本科畢業(yè)論文-關(guān)于函數(shù)極限的多種求法

PAGEPAGEPAGEII目錄61491一元函數(shù)極限的求法 1233741.1一元函數(shù)極限的定義 1315281.2一元函數(shù)極限求解方法 2266641.2.1利用定義求極限 2241801.2.2利用Cauchy求極限 268751.2.3利用單調(diào)有界原理求極限 3169461.2.4利用數(shù)列與子列、函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系求極限 3182311.2.5利用極限的運(yùn)算法則求極限 4217531.2.6利用等價(jià)代換求極限 4275071.2.7利用初等變形求極限 5261641.2.8利用夾逼性準(zhǔn)則求極限 57891.2.9利用兩個(gè)重要極限求極限 6281471.2.10利用變量替換求極限 7281691.2.12利用洛必達(dá)法則求極限 8235871.2.13利用Toylor公式求極限 9300671.2.14利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 10129581.2.15利用微分中值定理求極限 1110191.2.16利用積分定義求極限 12186181.2.17利用積分中值定理求極限 1355491.2.18利用級(jí)數(shù)求極限 13195111.2.19利用黎曼引理求極限 14173112二元函數(shù)極限的求法 14293762.1二元函數(shù)極限的定義 14127962.2二元函數(shù)極限的若干求法 16103362.2.1利用定義求極限 1669432.2.2利用多元函數(shù)的洛必達(dá)法則求極限 16108932.2.3利用連續(xù)性求極限 17186692.2.4利用無(wú)窮小量與有界變量的乘積仍是無(wú)窮小量求極限 18155572.2.5通過(guò)對(duì)分式的分子或分母有理化求極限 1855122.2.6利用極限的夾逼性準(zhǔn)則求極限 18191472.2.7利用等價(jià)無(wú)窮小變換求極限 1959052.2.8利用變量替換,將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限求極限 19117762.2.9利用取對(duì)數(shù)法求極限 19302372.2.10用三角變換法求極限 20139462.2.11利用一元函數(shù)中的極限推廣求極限 20115102.2.12利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限 20239942.2.13利用()法求極限 217665參考文獻(xiàn) 22PAGEPAGE23關(guān)于函數(shù)極限的多種方法作者楊松指導(dǎo)教師馬玲副教授（湛江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湛江524048）摘要本文較為全面地總結(jié)了一元函數(shù)，二元函數(shù)極限的若干求法，并通過(guò)例題加以說(shuō)明.關(guān)鍵詞極限；方法AbouttheNumberofMethodsSolutionFunctionalLimitYangsong(MathematicsandComputationalScienceSchool,ZhanjiangZhanjiang,524048China)AbstractThepapermorecomprehensivelysummarizesthenumberofmethodsofsolutionoffunctionallimitaboutthefunctionsofonevariableandbinaryfunctionlimit,andexamplestoillustrate.Keywordslimit;methods1一元函數(shù)極限的求法1.1一元函數(shù)極限的定義[1]定義1設(shè)為定義在上的函數(shù),為定數(shù),若對(duì)任給的,存在正數(shù)(）,使得當(dāng)時(shí)有則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限,記作或定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義,為定數(shù).若對(duì)任給的,存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)，有,則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限,記作1.2一元函數(shù)極限求解方法1.2.1利用定義求極限例1[2]用極限的定義證明證，要（此式解出n有困難），記，此式可改寫成，得（當(dāng)n>1時(shí)）至此要.只要,即，故令.則n>N時(shí)有.注意用極限的定義時(shí),只需要證明存在,故求解的關(guān)鍵在于不等式的建立.在求解的過(guò)程中往往采用放大、縮小等技巧,但不能把含有的因子移到不等式的另一邊再放大,而是應(yīng)該直接對(duì)要證其極限的式子一步一步放大,有時(shí)還需加入一些限制條件,限制條件必須和所求的(或)一致,最后結(jié)合在一起考慮.1.2.2利用Cauchy求極限例2[2]設(shè)，試證收斂.