zhuǎn)解題的簡(jiǎn)便之處。從中總結(jié)出用旋轉(zhuǎn)解題的前提條件相交等線段,從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。練習(xí)1.如右圖所示,分別以正方形ABCD的邊AB、AD為直徑畫半圓,假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,求陰影局部的面積。例2.如下圖,設(shè)P為等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),APB=113,APC=123問(wèn)：(1)PA、PB、PC能否構(gòu)成三角形？(2)如果能構(gòu)成三角形,請(qǐng)找出構(gòu)成的三角形各內(nèi)角的度數(shù)。分析：三條線段看它能否構(gòu)成三角形,方法大概有兩種。從計(jì)算的角度求三邊長(zhǎng)度,比擬三邊大小,利用三角形三邊關(guān)系,判斷能否構(gòu)成三角形。或從圖形的角度,看能否將其放入一個(gè)三角形中。根據(jù)此題的實(shí)際情況求三邊長(zhǎng)度不是很現(xiàn)實(shí),所以問(wèn)題的解決就是看