本科畢業(yè)論文-關于函數極限的多種求法

PAGEPAGEPAGEII目錄61491一元函數極限的求法 1233741.1一元函數極限的定義 1315281.2一元函數極限求解方法 2266641.2.1利用定義求極限 2241801.2.2利用Cauchy求極限 268751.2.3利用單調有界原理求極限 3169461.2.4利用數列與子列、函數與數列的極限關系求極限 3182311.2.5利用極限的運算法則求極限 4217531.2.6利用等價代換求極限 4275071.2.7利用初等變形求極限 5261641.2.8利用夾逼性準則求極限 57891.2.9利用兩個重要極限求極限 6281471.2.10利用變量替換求極限 7281691.2.12利用洛必達法則求極限 8235871.2.13利用Toylor公式求極限 9300671.2.14利用導數的定義求極限 10129581.2.15利用微分中值定理求極限 1110191.2.16利用積分定義求極限 12186181.2.17利用積分中值定理求極限 1355491.2.18利用級數求極限 13195111.2.19利用黎曼引理求極限 14173112二元函數極限的求法 14293762.1二元函數極限的定義 14127962.2二元函數極限的若干求法 16103362.2.1利用定義求極限 1669432.2.2利用多元函數的洛必達法則求極限 16108932.2.3利用連續(xù)性求極限 17186692.2.4利用無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量求極限 18155572.2.5通過對分式的分子或分母有理化求極限 1855122.2.6利用極限的夾逼性準則求極限 18191472.2.7利用等價無窮小變換求極限 1959052.2.8利用變量替換,將二重極限化為一元函數中的已知極限求極限 19117762.2.9利用取對數法求極限 19302372.2.10用三角變換法求極限 20139462.2.11利用一元函數中的極限推廣求極限 20115102.2.12利用無窮小的性質求極限 20239942.2.13利用()法求極限 217665參考文獻 22PAGEPAGE23關于函數極限的多種方法作者楊松指導教師馬玲副教授（湛江師范學院數學與計算科學學院，湛江524048）摘要本文較為全面地總結了一元函數，二元函數極限的若干求法，并通過例題加以說明.關鍵詞極限；方法AbouttheNumberofMethodsSolutionFunctionalLimitYangsong(MathematicsandComputationalScienceSchool,ZhanjiangZhanjiang,524048China)AbstractThepapermorecomprehensivelysummarizesthenumberofmethodsofsolutionoffunctionallimitaboutthefunctionsofonevariableandbinaryfunctionlimit,andexamplestoillustrate.Keywordslimit;methods1一元函數極限的求法1.1一元函數極限的定義[1]定義1設為定義在上的函數,為定數,若對任給的,存在正數(）,使得當時有則稱函數當趨于時以為極限,記作或定義2設函數在點的某個空心鄰域內有定義,為定數.若對任給的,存在正數,使得當時，有,則稱函數當趨于時以為極限,記作1.2一元函數極限求解方法1.2.1利用定義求極限例1[2]用極限的定義證明證，要（此式解出n有困難），記，此式可改寫成，得（當n>1時）至此要.只要,即，故令.則n>N時有.注意用極限的定義時,只需要證明存在,故求解的關鍵在于不等式的建立.在求解的過程中往往采用放大、縮小等技巧,但不能把含有的因子移到不等式的另一邊再放大,而是應該直接對要證其極限的式子一步一步放大,有時還需加入一些限制條件,限制條件必須和所求的(或)一致,最后結合在一起考慮.1.2.2利用Cauchy求極限例2[2]設，試證收斂.證因為==，，（只要（即）），故令，則n>N時，有，收斂獲證.注意在事先不知道極限的猜測值時可選擇Cauchy準則.1.2.3利用單調有界原理求極限定理1[1]在實數系中，有界的單調數列必有極限.例3[2]設，證明存在.證利用不等式，得（有下界）.=，即.單調下降，有下界.故收斂.注意利用單調準則證明極限存在,主要方面的性質:單調性和有界性.解題的難點在于判斷單調性,一般通過數學歸納法、減法、除法比較前后項．1.2.4利用數列與子列、函數與數列的極限關系求極限[2]例4證明從任一數列中必可選出一個（不一定嚴格）單調的子數列.證（我們來證明：如果不存在遞增子序列，則必存在嚴格遞減的子序列）假若中存在（不一定嚴格的）遞增子序列，則問題已被解決.