彈簧諧振子課件

為迎接香港回歸，柯受良1997年6月1日駕車(chē)飛躍黃河壺口。東岸跑道長(zhǎng)265m，柯受良駕車(chē)從跑道東端起動(dòng)，到達(dá)跑道終端時(shí)速度為150km/h，他隨即以仰角5沖出，飛躍跨度為57m，安全落到西岸木橋上。第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)力學(xué)：研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科.運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)靜力學(xué)：只描述物體的運(yùn)動(dòng)，不涉及引起運(yùn)動(dòng)和改變運(yùn)動(dòng)的原因；：研究物體的運(yùn)動(dòng)與物體間相互作用的內(nèi)在聯(lián)系；:研究物體在相互作用下的平衡問(wèn)題.§1.1

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述主要內(nèi)容：1.質(zhì)點(diǎn)參考系坐標(biāo)系2.位置矢量與運(yùn)動(dòng)方程3.位移與路程4.速度5.加速度第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1.1.1質(zhì)點(diǎn)參考系坐標(biāo)系在所研究的問(wèn)題中，可忽略形狀和大小的物體xyzOP參照物參考系：參照物+坐標(biāo)系(1)運(yùn)動(dòng)學(xué)——參考系可任選。(2)參考物選定后，坐標(biāo)系可任選。運(yùn)動(dòng)形式相同，數(shù)學(xué)表述不同。(3)常用坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系（x,y,z

）球坐標(biāo)系（r,θ,

）柱坐標(biāo)系（,,z）

自然坐標(biāo)系

(s)質(zhì)點(diǎn)：有質(zhì)量而無(wú)形狀和大小。理想模型：突出了物體的質(zhì)量和位置。意義：簡(jiǎn)化問(wèn)題、研究一般問(wèn)題的基礎(chǔ)§1.1

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述（地球、分子)質(zhì)點(diǎn)某時(shí)刻位置P1.1.2確定質(zhì)點(diǎn)位置的常用方法與運(yùn)動(dòng)方程1.直角坐標(biāo)法2.位置矢量法由位置矢量表示。位矢的大小為：參考物P(x,y,z)位置矢量的直角坐標(biāo)表示：位矢的方向：意義：...??3.自然坐標(biāo)法已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，用自然坐標(biāo)法。4.運(yùn)動(dòng)方程直角坐標(biāo)形式自然坐標(biāo)形式已知運(yùn)動(dòng)方程，可求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡、速度和加速度意義:自然坐標(biāo)：位置矢量形式運(yùn)動(dòng)方程構(gòu)成了對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的完備描述.5.軌跡方程從運(yùn)動(dòng)方程中消去參數(shù)t

——

得運(yùn)動(dòng)軌跡方程。(描述質(zhì)點(diǎn)位置的)坐標(biāo)隨時(shí)間變化的關(guān)系.§1.1

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述確定質(zhì)點(diǎn)位置的常用方法直角坐標(biāo)形式位置矢量形式自然坐標(biāo)形式運(yùn)動(dòng)方程直角坐標(biāo)形式自然坐標(biāo)形式位置矢量形式運(yùn)動(dòng)方程構(gòu)成了對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的完備描述.一質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為r，角速度為。建立：直角坐標(biāo)系OXY

，t=0:質(zhì)點(diǎn)位于O

點(diǎn)t時(shí)刻:質(zhì)點(diǎn)位于P（x,y）例解求用直角坐標(biāo)、位矢、自然坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程。+直角坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程為用位矢表示用自然坐標(biāo)表示求解hx坐標(biāo)表示為例如圖所示，以恒定速率v

收繩，繩跨一定滑輪拉湖面上的船，已知繩初始長(zhǎng)度l0，岸高

h取坐標(biāo)系如圖依題意有O船的運(yùn)動(dòng)方程總結(jié)：確定運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的步驟：（1）建立（參考系）坐標(biāo)系（2）明確起始條件（3）找出質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。1.1.3位移與路程

1.位移在直角坐標(biāo)系中：注意:1.位移與坐標(biāo)的選取無(wú)關(guān)，位置矢量與坐標(biāo)的選取有關(guān)。(描述質(zhì)點(diǎn)位置變化的物理量)OO2.與的區(qū)別.的意義：所以即當(dāng)Δt→0

時(shí)

即

2.路程定義:當(dāng)Δt很小時(shí)近似相等，即質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)軌跡所經(jīng)過(guò)的實(shí)際路徑的長(zhǎng)度。路程與位移的比較:(1)路程是標(biāo)量，位移是矢量。(2)位移的大小一般不等于路程。1.1.4速度1.平均速度大?。悍较颍旱姆较?。2.瞬時(shí)速度軌跡的切線(xiàn)方向。（描述物體運(yùn)動(dòng)快慢及運(yùn)動(dòng)方向的物理量）方向：速度等于位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。（回顧）平均速率瞬時(shí)速率討論：比較瞬時(shí)速度與瞬時(shí)速率速度的大小：(瞬時(shí)速度的大小)大?。涸谥苯亲鴺?biāo)系中根據(jù)速度和速率的定義注意意義？O建立坐標(biāo)系，則