證因?yàn)?=，，（只要（即）），故令，則n>N時(shí)，有，收斂獲證.注意在事先不知道極限的猜測(cè)值時(shí)可選擇Cauchy準(zhǔn)則.1.2.3利用單調(diào)有界原理求極限定理1[1]在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.例3[2]設(shè)，證明存在.證利用不等式，得（有下界）.=，即.單調(diào)下降，有下界.故收斂.注意利用單調(diào)準(zhǔn)則證明極限存在,主要方面的性質(zhì):單調(diào)性和有界性.解題的難點(diǎn)在于判斷單調(diào)性,一般通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法、減法、除法比較前后項(xiàng)．1.2.4利用數(shù)列與子列、函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系求極限[2]例4證明從任一數(shù)列中必可選出一個(gè)（不一定嚴(yán)格）單調(diào)的子數(shù)列.證（我們來(lái)證明：如果不存在遞增子序列，則必存在嚴(yán)格遞減的子序列）假若中存在（不一定嚴(yán)格的）遞增子序列，則問題已被解決.若中無(wú)遞增子序列，那么，使得，恒有.同樣在中也無(wú)遞增子序列.于是又，使得，恒有.如此無(wú)限進(jìn)行下去，我們便可以找到一嚴(yán)格遞增的子序列.1.2.5利用極限的運(yùn)算法則求極限定理2已知,都存在,極限值分別為,,則(1)；(2)；(3)（此時(shí)需成立).例5求.解:原式.注意1對(duì)于和、差、積、商形式的函數(shù)求極限,可以采用極限運(yùn)算法則,使用時(shí)需要先對(duì)函數(shù)做某些恒等變換或化簡(jiǎn),變換的方法通常有分式的通分、約分、分解因式、分子分母有理化、三角函數(shù)的恒等變化、拆項(xiàng)消去法、比較最高次冪法等.注意2運(yùn)用極限法則時(shí),必須注意只有各項(xiàng)極限都存在(對(duì)商,還要分母極限不為零)時(shí)才能適用.1.2.6利用等價(jià)代換求極限例6求解因?yàn)椋试?.要點(diǎn)：在求乘除式極限里，其因子可用等價(jià)因子代替，極限不變.最常用的等價(jià)關(guān)系如：當(dāng)時(shí)，（其中a>0,b0）.還有.1.2.7利用初等變形求極限例7求,設(shè).解乘以.(當(dāng)時(shí))（）.要點(diǎn)：用初等數(shù)學(xué)的方法將變形，然后求極限.1.2.8利用夾逼性準(zhǔn)則求極限定理3[1]設(shè),且在某一空心鄰域內(nèi)有,則.例8求.解:當(dāng)時(shí),有,從而,由夾逼準(zhǔn)則得,所以.注意1夾逼準(zhǔn)則多適用于所考慮的函數(shù)比較容易適度放大或縮小,而且放大和縮小的函數(shù)是容易求得相同的極限.基本思想是把要求解的極限轉(zhuǎn)化為求放大或縮小的函數(shù)或數(shù)列的極限.注意2利用夾逼準(zhǔn)則求函數(shù)極限的關(guān)鍵：（1）構(gòu)造函數(shù),,使；（2）,由此可得.1.2.9利用兩個(gè)重要極限求極限兩個(gè)重要極限:（1)；(2).根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則,可將以上兩個(gè)公式針對(duì)遞推數(shù)列,必須驗(yàn)證數(shù)列兩個(gè)進(jìn)行推廣：(1)()；(2). 例9.解:1.2.10利用變量替換求極限要點(diǎn)：為了將未知的極限化簡(jiǎn)，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來(lái)的極限過(guò)程，轉(zhuǎn)化為新的極限過(guò)程.例10若，，試證解令，，則時(shí)，.于是==.（1）當(dāng)時(shí)第二、三項(xiàng)趨向零.現(xiàn)證第四項(xiàng)極限亦為零.事實(shí)上，因(當(dāng)時(shí))，故有界，即，使得（），故從而（1）式以為極限.1.2.11利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限（適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限）利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限主要應(yīng)用下列結(jié)果：(1)若f(x)在處連續(xù)，則f(x)=f()；(2)若（x）=A，y=f(u)在u=A處連續(xù)則f[(x)]=f(A);(3)若f(x)=A>0,g(x)=B,則=例11：解.由于初等函數(shù)在有定義的地方皆連續(xù)，原極限.1.2.12利用洛必達(dá)法則求極限洛比達(dá)法則是求“”型和“”未定式極限的有效方法，但是非未定極限卻不能求。