圓（公式、定理、結(jié)論圖表） 【 知識(shí)梳理+精講專練 】 中考數(shù)學(xué)能力提升必備

知識(shí)必備10圓（公式、定理、結(jié)論圖表）考點(diǎn)一、圓的有關(guān)概念1.圓的定義如圖所示，有兩種定義方式：①在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，以O(shè)為圓心的圓記作⊙O，線段OA叫做半徑；②圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合．要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?.與圓有關(guān)的概念①弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；如上圖所示線段AB，BC，AC都是弦．②直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如AC是⊙O的直徑，直徑是圓中最長的弦．③弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，如曲線BC、BAC都是⊙O中的弧，分別記作，．④半圓：圓中任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，如是半圓．⑤劣?。合襁@樣小于半圓周的圓弧叫做劣?。迌?yōu)?。合襁@樣大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)?。咄膱A：圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓．⑧弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．⑨等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓．⑩等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。畧A心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角，如上圖中∠AOB，∠BOC是圓心角．圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如上圖中∠BAC、∠ACB都是圓周角．要點(diǎn)詮釋：圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.圓外角度數(shù)等于它所夾弧的度數(shù)的差的一半.圓內(nèi)角度數(shù)等于它所夾弧的度數(shù)的和的一半.典例1：（2022?西藏）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝OD，則∠ABD的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°【分析】連接OB，則OC＝OB，由OC⊥AB，則∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．【解答】解：如圖：連接OB，則OB＝OD，∵OC＝OD，∴OC＝OB，∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∠ABD＝30°+75°＝105°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的有關(guān)知識(shí)；正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二、圓的有關(guān)性質(zhì)1.圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的直線都是它的對(duì)稱軸，有無數(shù)條．圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是對(duì)稱中心，又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，即旋轉(zhuǎn)任意角度和自身重合．2.垂徑定理①垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對(duì)的兩條弧．②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．如圖所示．要點(diǎn)詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個(gè)條件有2個(gè)成立，則另外3個(gè)也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作條件時(shí)，應(yīng)限制AB不能為直徑．3.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；②在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等．4.圓周角定理及推論①圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．②圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．要點(diǎn)詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中．典例2：（2022?宜昌）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶（如圖1），隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表．如圖2是根據(jù)某石拱橋的實(shí)物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為．橋的跨度（弧所對(duì)的弦長）AB＝26m，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑OC⊥AB，垂足為D．拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）CD＝5m．連接OB．（1）直接判斷AD與BD的數(shù)量關(guān)系；（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理便可得出結(jié)論；（2）設(shè)主橋拱半徑為R，在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理列出R的方程便可求得結(jié)果．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴AD＝BD；（2）設(shè)主橋拱半徑為R，由題意可知AB＝26，CD＝5，∴BD＝AB＝13，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+132＝R2，解得R＝19.4≈19，答：這座石拱橋主橋拱的半徑約為19m．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，勾股定理．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．典例3：（2022?六盤水）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的風(fēng)景描繪中有半個(gè)月亮掛在山上，月亮之上有個(gè)“齊天大圣”守護(hù)洞口的傳說．真實(shí)情況是老王山上有個(gè)月亮洞，洞頂上經(jīng)常有猴子爬來爬去，如圖是月亮洞的截面示意圖．（1）科考隊(duì)測(cè)量出月亮洞的洞寬CD約是28m，洞高AB約是12m，通過計(jì)算截面所在圓的半徑可以解釋月亮洞像半個(gè)月亮，求半徑OC的長（結(jié)果精確到0.1m）；（2）若∠COD＝162°，點(diǎn)M在上，求∠CMD的度數(shù)，并用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為什么“齊天大圣”點(diǎn)M在洞頂上巡視時(shí)總能看清洞口CD的情況．【分析】（1）設(shè)OA＝OC＝Rm，利用勾股定理求出R即可；（2）補(bǔ)全⊙O，在CD的下方取一點(diǎn)N，連接CN，DN，CM，DM，利用圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）設(shè)OA＝OC＝Rm，∵OA⊥CD，∴CB＝BD＝CD＝14m，在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2，∴R2＝142+（R﹣12）2，∴R＝，∴OC＝≈14.2m．