路程速度增量

質(zhì)點(diǎn)作半徑為R，速率為v

的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。試寫(xiě)出由A點(diǎn)到B點(diǎn)下列各物理量：位移、路程s、速度變化、速度變化的大小

、速率的變化。例解位移

速度增量的大小

速率的增量

運(yùn)動(dòng)方程直角坐標(biāo)形式自然坐標(biāo)形式位置矢量形式位移速度§1.1

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述1.1.5加速度（反映速度變化快慢的物理量）1.平均加速度2.瞬時(shí)加速度討論ABO(1)加速度反映速度（矢量）的變化情況。(2)加速度的方向總是指向軌跡曲線(xiàn)凹的一面。ABO討論:速度大小無(wú)變化，速度方向無(wú)變化時(shí)的情況.結(jié)論：速度大小的變化和方向的變化討論直角坐標(biāo)系：大小：總結(jié)：AO§1.2

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本問(wèn)題主要內(nèi)容：1.運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類(lèi)問(wèn)題2.運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題1.第一類(lèi)問(wèn)題

已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位置，速度和加速度。只要知道運(yùn)動(dòng)方程，就可以確定質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位置、

速度和加速度?！⒎謫?wèn)題§1.2

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本問(wèn)題求解hx例如圖所示，以恒定速率v

收繩，繩跨一定滑輪拉湖面上的船，已知繩初始長(zhǎng)度l0，岸高h(yuǎn)取坐標(biāo)系如圖Ot時(shí)刻船的速度和加速度。速度加速度討論：.......已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：式中a,b均為正常數(shù)。本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類(lèi)問(wèn)題:例證證明質(zhì)點(diǎn)的加速度恒指向橢圓中心。求加速度矢量與位矢方向相反，加速度恒指向橢圓中心。質(zhì)點(diǎn)所受合力？討論：什么情況小球做圓周運(yùn)動(dòng)？什么情況小球做橢圓運(yùn)動(dòng)？水平光滑桌面水平光滑桌面2.第二類(lèi)問(wèn)題已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度或加速度，及初始條件（即t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置

和速度）。——積分問(wèn)題求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。解已知求和運(yùn)動(dòng)方程。例,t=0時(shí)代入初始條件代入初始條件討論：拋物運(yùn)動(dòng)？一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知其加速度初始條件為x0=0,v0=0。例求質(zhì)點(diǎn)在x位置時(shí)的速度。解x關(guān)于t的微分方程，作恒等變換分離變量?jī)蛇叿e分質(zhì)點(diǎn)速度討論：彈簧諧振子？解

選向下為x軸正向（1）分離變量并兩邊積分一石子從空中由靜止下落。已知，例

石子的速度和運(yùn)動(dòng)方程。求式中g(shù)為重力加速度，B為大于零的常量。（2）由求運(yùn)動(dòng)方程(設(shè)t=0

時(shí)，x=0)討論：石子下落速度隨時(shí)間增長(zhǎng)按指數(shù)規(guī)律變化；

t→時(shí),v→g/B(常量)，最大速度（收尾速度）。

運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題解法總結(jié)（以一維運(yùn)動(dòng)為例）

初始條件：1.加速度是時(shí)間函數(shù)若a＝常量

初始條件：2.加速度是坐標(biāo)函數(shù)若a＝常量

初始條件：3.加速度是速度函數(shù)①求速度與時(shí)間關(guān)系②求位置與速度的關(guān)系§1.3

拋體運(yùn)動(dòng)（自學(xué)）主要內(nèi)容：1.無(wú)阻力拋體運(yùn)動(dòng)2.阻力與速度(低速)成正比的拋體運(yùn)動(dòng)小球從距地面高h(yuǎn)處以速度v0沿水平方向拋出，因阻力原因，小球除具重力加速度外，還具有一與速度方向相反的加速度

，

為小球的速度，k為常量。以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，建立如圖所示的坐標(biāo)系。解例求小球的運(yùn)動(dòng)方程初始條件為：t=0時(shí),x=0,y=0,υ0x=υ0,υ0y=0t時(shí)刻的加速度為x分離變量，并積分再積分，可得小球運(yùn)動(dòng)方程討論：（1）收尾速度？（2）若k=0,情況怎樣？§1.4