（0-，-，，，型未定式可以轉(zhuǎn)化為“”型和“”未定式）定理4：若（i）f(x)=0，g（x）=0（ii）f與g在的某空心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且g（x）≠0（iii）=A（A可為實(shí)數(shù)，也可為±或），則==A此定理是對(duì)“”型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其他類型，均有類似的法則。例12[2]求極限解.故原式=.注意(1)每次在使用法則之前，務(wù)必考察它是否屬于七種不定型，否則不能用;(2)一旦用法則算不出結(jié)果，不等于極限不存在.例如，就是如此.這是因?yàn)榉▌t只是充分條件，不是必要條件.(3)型的法則使用時(shí)，只需檢驗(yàn)分母趨向無(wú)窮大即可，分子不趨向無(wú)窮大也沒關(guān)系.1.2.13利用Toylor公式求極限例13求極限解原式=1.2.14利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限定義3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,若極限存在,則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),記作.例14設(shè)存在,求.解.例15求.解這是型極限,先轉(zhuǎn)化成,其指數(shù)是型極限,由數(shù)列極限于函數(shù)極限的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的定義知,因此由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得原式.注意對(duì)于一般抽象函數(shù)求極限時(shí),如果已知它的導(dǎo)數(shù)是存在的,則經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限.1.2.15利用微分中值定理求極限用拉格朗日中值定理求極限（或柯西中值定理）定理5[1](拉格朗日中值定理)若函數(shù)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間上可導(dǎo),則在上至少存在一點(diǎn),使得.例16求,其中.解由題意,可對(duì)和分別應(yīng)用拉格朗日中值定理,則原式===（其中例17計(jì)算.解設(shè),由于在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).于是,由微分中值定理知,當(dāng),所以.用泰勒展式求極限（或麥克勞林展式)例18計(jì)算.解因?yàn)?,所以.注意1常用展式：,等.注意2在計(jì)算過(guò)程中,要注意高階無(wú)窮小的運(yùn)算及處理.1.2.16利用積分定義求極限定義4[1]設(shè)在上的一個(gè)函數(shù),是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對(duì)任給的正數(shù),總存在某一正數(shù),使得對(duì)的任何分割,以及其上任意選取的點(diǎn)集,只要,就有,則稱函數(shù)在區(qū)間上可積,數(shù)稱為在上的定積分,記作.若用極限符號(hào)表達(dá)定積分,可寫作.例19求極限.解因?yàn)椋瑫r(shí)，左端極限=時(shí)，右端極限=故原式=（兩邊夾法則）.注意由定積分的定義我們知道,定積分是某一和式的極限,因此,如果關(guān)于的某一和式可以表示成某一積分的形式時(shí),則可利用定積分,求出這個(gè)和式的極限,顯然,若要利用定積分求極限,其關(guān)鍵在于將和式化成某一函數(shù)的積分形式.1.2.17利用積分中值定理求極限定理6[1]設(shè)與都在上連續(xù),且在上不變號(hào),則至少存在一點(diǎn),使得.例21求極限.解取,,,則在上的最小值,最大值,由積分中值定理知.因?yàn)?所以.1.2.18利用級(jí)數(shù)求極限利用級(jí)數(shù)展開式求極限例22解利用冪級(jí)數(shù)的展開式,可得原式=.注意從已知的展開式出發(fā),通過(guò)變量代換、四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積定義法等直接或間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限定理7若級(jí)數(shù)收斂,則它的一般項(xiàng)趨于零.例23求.解研究級(jí)數(shù),令,用比值法:所以級(jí)數(shù)收斂,從而.注意對(duì)某些極限可將函數(shù)作為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),只需證明此級(jí)數(shù)收斂,便有.1.2.19利用黎曼引理求極限定理8[1]若在上可積,是以為周期的函數(shù),且在上可積,則有.例24計(jì)算.