2021年高考真題匯編-理科數學（解析版）：直線與圓

2021高考真題分類匯編：直線與圓

1.12012高考真題重慶理3】任意的實數k,直線y=與圓/+/=2的位置關系一定是

(1)相離B.相切C.相交但直線不過圓心.D.相交且直線過圓心

【答案】C

【解析】直線y=H+l恒過定點(0,1),定點到圓心的距離4=1<J5,即定點在圓內部，所以直線

y=Lx+l與圓相交但直線不過圓心，選C.

2.1201.2高考真題浙江理3】設afR,則“a=l”是"直線k：ax+2y=0與直線L：x+(a+l)y+4=0平行

的

A充分不必要條件B必要不充分條件

C充分必要條件D既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當a=l時，直線4：x+2y=0,直線4：x+2y+4=0,則/"兒；若則有

a(a+l)-2x1=0,即片+?！?=0,解之得，。=-2或a=l,所以不能得到。=1。故選A.

4.【2012高考真題陜西理4】已知圓C:x2+y2-4x=0,/過點P(3,0)的直線，則()

A./與。相交B./與。相切，C./與。相離D.以上三個選項均有可能

【答案】A.

【解析】圓的方程可化為(x—2)2+y2=4,易知圓心為(2,0)半徑為2,圓心到點.P的距離為1,所以

點P在圓內.所以直線與圓相交.故選A.

5.[2012高考真題天津理8】設〃eR,若直線(m+l)x+(n+l)y-2=0與圓(8-1)2+(,-1)2=1

相切，則m+n的取值范圍是

(A)[1-73,1+73](B)(^O,1-V3]U[1+V3,4<?)

(C)[2-2A/2^,2+2y/2](D)(-co,2-2'\/2]LJ[2+2^/2,+co)

【答案】D

【解析】圓心為(1,1),半徑為1.直線與圓相切，所以圓心到直線的距離滿足夕+D+5+DW=1,

J(m++(〃+1)2

即，〃+〃+1=加〃設w+〃=z,即Lz^-z-lZO,Wf#z<2-2V2,>2+2V2,

24

6.12012高考江蘇121(5分)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為f/一8x+15=0,若直線y=kx-2

上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓。有公共點，則攵的最大值是▲.

4

【答案】-O

3

【考點】圓與圓的位置關系，點到直線的距離

【解析】:?圓C的方程可化為：(x—4)2+>2=1”.?.圓c的圓心為(4,0),半徑為1。

公共點；

...存在使得ACW1+1成立，即ACminK2。

的最大值是上4。

3

7.12012高考真題全國卷理21】(本小題滿分12分)(注意：在試卷上作答無效)

已知拋物線C：y=(x+l)2與圓M：(x-1)2+(y—g產=r2(r>0)有一個公共點，且在A處兩曲線的切線

為同一直線I.

(I)求r；

(II)設m、n是異于I且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點為D,求D至ljI的距離.

【答案】

<I)設由.%.(,%+<i,r-(v+1)：求導得y-=2(11).

收/的斜率&=2(0+1)?

當％=1時.一合S8.fi；,所以。工.

,(x?+?：-1,ZV

圓心為M4的斜率*=------'

由/J.M.4知**=-1.

(x0+D：-；

BP2(x,+1)----------

x0-l

解得x0=0.故.4(0.13

r=|A￡4|=~(

Hn石……6分

即r="p

((I)設+為C上一點,則在該點處的切線方作為

y-(r+1)2=2(/?l)(x-/)?

即y=2?+1*一-+1?

若該直線與勖”相切,則圓心“到該切線的距離為*,即

，

J[2(f+l)l+(-l)22

化簡得r2(rs-4r-6)=0,

解得%=0，r(?2+J10.z2=2-7io-......9分

拋物線C在點d，億+1)2)(?=0,1.2)處的以線分別為/，*”,其方程分別為

y=2x+l.①

y=2(f,+l)x-^+l.②

y=2(t}+l)x-t^+l.③

②-③得x=^=2?

將x=2代入②得y=-l,故區(qū)2.-1).

所以。到/的距離

|2x2-(-1)+1|_6>/5......12分

8.[2012高考真題湖南理21]（本小題滿分13分）

在直角坐標系xOy中，曲線C的點均在Cz：（x-5）?+/=9外，且對3上任意一點M,M到直線x=-2的

距離等于該點與圓G上點的距離的最小值.

（I）求曲線&的方程；

（II）設P（x0,y。）（y°W±3）為圓C2外一點，過P作圓G的兩條切線，分別與曲線G相交于點A,B和

C,D.證明：當P在直線x=-4上運動時，四點A,B,C,D的縱坐標之積一為定值.

【答案】（I）解法」：設M的坐標為（x,y）,由已知得

|x+2|=J(x-5>+y--3,

易知圓上的點位于直線x=-2的右側.于是x+2>0,所以

A/CX-5）2+y2=x+5.

化簡得曲線C,的方程為丁=20x.

解法2：由題設知，曲線G上任意一點M到圓心G（5,0）的距離等于它到直線％=-5的距離，因此,

曲線G是以（5,0）為焦點，直線％=-5為準線的拋物線，故其方程為V=20x.

（II）當點P在直線x=T上運動時，P的坐標為（一4,%），又％#±3,則過P且與圓

相切得?直線的斜率k存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為

y-y0=k(x+4),EPkx-y+y0+4k=0.于是

|5%+為+4H

&+i

整理得

設過P所作的兩條切線PAPC的斜率分別為配內，則人,％2是方程①的兩個實根，故

^.+^2=--=-—.②

1'724

由［依-??；％+秋=0,得匕y2_2Oy+2o(%+做)=0.③

y=20%,

設四點A,B,C,D的縱坐標分別為x，%，%，％，則是方程③的兩個實根，所以

%必=嗎必.④

ki

同理可得

于是由②，④，⑤三式得

vvVV_400(%+4K)(%+%)

yy2y3y4-~

印2

400M+16伏］