自然坐標(biāo)及自然坐標(biāo)中的速度、加速度主要內(nèi)容：1.自然坐標(biāo)2.勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中的加速度3.變速率圓周運(yùn)動(dòng)中的加速度4.圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述5.一般曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的加速度6.自然坐標(biāo)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題自然坐標(biāo)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程1.4.1自然坐標(biāo)(平面運(yùn)動(dòng)):切向單位矢量,指向自然坐標(biāo)正向。:法向單位矢量,指向軌跡曲線(xiàn)凹側(cè)。自然坐標(biāo)中的速度：不是恒矢量?！?.4

自然坐標(biāo)及自然坐標(biāo)中的速度、加速度注意：（1）自然坐標(biāo)

s不是路程；（2）說(shuō)明

v

的物理意義自然坐標(biāo)中質(zhì)點(diǎn)的加速度：1.4.2勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中的加速度的大?。嘿|(zhì)點(diǎn)作半徑為R,速率為v的勻速圓周運(yùn)動(dòng)由幾何關(guān)系的方向:當(dāng)Δt→0時(shí)，Δ→0,所以質(zhì)點(diǎn)作半徑為R勻速圓周運(yùn)動(dòng)由幾何關(guān)系當(dāng)Δt→0時(shí)，Δ→0,的方向:所以討論：若情況怎樣？第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

確定質(zhì)點(diǎn)位置的常用方法1.直角坐標(biāo)法2.位矢法3.自然坐標(biāo)法

運(yùn)動(dòng)方程

位移

速度加速度用直角坐標(biāo)表示速度和加速度用自然坐標(biāo)表示平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的速度和加速度xyzOP?1.4.3變速圓周運(yùn)動(dòng)中的加速度大小方向?yàn)榧铀俣扰cet之間的夾角切向加速度引起速度大小的變化(什么情況加速？減速？)結(jié)論：自然坐標(biāo)中，變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度討論OP法向加速度引起速度方向的變化大小方向1.4.4一般平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度

思考題如果質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中切向加速度和法向加速度始終為下列各種情況，質(zhì)點(diǎn)作何種運(yùn)動(dòng)？

1.

，；2.

，；3.

，；4.

，。一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知其加速度初始條件為x0=0,v0=0。例求質(zhì)點(diǎn)在x位置時(shí)的速度。解x關(guān)于t的微分方程，作恒等變換分離變量?jī)蛇叿e分質(zhì)點(diǎn)速度和討論：彈簧諧振子？大小方向1.4.4一般平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度1.4.5圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述極坐標(biāo)、角位置與角位移角坐標(biāo)對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)：（運(yùn)動(dòng)方程)極徑r（運(yùn)動(dòng)方程)角位移(逆時(shí)針

為正)角速度（描述質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量）描述質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量角加速度（描述轉(zhuǎn)動(dòng)角速度變化快慢的物理量）加速（轉(zhuǎn)動(dòng)）？勻速？減速？1.4.5圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述極坐標(biāo)、角位置與角位移角坐標(biāo)對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)：（運(yùn)動(dòng)方程)極徑r（運(yùn)動(dòng)方程)角位移(逆時(shí)針

為正)角速度（描述質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量）描述質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量角加速度（描述轉(zhuǎn)動(dòng)角速度變化快慢的物理量）加速（轉(zhuǎn)動(dòng)）？勻速？減速？角量與線(xiàn)量的關(guān)系r+s兩類(lèi)問(wèn)題（圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述）1.第一類(lèi)問(wèn)題已知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，求2.第二類(lèi)問(wèn)題已知角加速度和初始條件求β為常量，則勻變速圓周運(yùn)動(dòng)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

法向加速度切線(xiàn)加速度角加速度加速度角速度速度

角位移位移

角位置位置

線(xiàn)量和角量的關(guān)系

角量線(xiàn)量

角量與線(xiàn)量的比較1.4.6自然坐標(biāo)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題第一類(lèi)問(wèn)題（微分問(wèn)題）：已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程

s=s(t)

，求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度。第二類(lèi)問(wèn)題（積分問(wèn)題）

：已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速率v或切向加速度at，求曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程s=s(t)

。自然坐標(biāo)中運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題（已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡）：求汽車(chē)在t=1s時(shí)的加速度。汽車(chē)在半徑為200m的水平圓弧形彎道上行駛，發(fā)現(xiàn)路障后司機(jī)剎車(chē)。若將開(kāi)始剎車(chē)的時(shí)刻作為記時(shí)起點(diǎn)，則剎車(chē)階段汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)方程為。例本題為自然坐標(biāo)中第一類(lèi)問(wèn)題。解切向加速度法向加速度總加速度當(dāng)t＝1s時(shí)t＝1s時(shí)，加速度的大小加速度與速度的夾角為一質(zhì)點(diǎn)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，其速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為，式中v0、b均為正的常量。t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于自然坐標(biāo)的原點(diǎn)。例求(1)自然坐標(biāo)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；(2)當(dāng)加速度的大小為b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)了幾圈？(1)本題為自然坐標(biāo)中的第二類(lèi)問(wèn)題，根據(jù)速度的定義解分離變量