解因?yàn)榈闹芷跒?2二元函數(shù)極限的求法2.1二元函數(shù)極限的定義定義5[1]設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，為的一個(gè)聚點(diǎn)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對(duì)任給正數(shù)，總存在某正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有，則稱在上當(dāng)時(shí)，以為極限，記作.在對(duì)于不致產(chǎn)生誤解時(shí)，也可簡(jiǎn)單記作.當(dāng)，分別用坐標(biāo)，表示時(shí)，式也常寫作.二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別．在極限運(yùn)算法則上,它們是一致的,但隨著變量個(gè)數(shù)的增加,二元函數(shù)極限變得更加復(fù)雜,它實(shí)質(zhì)上是包含任意方向的逼近過(guò)程,是一個(gè)較為復(fù)雜的極限,對(duì)于二元函數(shù)的二重極限,其重點(diǎn)是研究極限的存在性以及具體的求解方法．其中,求解方法非常多樣,靈活性和隨機(jī)性很強(qiáng),我在這里總結(jié)了幾種具有代表性的求解方法.引例求原解法因?yàn)閷?duì),取,當(dāng),,且()(0,0)時(shí),有<,由極限的定義得.新解法：令當(dāng)（)(0,0)有,因?yàn)?所以兩者相對(duì)比,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn),此例用極坐標(biāo)代換求極限比用定義求解簡(jiǎn)單的多,那么,選擇一個(gè)正確的解題方法就顯得尤為重要了．下面,我會(huì)對(duì)各類方法進(jìn)行探索.2.2二元函數(shù)極限的若干求法2.2.1利用定義求極限例26討論，在的極限.解令以為此路徑為特殊路徑，故不能說(shuō)明.再利用定義判定：，取，當(dāng)時(shí)，有,由于,即有：，故.2.2.2利用多元函數(shù)的洛必達(dá)法則求極限定理9[3]設(shè)函數(shù)f與g在點(diǎn)的某空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，并且滿足條件：（1）（2）函數(shù)f和g在內(nèi)可微，并且（3）則注意1上述定理對(duì)于同樣成立.注意2對(duì)非有限點(diǎn)（中至少有一個(gè)為的極限問題，只要采用適當(dāng)變了替換就可以轉(zhuǎn)化為有限點(diǎn)的情形例25求解2.2.3利用連續(xù)性求極限例27求解原式.例28.解原式.例29求.解原式.2.2.4利用無(wú)窮小量與有界變量的乘積仍是無(wú)窮小量求極限例30求.解原式=例31求.解原式.因?yàn)槭怯薪缱兞?，又為無(wú)窮小量，所以原式.2.2.5通過(guò)對(duì)分式的分子或分母有理化求極限例32求.解原式..（這里是無(wú)窮小量，為有界變量）2.2.6利用極限的夾逼性準(zhǔn)則求極限例33求.解由，而，故可知2.2.7利用等價(jià)無(wú)窮小變換求極限例34求.解當(dāng)時(shí)，，原式=.2.2.8利用變量替換,將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限求極限例35求.解原式=當(dāng)時(shí)，令故原式.2.2.9利用取對(duì)數(shù)法求極限例36求解令，而令那么，故原式2.2.10用三角變換法求極限例37求解令，則可得于是，于是為：，而，，所以，原式為：.2.2.11利用一元函數(shù)中的極限推廣求極限例38求解因?yàn)?，所?.2.12利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限與一元函數(shù)類似,在求極限的過(guò)程中,以零為極限的量稱為無(wú)窮小量,有關(guān)無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到多元函數(shù)中例39求解以為，所以，原式2.2.13利用()法求極限例40（x，y不同時(shí)為0）解因?yàn)楣?，可取，則當(dāng)，時(shí)，有所以，.參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.[2]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法（第二版）[M].北京：高等教育出社2006,4.[3]趙志芳，馬艷園.多元函數(shù)極限的求法[J].宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,2011.[4]章士藻，毛士忠.二元函數(shù)的極限及其求法[J].[5]武淑琴.二元函數(shù)極限的幾種求法[J].山西財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息學(xué)院,2004.[6]郭欣紅，康士臣.巧解二元函數(shù)的極限[J].遼寧金融職業(yè)學(xué)院，沈陽(yáng)廣播電視大學(xué),2004,5.[7]費(fèi)定暉，周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M].