若中無遞增子序列，那么，使得，恒有.同樣在中也無遞增子序列.于是又，使得，恒有.如此無限進行下去，我們便可以找到一嚴格遞增的子序列.1.2.5利用極限的運算法則求極限定理2已知,都存在,極限值分別為,,則(1)；(2)；(3)（此時需成立).例5求.解:原式.注意1對于和、差、積、商形式的函數求極限,可以采用極限運算法則,使用時需要先對函數做某些恒等變換或化簡,變換的方法通常有分式的通分、約分、分解因式、分子分母有理化、三角函數的恒等變化、拆項消去法、比較最高次冪法等.注意2運用極限法則時,必須注意只有各項極限都存在(對商,還要分母極限不為零)時才能適用.1.2.6利用等價代換求極限例6求解因為，故原式=.要點：在求乘除式極限里，其因子可用等價因子代替，極限不變.最常用的等價關系如：當時，（其中a>0,b0）.還有.1.2.7利用初等變形求極限例7求,設.解乘以.(當時)（）.要點：用初等數學的方法將變形，然后求極限.1.2.8利用夾逼性準則求極限定理3[1]設,且在某一空心鄰域內有,則.例8求.解:當時,有,從而,由夾逼準則得,所以.注意1夾逼準則多適用于所考慮的函數比較容易適度放大或縮小,而且放大和縮小的函數是容易求得相同的極限.基本思想是把要求解的極限轉化為求放大或縮小的函數或數列的極限.注意2利用夾逼準則求函數極限的關鍵：（1）構造函數,,使；（2）,由此可得.1.2.9利用兩個重要極限求極限兩個重要極限:（1)；(2).根據復合函數的極限運算法則,可將以上兩個公式針對遞推數列,必須驗證數列兩個進行推廣：(1)()；(2). 例9.解:1.2.10利用變量替換求極限要點：為了將未知的極限化簡，或轉化為已知的極限，可根據極限式的特點，適當引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉化為新的極限過程.例10若，，試證解令，，則時，.于是==.（1）當時第二、三項趨向零.現證第四項極限亦為零.事實上，因(當時)，故有界，即，使得（），故從而（1）式以為極限.1.2.11利用初等函數的連續(xù)性求極限（適用于求函數在連續(xù)點處的極限）利用初等函數的連續(xù)性求極限主要應用下列結果：(1)若f(x)在處連續(xù)，則f(x)=f()；(2)若（x）=A，y=f(u)在u=A處連續(xù)則f[(x)]=f(A);(3)若f(x)=A>0,g(x)=B,則=例11：解.由于初等函數在有定義的地方皆連續(xù)，原極限.1.2.12利用洛必達法則求極限洛比達法則是求“”型和“”未定式極限的有效方法，但是非未定極限卻不能求。（0-，-，，，型未定式可以轉化為“”型和“”未定式）定理4：若（i）f(x)=0，g（x）=0（ii）f與g在的某空心領域內可導，且g（x）≠0（iii）=A（A可為實數，也可為±或），則==A此定理是對“”型而言，對于函數極限的其他類型，均有類似的法則。例12[2]求極限解.故原式=.注意(1)每次在使用法則之前，務必考察它是否屬于七種不定型，否則不能用;(2)一旦用法則算不出結果，不等于極限不存在.例如，就是如此.這是因為法則只是充分條件，不是必要條件.(3)型的法則使用時，只需檢驗分母趨向無窮大即可，分子不趨向無窮大也沒關系.1.2.13利用Toylor公式求極限例13求極限解原式=1.2.14利用導數的定義求極限定義3設函數在點的某個鄰域內有定義,若極限存在,則稱函數在點處可導,并稱該極限為函數在點處的導數,記作.例14設存在,求.解.例15求.解這是型極限,先轉化成,其指數是型極限,由數列極限于函數極限的關系及導數的定義知,因此由復合函數求導得原式.注意對于一般抽象函數求極限時,如果已知它的導數是存在的,則經常利用導數的定義求極限.1.2.15利用微分中值定理求極限用拉格朗日中值定理求極限（或柯西中值定理）定理5[1](拉格朗日中值定理)若函數滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間上可導,則在上至少存在一點,使得.例16求,其中.解由題意,可對和分別應用拉格朗日中值定理,則原式===（其中例17計算.解設,由于在上連續(xù),在內可導.于是,由微分中值定理知,當,所以.用泰勒展式求極限（或麥克勞林展式)例18計算.解因為,,所以.注意1常用展式：,等.注意2在計算過程中,要注意高階無窮小的運算及處理.1.2.16利用積分定義求極限定義4[1]設在上的一個函數,是一個確定的實數.若對任給的正數,總存在某一正數,使得對的任何分割,以及其上任意選取的點集,只要,就有,則稱函數在區(qū)間上可積,數稱為在上的定積分,記作.若用極限符號表達定積分,可寫作.例19求極限.解因為，時，左端極限=時，右端極限=故原式=（兩邊夾法則）.