兩邊積分

由解得這時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為(2)當(dāng)加速度的大小為b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)了幾圈？說(shuō)明：運(yùn)動(dòng)方向？如圖所示，炮彈的出口速率為v0，發(fā)射角為θ，不計(jì)阻力。例(1)任一時(shí)刻t的切向加速度at及法向加速度an

；

(2)軌跡最高點(diǎn)的曲率半徑

。

炮彈作拋體運(yùn)動(dòng)，建立Oxy坐標(biāo)解(1)為恒矢量t時(shí)刻炮彈速度的分量

求gqv0ryxo任一時(shí)刻t的切向加速度法向加速度gqv0ryxo(2)軌跡最高點(diǎn)的曲率任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在處的曲率半徑？

討論：gqv0ryxo§1.5

相對(duì)運(yùn)動(dòng)不同參考系中的速度和加速度變換主要內(nèi)容：1.基本參考系與運(yùn)動(dòng)參考系2.伽利略坐標(biāo)變換3.伽利略速度變換1.5.1基本參考系與運(yùn)動(dòng)參考系

基本概念·基本參考系s，運(yùn)動(dòng)參考系s'

(研究對(duì)象)三種運(yùn)動(dòng)

s'

系相對(duì)于s

系的位移：

P點(diǎn)相對(duì)于s'

系的位移：

P點(diǎn)相對(duì)于s系的位移：絕對(duì)、相對(duì)和牽連運(yùn)動(dòng)二個(gè)考照系（兩參考系做相對(duì)平動(dòng)）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)—牽連位移—相對(duì)位移—絕對(duì)位移不同參考系中的位移關(guān)系：§1.5

相對(duì)運(yùn)動(dòng)1.5.2經(jīng)典力學(xué)中的平動(dòng)坐標(biāo)系變換·t

時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)P在兩個(gè)不同參考系中位置矢之間的關(guān)系不同參考系中的位移關(guān)系：不同參考系中的速度關(guān)系對(duì)速度變換作時(shí)間的一階求導(dǎo)，可得加速度變換關(guān)系(伽利略變換公式)一個(gè)帶篷子的卡車(chē)，篷高為h=2m

，當(dāng)它停在馬路邊時(shí)，雨滴可落入車(chē)內(nèi)達(dá)

d=1m

，而當(dāng)它以15km/h

的速率運(yùn)動(dòng)時(shí)，雨滴恰好不能落入車(chē)中。根據(jù)速度變換定理畫(huà)出矢量圖例解雨滴的速度矢量。求升降機(jī)以加速度1.22m/s2

上升，有一螺母自升降機(jī)的天花板松落，天花板與升降機(jī)的底板相距2.74m

。haO'x'Ox取螺母剛松落為計(jì)時(shí)零點(diǎn).

三種加速度為:動(dòng)點(diǎn)為螺母,取二個(gè)坐標(biāo)系如圖例解螺母自天花板落到底板所需的時(shí)間.求船逆流而上，遇一橋時(shí)，箱子掉落水中順?biāo)鳎?小時(shí)后發(fā)覺(jué)，返回追趕，在橋下有5公里處趕上箱子。水流速度（設(shè)船相對(duì)水的速度恒定）。例解求地面參考系5km流水參考系:箱子靜止，船速恒定。船離開(kāi)箱子，回追箱子經(jīng)過(guò)路程相同。——回追箱子所用的時(shí)間也是1小時(shí)。箱子掉入水中后相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)了5公里，所以水流速度飛機(jī)水平飛行，速率為v機(jī)。當(dāng)飛機(jī)在導(dǎo)彈正上方且距離為a時(shí)，導(dǎo)彈發(fā)射，速率為v彈。導(dǎo)彈追上飛機(jī)的時(shí)間例求a解以飛機(jī)為參考系a連線(xiàn)投影相對(duì)于地面，飛機(jī)、導(dǎo)彈在水平方向走過(guò)距離相同相對(duì)于飛機(jī)，導(dǎo)彈在連線(xiàn)方向走過(guò)距離為a以飛機(jī)為參考系a若導(dǎo)彈不具有跟蹤功能，在v恒定的情況下，如何...第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

確定質(zhì)點(diǎn)位置的常用方法1.直角坐標(biāo)法2.位矢法3.自然坐標(biāo)法

運(yùn)動(dòng)方程

位移

速度加速度用直角坐標(biāo)表示速度和加速度用自然坐標(biāo)表示平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)