山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001,1.[8]李國(guó)華.函數(shù)極限的幾種求法[J].高師理學(xué)刊.[9]孟金濤.淺談極限的若干求法[J].鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系，2007.[10]百度文庫(kù)《函數(shù)極限的若干求法》鏈接：/view/f37b3b89cc22bcd126ff0c92.html.基于C8051F單片機(jī)直流電動(dòng)機(jī)反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的嵌入式Web服務(wù)器的研究MOTOROLA單片機(jī)MC68HC（8）05PV8/A內(nèi)嵌EEPROM的工藝和制程方法及對(duì)良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機(jī)溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機(jī)的通用控制模塊的研究基于單片機(jī)實(shí)現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調(diào)節(jié)器單片機(jī)控制的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強(qiáng)型51系列單片機(jī)的TCP/IP協(xié)議棧的實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的蓄電池自動(dòng)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機(jī)系統(tǒng)的圖像采集與處理技術(shù)的研究基于單片機(jī)的作物營(yíng)養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機(jī)的交流伺服電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機(jī)的泵管內(nèi)壁硬度測(cè)試儀的研制基于單片機(jī)的自動(dòng)找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機(jī)的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機(jī)的液壓動(dòng)力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機(jī)實(shí)現(xiàn)一種基于單片機(jī)的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機(jī)的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機(jī)的噴油泵試驗(yàn)臺(tái)控制器的研制基于單片機(jī)的軟起動(dòng)器的研究和設(shè)計(jì)基于單片機(jī)控制的高速快走絲電火花線切割機(jī)床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機(jī)的機(jī)電產(chǎn)品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機(jī)的智能手機(jī)充電器基于單片機(jī)的實(shí)時(shí)內(nèi)核設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究基于單片機(jī)的遠(yuǎn)程抄表系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的煙氣二氧化硫濃度檢測(cè)儀的研制基于微型光譜儀的單片機(jī)系統(tǒng)單片機(jī)系統(tǒng)軟件構(gòu)件開發(fā)的技術(shù)研究基于單片機(jī)的液體點(diǎn)滴速度自動(dòng)檢測(cè)儀的研制基于單片機(jī)系統(tǒng)的多功能溫度測(cè)量?jī)x的研制基于PIC單片機(jī)的電能采集終端的設(shè)計(jì)和應(yīng)用基于單片機(jī)的光纖光柵解調(diào)儀的研制氣壓式線性摩擦焊機(jī)單片機(jī)控制系統(tǒng)的研制基于單片機(jī)的數(shù)字磁通門傳感器基于單片機(jī)的旋轉(zhuǎn)變壓器-數(shù)字轉(zhuǎn)換器的研究基于單片機(jī)的光纖Bragg光柵解調(diào)系統(tǒng)的研究單片機(jī)控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機(jī)的多生理信號(hào)檢測(cè)儀基于單片機(jī)的電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)Pico專用單片機(jī)核的可測(cè)性設(shè)計(jì)研究基于MCS-51單片機(jī)的熱量計(jì)基于雙單片機(jī)的智能遙測(cè)微型氣象站MCS-51單片機(jī)構(gòu)建機(