（2）補(bǔ)全⊙O，在CD的下方取一點(diǎn)N，連接CN，DN，CM，DM，∵∠N＝∠COD＝81°，∵∠CMD+∠N＝180°，∴∠CMD＝99°．∵∠CMD＝99°不變，是定值，∴“齊天大圣”點(diǎn)M在洞頂上巡視時(shí)總能看清洞口CD的情況．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．典例4：（2022?黃石）如圖，圓中扇子對(duì)應(yīng)的圓心角α（α＜180°）與剩余圓心角β的比值為黃金比時(shí)，扇子會(huì)顯得更加美觀，若黃金比取0.6，則β﹣α的度數(shù)是90°．【分析】根據(jù)已知，列出關(guān)于α，β的方程組，可解得α，β的度數(shù)，即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得，∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)周角為360°和已知，列出方程組．典例5：（2022?南通）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，AC平分∠BAD，CD＝2，點(diǎn)E在BC的延長線上，連接DE．（1）求直徑BD的長；（2）若BE＝5，計(jì)算圖中陰影部分的面積．【分析】（1）由BD為⊙O的直徑，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的長；（2）因?yàn)锽C＝DC，所以陰影的面積等于三角形CDE的面積．【解答】解：（1）∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝DC＝2，∴BD＝2×＝4；（2）∵BE＝5，∴CE＝3，∵BC＝DC，∴S陰影＝S△CDE＝×2×＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如圖所示．d表示點(diǎn)到圓心的距離，r為圓的半徑．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如下表：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系d與r的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)d＜r點(diǎn)在圓上d＝r點(diǎn)在圓外d＞r要點(diǎn)詮釋：(1)圓的確定：①過一點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè)，如圖所示．②過兩點(diǎn)A、B的圓有無數(shù)個(gè)，如圖所示．③經(jīng)過在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓．④不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．如圖所示．(2)三角形的外接圓經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，并且只能畫一個(gè)．經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心．這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線交點(diǎn)．它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，都等于三角形外接圓的半徑．如圖所示．2.直線與圓的位置關(guān)系①設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系如下表．②圓的切線．切線的定義：和圓有唯一公共點(diǎn)的直線叫做圓的切線．這個(gè)公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端．且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．友情提示：直線l是⊙O的切線，必須符合兩個(gè)條件：①直線l經(jīng)過⊙O上的一點(diǎn)A；②OA⊥l．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．切線長定義：我們把圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長．切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角．③三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．要點(diǎn)詮釋：找三角形內(nèi)心時(shí)，只需要畫出兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．三角形外心、內(nèi)心有關(guān)知識(shí)比較3.圓與圓的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)兩圓作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可以得到下面5種位置關(guān)系，其中R、r為兩圓半徑(R≥r)．d為圓心距．要點(diǎn)詮釋：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)舍．其中相切和相交是重點(diǎn)．②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)圓的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來理解．④“r1－r2”時(shí)，要特別注意，r1＞r2．典例6：（2022?淮安）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB＝60°，AD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，∠ADB＝30°．（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝4，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接BE，根據(jù)圓周角定理得到∠AEB＝∠C＝60°，連接OB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BOD＝60°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ABE＝90°，解直角三角形得到OB，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）直線BD與⊙O相切，理由：連接BE，∵∠ACB＝60°，∴∠AEB＝∠C＝60°，連接OB，∵OB＝OE，∴△OBE是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半徑，∴直線BD與⊙O相切；（2）∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∵AB＝4，∴sin∠AEB＝sin60°＝＝＝，∴AE＝8，∴OB＝4，∴BD＝OB＝4，∴圖中陰影部分的面積＝S△OBD﹣S扇形BOE＝4×﹣＝8﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，扇形面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．典例7：（2022?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線與AB的延長線交于點(diǎn)P，若AC＝PC＝3，則PB的長為（）A． B． C． D．3【分析】連結(jié)OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PCO＝90°，根據(jù)OC＝OA，得到∠A＝∠OCA，根據(jù)AC＝PC，得到∠P＝∠A，在△APC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠P＝30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到OP＝2OC＝2r，在Rt△POC中，根據(jù)tanP＝求出⊙O的半徑r即可得出答案．