注意由定積分的定義我們知道,定積分是某一和式的極限,因此,如果關于的某一和式可以表示成某一積分的形式時,則可利用定積分,求出這個和式的極限,顯然,若要利用定積分求極限,其關鍵在于將和式化成某一函數的積分形式.1.2.17利用積分中值定理求極限定理6[1]設與都在上連續(xù),且在上不變號,則至少存在一點,使得.例21求極限.解取,,,則在上的最小值,最大值,由積分中值定理知.因為,所以.1.2.18利用級數求極限利用級數展開式求極限例22解利用冪級數的展開式,可得原式=.注意從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運算、逐項求導、逐項求積定義法等直接或間接地求得函數的冪級數展開式.利用級數收斂的必要條件求極限定理7若級數收斂,則它的一般項趨于零.例23求.解研究級數,令,用比值法:所以級數收斂,從而.注意對某些極限可將函數作為級數的一般項,只需證明此級數收斂,便有.1.2.19利用黎曼引理求極限定理8[1]若在上可積,是以為周期的函數,且在上可積,則有.例24計算.解因為的周期為,2二元函數極限的求法2.1二元函數極限的定義定義5[1]設為定義在上的二元函數，為的一個聚點，是一個確定的實數.若對任給正數，總存在某正數，使得當時，都有，則稱在上當時，以為極限，記作.在對于不致產生誤解時，也可簡單記作.當，分別用坐標，表示時，式也常寫作.二元函數極限是在一元函數極限的基礎上發(fā)展起來的,兩者之間既有聯系又有區(qū)別．在極限運算法則上,它們是一致的,但隨著變量個數的增加,二元函數極限變得更加復雜,它實質上是包含任意方向的逼近過程,是一個較為復雜的極限,對于二元函數的二重極限,其重點是研究極限的存在性以及具體的求解方法．其中,求解方法非常多樣,靈活性和隨機性很強,我在這里總結了幾種具有代表性的求解方法.引例求原解法因為對,取,當,,且()(0,0)時,有<,由極限的定義得.新解法：令當（)(0,0)有,因為,所以兩者相對比,我們就會發(fā)現,此例用極坐標代換求極限比用定義求解簡單的多,那么,選擇一個正確的解題方法就顯得尤為重要了．下面,我會對各類方法進行探索.2.2二元函數極限的若干求法2.2.1利用定義求極限例26討論，在的極限.解令以為此路徑為特殊路徑，故不能說明.再利用定義判定：，取，當時，有,由于,即有：，故.2.2.2利用多元函數的洛必達法則求極限定理9[3]設函數f與g在點的某空心領域內有定義，并且滿足條件：（1）（2）函數f和g在內可微，并且（3）則注意1上述定理對于同樣成立.注意2對非有限點（中至少有一個為的極限問題，只要采用適當變了替換就可以轉化為有限點的情形例25求解2.2.3利用連續(xù)性求極限例27求解原式.例28.解原式.例29求.解原式.2.2.4利用無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量求極限例30求.解原式=例31求.解原式.因為是有界變量，又為無窮小量，所以原式.2.2.5通過對分式的分子或分母有理化求極限例32求.解原式..（這里是無窮小量，為有界變量）2.2.6利用極限的夾逼性準則求極限例33求.解由，而，故可知2.2.7利用等價無窮小變換求極限例34求.解當時，，原式=.2.2.8利用變量替換,將二重極限化為一元函數中的已知極限求極限例35求.解原式=當時，令故原式.2.2.9利用取對數法求極限例36求解令，而令那么，故原式2.2.10用三角變換法求極限例37求解令，則可得于是，于是為：，而，，所以，原式為：.2.2.11利用一元函數中的極限推廣求極限例38求解因為，所以2.2.12利用無窮小的性質求極限與一元函數類似,在求極限的過程中,以零為極限的量稱為無窮小量,有關無窮小量的運算性質也可以推廣到多元函數中例39求解以為，所以，原式2.2.13利用()法求極限例40（x，y不同時為0）解因為故，可取，則當，時，有所以，.參考文獻[1]華東師范大學數學系數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法（第二版）[M].北京：高等教育出社2006,4.[3]趙志芳，馬艷園.多元函數極限的求法[J].宜春學院數學與計算機科學學院,2011.[4]章士藻，毛士忠.二元函數的極限及其求法[J].[5]武淑琴.二元函數極限的幾種求法[J].山西財經大學經濟信息學院,2004.[6]郭欣紅，康士臣.巧解二元函數的極限[J].遼寧金融職業(yè)學院，沈陽廣播電視大學,2004,5.[7]費定暉，周學圣.吉米多維奇數學分析習題集[M].山東：山東科學技術出版社，2001,1.[8]李國華.函數極限的幾種求法[J].高師理學刊.[9]孟金濤.淺談極限的若干求法[J].鄭州航空工業(yè)管理學院數理系，2007.[10]百度文庫《函數極限的若干求法》鏈接：/view/f37b3b89cc22bcd126ff0c92.html.