jī)器人的實(shí)踐研究基于單片機(jī)的輪軌力檢測(cè)基于單片機(jī)的GPS定位儀的研究與實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機(jī)系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機(jī)的時(shí)控和計(jì)數(shù)系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機(jī)和CPLD的粗光柵位移測(cè)量系統(tǒng)研究單片機(jī)控制的后備式方波UPS提升高職學(xué)生單片機(jī)應(yīng)用能力的探究基于單片機(jī)控制的自動(dòng)低頻減載裝置研究基于單片機(jī)控制的水下焊接電源的研究基于單片機(jī)的多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機(jī)的氚表面污染測(cè)量?jī)x的研制基于單片機(jī)的紅外測(cè)油儀的研究96系列單片機(jī)仿真器研究與設(shè)計(jì)基于單片機(jī)的單晶金剛石刀具刃磨設(shè)備的數(shù)控改造基于單片機(jī)的溫度智能控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)基于MSP430單片機(jī)的電梯門機(jī)控制器的研制基于單片機(jī)的氣體測(cè)漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機(jī)的CAN/USB協(xié)議轉(zhuǎn)換器基于單片機(jī)和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測(cè)技術(shù)研究基于單片機(jī)的膛壁溫度報(bào)警系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于AVR單片機(jī)的低壓無(wú)功補(bǔ)償控制器的設(shè)計(jì)基于單片機(jī)船舶電力推進(jìn)電機(jī)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)基于單片機(jī)網(wǎng)絡(luò)的振動(dòng)信號(hào)的采集系統(tǒng)基于單片機(jī)的大容量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)技術(shù)的應(yīng)用研究基于單片機(jī)的疊圖機(jī)研究與教學(xué)方法實(shí)踐基于單片機(jī)嵌入式Web服務(wù)器技術(shù)的研究及實(shí)現(xiàn)基于AT89S52單片機(jī)的通用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于單片機(jī)的多道脈沖幅度分析儀研究機(jī)器人旋轉(zhuǎn)電弧傳感角焊縫跟蹤單片機(jī)控制系統(tǒng)基于單片機(jī)的控制系統(tǒng)在PLC虛擬教學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用研究基于單片機(jī)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)通信研究與應(yīng)用基于PIC16F877單片機(jī)的莫爾斯碼自動(dòng)譯碼系統(tǒng)設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的模糊控制器在工業(yè)電阻爐上的應(yīng)用研究基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究與開發(fā)基于Cygnal單片機(jī)的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機(jī)的一體化智能差示掃描量熱儀系統(tǒng)研究基于TCP/IP協(xié)議的單片機(jī)與Internet互聯(lián)的研究與實(shí)現(xiàn)變頻調(diào)速液壓電梯單片機(jī)控制器的研究基于單片機(jī)γ-免疫計(jì)數(shù)器自動(dòng)換樣功能的研究與實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)單片機(jī)嵌入式以太網(wǎng)防盜報(bào)警系統(tǒng)基于51單片機(jī)的嵌入式Internet系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)單片機(jī)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在擠壓機(jī)上的應(yīng)用MSP430單片機(jī)在智能水表系統(tǒng)上的研究與應(yīng)用基于單片機(jī)的嵌入式系統(tǒng)中TCP/IP協(xié)議棧的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用單片機(jī)在高樓恒壓供水系統(tǒng)中的應(yīng)用HYPERLINK"/detail.htm