【解答】解：如圖，連結(jié)OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA，∵AC＝PC，∴∠P＝∠A，設(shè)∠A＝∠OCA＝∠P＝x°，在△APC中，∠A+∠P+∠PCA＝180°，∴x+x+90+x＝180，∴x＝30，∴∠P＝30°，∵∠PCO＝90°，∴OP＝2OC＝2r，在Rt△POC中，tanP＝，∴＝，∴r＝3，∴PB＝OP﹣OB＝2r﹣r＝r＝3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，體現(xiàn)了方程思想，在△APC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠P＝30°是解題的關(guān)鍵．典例8：（2022?寧夏）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點(diǎn)C，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．連接BD并延長交AC于點(diǎn)M．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）求證：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的長．【分析】（1）連接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC證明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可證明直線DE是⊙O的切線；（2）由線段AB是⊙O的直徑證明∠ADB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等證明∠M＝∠ABM，則AB＝AM；（3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°證明∠BAM＝60°，則△ABM是等邊三角形，所以∠M＝60°，則∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再證明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．【解答】（1）證明：連接OD，則OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線．（2）證明：∵線段AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查切線的判定、直徑所對(duì)的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．典例9：（2022?阜新）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)D，連接CD，且CD＝AC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的長．【分析】（1）連接OD．由等腰三角形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根據(jù)余角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切線的判定定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形內(nèi)角和定理可得∠BOD的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式可得答案．【解答】（1）證明：連接OD．∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，∴△ACD是等邊三角形．∴∠ACD＝60°．∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝tan30°＝2．∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝30°．∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．∴的長＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、弧長公式，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四、正多邊形和圓1.正多邊形的有關(guān)概念正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫正多邊形的中心．外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫正多邊形的邊心距，正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，這個(gè)角叫正多邊形的中心角，正多邊形的每一個(gè)中心角都等于．要點(diǎn)詮釋：通過中心角的度數(shù)將圓等分，進(jìn)而畫出內(nèi)接正多邊形，正六邊形邊長等于半徑．2.正多邊形的性質(zhì)任何一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩圓是同心圓．正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，偶數(shù)條邊的正多邊形也是中心對(duì)稱圖形，同邊數(shù)的兩個(gè)正多邊形相似，其周長之比等于它們的邊長(半徑或邊心距)之比．3.正多邊形的有關(guān)計(jì)算定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形．正n邊形的邊長a、邊心距r、周長P和面積S的計(jì)算歸結(jié)為直角三角形的計(jì)算．，，，，，．典例10：（2022?黔東南州）（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中作出△ABC的外接圓⊙O（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，過點(diǎn)B的切線與AC的延長線交于點(diǎn)D．①求證：BD⊥AD；②若AC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半徑．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖分別作出AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心、OA為半徑作圓即可；（2）①連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥BD，證明OB∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明結(jié)論；②連接EC，根據(jù)圓周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根據(jù)正切的定義求出EC，根據(jù)勾股定理求出AE，得到答案．【解答】（1）解：如圖1，⊙O即為△ABC的外接圓；（2）①證明：如圖2，連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴OB⊥BD，∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴＝，∴∠CAB＝∠EAB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠EAB，∴∠CAB＝∠OBA，∴OB∥AD，∴BD⊥AD；②解：如圖2，連接EC，由圓周角定理得：∠AEC＝∠ABC，∵tan∠ABC＝，∴tan∠AEC＝，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE＝90°，∴＝，∵AC＝6，∴EC＝8，∴AE＝＝10，∴⊙O的半徑為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．典例11：（2022?黔東南州）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB、OC，則圖中陰影部分的面積是cm2．（結(jié)果用含π的式子表示）【分析】根據(jù)角A的度數(shù)和內(nèi)切圓的性質(zhì)，得出圓心角DOE的度數(shù)即可得出陰影部分的面積．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形內(nèi)切圓的知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及扇形面積的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．典例12：（2022?