偏微分方程的數(shù)值離散方法

偏微分方程的數(shù)值離散方法1第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1有限差分法

3.1.1模型方程的差分逼近3.1.2差分格式的構(gòu)造3.1.3差分方程的修正方程3.1.4差分方法的理論基礎(chǔ)3.1.5守恒型差分格式3.1.6偏微分方程的全離散方法2第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.1模型方程的差分逼近3第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.2差分格式的構(gòu)造4第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.3差分方程的修正方程差分方程所精確逼近的微分方程稱為修正方程

對(duì)于時(shí)間發(fā)展方程，利用展開的方程逐步消去帶時(shí)間的高階導(dǎo)數(shù)，只留空間導(dǎo)數(shù)。Warming-Hyett方法：差分方程(2)寫成算子的形式：5第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.3差分方程的修正方程(續(xù))6第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.3差分方程的修正方程(續(xù))7第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.4差分方法的理論基礎(chǔ)相容性，穩(wěn)定性，收斂性等價(jià)性定理Fourier穩(wěn)定性分析8第8頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.4差分方法的理論基礎(chǔ)（續(xù)）Fourier(VonNeumann)穩(wěn)定性分析9第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.4差分方法的理論基礎(chǔ)（續(xù)）Fourier(VonNeumann)穩(wěn)定性分（續(xù)）稱為CFL條件(Courant,Friedrichs,Levy)10第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.5守恒型差分格式流體力學(xué)方程組描述物理量的守恒性；守恒律組：定義11第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.5守恒型差分格式（續(xù)）守恒性質(zhì)：非守恒的差分格式一般沒有對(duì)應(yīng)于原始守恒律的“離散守恒律”。12第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.5守恒型差分格式（續(xù)）守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理：如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且當(dāng)時(shí)間和空間步長趨于零時(shí)，差分解一致有界，幾乎處處收斂于分片連續(xù)可微的函數(shù)，則這個(gè)收斂的函數(shù)就是守恒律的一個(gè)弱解。推論：守恒型差分各式的收斂解能自動(dòng)滿足間斷關(guān)系。

用途:(加上熵條件）可以得到正確的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，MacCormack格式

13第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.6偏微分方程的全離散方法對(duì)差分格式的一般要求：有精度、格式穩(wěn)定、求解效率高特殊要求物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋渦、多介質(zhì)、化學(xué)反應(yīng)等）、有界性(正密度、正溫度、正湍動(dòng)能、正組分濃度等)主要指非定常方程的時(shí)間離散

14第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.6偏微分方程的全離散方法(續(xù)）兩層格式Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack格式Runge-Kutta方法時(shí)空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法多層格式Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三點(diǎn)隱格式15第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.6.1兩層格式Crank-Nicolson格式Predictor-Corrector格式Lax-Wendroff格式MacCormack格式Runge-Kutta方法16第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.6.1兩層格式(cont.）Lax-Wendroff格式一步LW格式17第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.6.1兩層格式(cont.）Lax-Wendroff格式兩步LW格式常系數(shù)Jacobian時(shí)與單步LW等價(jià)。但計(jì)算更簡單，不涉及矩陣相乘。18第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.6.1兩層格式(cont.）MacCormack格式(1969)兩步格式比LW更簡單，不需要計(jì)算函數(shù)在半點(diǎn)上的值。LW兩步格式和MC各式的缺點(diǎn)：定常解的誤差依賴于時(shí)間步長。19第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月MacCormack格式的構(gòu)造20第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.6.2三層格式Leap-Frog格式Adams-Bashforth格式21第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第二課后閱讀提示傅德薰《計(jì)算流體力學(xué)》，3.1–3.3水鴻壽《一維流體力學(xué)數(shù)值方法》3.1《ComputationalMethodsforFluidDynamics》,FerzigerandPeric,SpringerChap.622第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)21.用Fourier法分析3.1.6.1節(jié)中Crank-Nicolson格式的穩(wěn)定性。2.分析前面3.1.6節(jié)中MacCormack格式是幾階精度。23第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2有限體積法出發(fā)方程為積分型守恒方程（直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)）以控制體為離散量計(jì)算體積分和面積分需要適當(dāng)?shù)牟逯倒胶头e分公式(quadratureformula)適用于任意形狀的網(wǎng)格，復(fù)雜幾何形狀缺點(diǎn)：難以構(gòu)造大于二階以上的格式24第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.1定常守恒型方程和控制體25第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2面積分的逼近面積分用積分點(diǎn)的值表示(quadrature)積分點(diǎn)的值用CV的值表示(interpolation)對(duì)于Simpson公式,對(duì)積分點(diǎn)的插值需要四階精度26第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.4體積分的逼近當(dāng)被積函數(shù)為某種型函數(shù)時(shí)，可以得到精確的積分，逼近精度取決于型函數(shù)的精度。27第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.4體積分的逼近四階精度：2D直角坐標(biāo)網(wǎng)格最后一式可以四階精度逼近3D的面積分28第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.5插值和微分積分點(diǎn)的函數(shù)值和其法向梯度1stUDS:取上風(fēng)點(diǎn)的值29第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月插值2ndorder:向積分點(diǎn)線性插值等價(jià)于中心差分(CDS)30第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月插值當(dāng)積分點(diǎn)的函數(shù)是線性插值時(shí)Secondorder31第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月插值QUICK(quadraticupwindinterpolationforconvectivekinematics)插值三階精度，但積分（差分）往往只有二階精度。32第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月插值高精度：N階精度的quadrture需要N-1階多項(xiàng)式插值公式。界面上導(dǎo)數(shù)可以用插值公式的微分求出。33第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.5有限體積法的邊界條件用邊界條件替代面積分入口：通常給定對(duì)流通量(mass,momentum,energy,etc.)壁面和對(duì)稱面：通量為零邊界上函數(shù)值給定：和內(nèi)部CV的值共同構(gòu)建邊界上的導(dǎo)數(shù)34第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月FV例子35第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.6守恒律的有限體積方法

Godunov格式36第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月37第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.6.1Godunov方法的思想38第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月一階迎風(fēng)格式(CIR格式)39第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月用Godunov思想

說明CIR格式=Godunov格式40第40頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月41第41頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月Riemann解圖示42第42頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月43第43頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.6.11DEuler方程組的Godunov格式Godunov格式是基于積分形式的方程組,間斷關(guān)系自動(dòng)滿足，不需要另外考慮間斷線上的間斷關(guān)系44第44頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月移動(dòng)網(wǎng)格上的積分回路45第45頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月移動(dòng)網(wǎng)格上的Godunov格式46第46頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月固定網(wǎng)格上的Godunov格式47第47頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月Lag