基于C8051F單片機直流電動機反饋控制系統(tǒng)的設計與研究基于單片機的嵌入式Web服務器的研究MOTOROLA單片機MC68HC（8）05PV8/A內嵌EEPROM的工藝和制程方法及對良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機的通用控制模塊的研究基于單片機實現的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調節(jié)器單片機控制的二級倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強型51系列單片機的TCP/IP協(xié)議棧的實現基于單片機的蓄電池自動監(jiān)測系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機系統(tǒng)的圖像采集與處理技術的研究基于單片機的作物營養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機的交流伺服電機運動控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機的泵管內壁硬度測試儀的研制基于單片機的自動找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機的液壓動力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機實現一種基于單片機的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機沖床數控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機的噴油泵試驗臺控制器的研制基于單片機的軟起動器的研究和設計基于單片機控制的高速快走絲電火花線切割機床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機的機電產品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機的智能手機充電器基于單片機的實時內核設計及其應用研究基于單片機的遠程抄表系統(tǒng)的設計與研究基于單片機的煙氣二氧化硫濃度檢測儀的研制基于微型光譜儀的單片機系統(tǒng)單片機系統(tǒng)軟件構件開發(fā)的技術研究基于單片機的液體點滴速度自動檢測儀的研制基于單片機系統(tǒng)的多功能溫度測量儀的研制基于PIC單片機的電能采集終端的設計和應用基于單片機的光纖光柵解調儀的研制氣壓式線性摩擦焊機單片機控制系統(tǒng)的研制基于單片機的數字磁通門傳感器基于單片機的旋轉變壓器-數字轉換器的研究基于單片機的光纖Bragg光柵解調系統(tǒng)的研究單片機控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機的多生理信號檢測儀基于單片機的電機運動控制系統(tǒng)設計Pico專用單片機核的可測性設計研究基于MCS-51單片機的熱量計基于雙單片機的智能遙測微型氣象站MCS-51單片機構建機器人的實踐研究基于單片機的輪軌力檢測基于單片機的GPS定位儀的研究與實現基于單片機的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機的時控和計數系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機和CPLD的粗光柵位移測量系統(tǒng)研究單片機控制的后備式方波UPS提升高職學生單片機應用能力的探究基于單片機控制的自動低頻減載裝置研究基于單片機控制的水下焊接電源的研究基于單片機的多通道數據采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機的氚表面污染測量儀的研制基于單片機的紅外測油儀的研究96系列單片機仿真器研究與設計基于單片機的單晶金剛石刀具刃磨設備的數控改造基于單片機的溫度智能控制系統(tǒng)的設計與實現基于MSP430單片機的電梯門機控制器的研制基于單片機的氣體測漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機的CAN/USB協(xié)議轉換器基于單片機和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測技術研究基于單片機的膛壁溫度報警系統(tǒng)設計基于AVR單片機的低壓無功補償控制器的設計基于單片機船舶電力推進電機監(jiān)測系統(tǒng)基于單片機網絡的振動信號的采集系統(tǒng)基于單片機的大容量數據存儲技術的應用研究基于單片機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