青島）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在上，則∠CME的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．60°【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出∠COE＝120°，由圓周角定理求出∠CME＝60°．【解答】解：連接OC，OD，OE，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴∠CME＝∠COE＝60°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由圓周角定理求出∠COM＝120°是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五、圓中的計(jì)算問題1.弧長公式：，其中為n°的圓心角所對(duì)弧的長，R為圓的半徑．2.扇形面積公式：，其中．圓心角所對(duì)的扇形的面積，另外．3.圓錐的側(cè)面積和全面積：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長．圓錐的全面積是它的側(cè)面積與它的底面積的和．要點(diǎn)詮釋：（1）在計(jì)算圓錐的側(cè)面積時(shí)要注意各元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，千萬不要錯(cuò)把圓錐底面圓半徑當(dāng)成扇形半徑．（2）求陰影面積的幾種常用方法(1)公式法；(2)割補(bǔ)法；(3)拼湊法；(4)等積變形法；(5)構(gòu)造方程法．典例13：（2022?廣西）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，得到△AB′C′，連接B′C并延長交AB于點(diǎn)D，當(dāng)B′D⊥AB時(shí)，的長是（）A．π B．π C．π D．π【分析】證明α＝30°，根據(jù)已知可算出AD的長度，根據(jù)弧長公式即可得出答案．【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC?cos30°＝4×＝2，∴，∴的長度l＝＝π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長的計(jì)算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握弧長的計(jì)算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．典例14：（2022?菏澤）如圖，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝，以A為圓心，以AB為半徑作；以BC為直徑作．則圖中陰影部分的面積是π﹣2.（結(jié)果保留π）【分析】如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OA．根據(jù)S陰＝S半圓﹣S△ABC+S扇形ACB﹣S△ACB，求解即可．【解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OA．∵∠CAB＝90°，AC＝AB＝，∴BC＝AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝1，∴S陰＝S半圓﹣S△ABC+S扇形ACB﹣S△ACB＝?π×12﹣××+﹣××＝π﹣2．故答案為：π﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用割補(bǔ)法求陰影部分的面積．典例15：（2022?廣安）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，圓柱的高CD＝2.5m，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．圓柱的底面積為4πm2 B．圓柱的側(cè)面積為10πm2 C．圓錐的母線AB長為2.25m D．圓錐的側(cè)面積為5πm2【分析】利用圓的面積公式對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用圓柱的側(cè)面積＝底面圓的周長×高可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)勾股定理可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用扇形的面積公式可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵底面圓半徑DE＝2m，∴圓柱的底面積為4πm2，所以A選項(xiàng)不符合題意；∵圓柱的高CD＝2.5m，∴圓柱的側(cè)面積＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B選項(xiàng)不符合題意；∵底面圓半徑DE＝2m，即BC＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，∴圓錐的母線長AB＝＝2.5（m），所以C選項(xiàng)符合題意；∴圓錐的側(cè)面積＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了圓柱的計(jì)算．典例16：（2022?賀州）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm；圓柱體底面半徑是3cm，液體高是7cm．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】由圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD＝DE，根據(jù)圓錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，即知計(jì)時(shí)結(jié)束后，圓錐中沒有液體的部分體積為9πcm3，設(shè)計(jì)時(shí)結(jié)束后，“沙漏”中液體的高度AD為xcm，可得π?（6﹣x）2?（6﹣x）＝9π，即可解得答案．【解答】解：如圖：∵圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，∴△ABC是等腰直角三角形，∴△CDE也是等腰直角三角形，即CD＝DE，由已知可得：液體的體積為π×32×7＝63π（cm3），圓錐的體積為π×62×6＝72π（cm3），∴計(jì)時(shí)結(jié)束后，圓錐中沒有液體的部分體積為72π﹣63π＝9π（cm3），設(shè)計(jì)時(shí)結(jié)束后，“沙漏”中液體的高度AD為xcm，則CD＝DE＝（6﹣x）cm，∴π?（6﹣x）2?（6﹣x）＝9π，∴（6﹣x）3＝27，解得x＝3，∴計(jì)時(shí)結(jié)束后，“沙漏”中液體的高度為3cm，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱體、圓錐體體積問題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問題．考點(diǎn)六、四點(diǎn)共圓1.四點(diǎn)共圓的定義四點(diǎn)共圓的定義：如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”.2.證明四點(diǎn)共圓一些基本方法：1.從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．或利用圓的定義，證各點(diǎn)均與某一定點(diǎn)等距.2.如果各點(diǎn)都在某兩點(diǎn)所在直線同側(cè)，且各點(diǎn)對(duì)這兩點(diǎn)的張角相等，則這些點(diǎn)共圓．（若能證明其兩張角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑.）3.把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．4.把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．即利用相交弦、切割線、割線定理的逆定理證四點(diǎn)共圓.典例17：（2022?遵義）綜合與實(shí)踐“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上反思?xì)w納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；依據(jù)2：過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓．（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