9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023年高一數(shù)學(xué)同步精講精練（人教B版2019必修第四冊）（解析版）

9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用TOC\o"1-3"\h\u題型1測量距離問題 3題型2測量高度問題 9題型3測量角度問題（主要是航海問題） 17知識(shí)點(diǎn)一.實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語基線：在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線.名稱定義圖示仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)方位角從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角坡角坡面與水平面的夾角破角為α，坡度為i,?l=tan坡度（坡比）坡面的垂直高度h和水平寬度l的比，i知識(shí)點(diǎn)二.測量距離問題主要是指水平面上兩個(gè)位置A，B不能直接到達(dá)，從而利用手中的工具，通過測量有關(guān)數(shù)據(jù)，構(gòu)造三角形，應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決.例如當(dāng)AB的長度不可直接測量時(shí)，AB的距離的求法分為以下三類.類型圖形方法兩點(diǎn)間不可達(dá)又不可視余弦定理兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)正弦定理兩點(diǎn)都不可達(dá)先用正弦定理再用余弦定理知識(shí)點(diǎn)三.測量高度問題類型簡圖計(jì)算方法底部可達(dá)測得BC=a，∠BCA=C，AB=a·tanC.底部不可達(dá)點(diǎn)B與C,D共線測得CD=a及C與∠ADB的度數(shù).先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.點(diǎn)B與C,D不共線測得CD=a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度數(shù).在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.知識(shí)點(diǎn)四.角度問題測量角度問題主要是指在海上或空中測量角度的問題，如確定目標(biāo)的方位，觀察某一建筑物的視角等.解決它們的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量，通常是根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形得到所求的量，從而得到實(shí)際問題的解.題型1測量距離問題【方法總結(jié)】當(dāng)A，B兩點(diǎn)之間的距離不能直接測量時(shí)，求AB的距離分為以下三類：(1)兩點(diǎn)間不可通又不可視(如圖①)：可取某點(diǎn)C，使得A，B與C之間的距離可直接測量，測出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ).(2)兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)(如圖②)：可選取與B同側(cè)的點(diǎn)C，測出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用內(nèi)角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)兩點(diǎn)都不可到達(dá)(如圖③)：在河邊測量對岸兩個(gè)建筑物之間的距離，可先在一側(cè)選取兩點(diǎn)C，D，測出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB..【例題1】（多選）（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在海岸上有兩個(gè)觀測點(diǎn)C，D，C在D的正西方向，距離為2km，在某天10:00觀察到某航船在A處，此時(shí)測得∠ADC=30°，5分鐘后該船行駛至B處，此時(shí)測得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，則（

）A．當(dāng)天10:00時(shí)，該船位于觀測點(diǎn)C的北偏西15°方向B．當(dāng)天10:00時(shí)，該船距離觀測點(diǎn)C2kmC．當(dāng)船行駛至B處時(shí)，該船距觀測點(diǎn)C2kmD．該船在由A行駛至B的這5min內(nèi)行駛了6km【答案】ABD【分析】利用方位角的概念判斷A，利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD．【詳解】A選項(xiàng)中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因?yàn)镃在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正確.B選項(xiàng)中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，則∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=CDsin∠故B正確.C選項(xiàng)中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，則BD=CD=2，于是BC=22，故C不正確.D選項(xiàng)中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－2×2×2即AB=6km，故D正確.故選：ABD．【變式1-1】1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖所示，要在兩山頂M?N間建一索道，需測量兩山頂M?N間的距離.現(xiàn)選擇與山腳B?C在同一平面的點(diǎn)A為觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAC=60°,【答案】100【分析】在Rt△ACM中根據(jù)AM=ACcos60°求出AM，在Rt【詳解】在Rt△ACM中，∠所以AM=在Rt△ABN中，∠所以AN=在△AMN中，∠MAN=45°由余弦定理得：M=所以MN=100故答案為：1002【變式1-1】2．（2022春·上海黃浦·高一?？计谀┤鐖D，要計(jì)算西湖岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點(diǎn)，現(xiàn)測得AD⊥CD，AD=10km，AB=14km，∠BAD=60°，∠BCD=135°，求兩景點(diǎn)B與C的距離（精確到【答案】4.2km【分析】在△ABD中，結(jié)合余弦定理得BD=239km，【詳解】解：根據(jù)題意，在△ABD中，AD=10km，AB=14km所以由余弦定理得：BD2=所以，cos∠ADB因?yàn)锳D⊥CD，所以所以sin∠CDB所以，在△CDB中，∠BCD=135°，所以，BCsin∠CDB=所以，景點(diǎn)B與C的距離大約為4.2km【變式1-1】3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”），當(dāng)太陽在正午時(shí)刻照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個(gè)根據(jù)某地的地理位置設(shè)計(jì)的主表的示意圖，已知某地冬至正午時(shí)太陽高度角（即∠ABC）大約為15°，夏至正午時(shí)太陽高度角（即∠ADC）大約為60°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（注：sin15°=6A．2?3a B．3+34a 【答案】D【分析】由銳角三角函數(shù)的定義與同角三角函數(shù)的關(guān)系求解，【詳解】設(shè)表高為?，則BC=??而sin15°=6?24，得故DB=(2+得?=故選：D【變式1-1】4．（2022春·上海浦東新·高一?？计谥校┠齿喆訴海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測得海面上油井P在南偏東60度.輪船從A處向北航行30分鐘后到達(dá)B處，測得油井P在南偏東15度，且BP=103海里.輪船以相同的速度改為向東北方向再航行60分鐘后到達(dá)(1)求輪船的速度V；(2)求P,【答案】(1)202(2)40海里【分析】（1）利用三角形的性質(zhì)以及正弦定理進(jìn)行求解.（2）利用三角的性質(zhì)以及余弦定理進(jìn)行求解.【詳解】（1）由題可知，在△APB中，∠PAB=120°又BP=103，由正弦定理有：BPsin∠解得AB=102，所以故輪船的速度是202（2）由（1）有，BC=202，由題可知，所以在△PBC中，由余弦定理有：P所以P=1100+200所以PC=10所以P,題型2測量高度問題【方法總結(jié)】測量高度問題需要注意三個(gè)問題(1)在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題【例題2】（2023春·安徽安慶·高一安慶一中?？茧A段練習(xí)）小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為153A．20m B．30m C．203m D．303m【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解.【詳解】sin15°=sin45°?30°由題意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝ABsin∠AMB＝在△ACM中，由正弦定理得AMsin∠ACM＝所以CM＝AM·sin∠CAMsin∠在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝60×32＝30故選：D.【變式2-1】1．（2022春·河南周口·高一?？计谀┖紟煷蟾街刑煳呐_(tái)是學(xué)校圖書館處的標(biāo)志性建筑.小金同學(xué)為了測量天文臺(tái)CD的高度，選擇附近學(xué)校宿舍樓三樓一陽臺(tái)，高AB為(15?53)m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B、M、D三點(diǎn)共線）處測得樓頂A、天文臺(tái)頂C的仰角分別是15°和60°，在陽臺(tái)A處測得天文臺(tái)頂C的仰角為30°A．20m B．203m C．303【答案】D【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，運(yùn)用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，計(jì)算可得天文臺(tái)的高度.【詳解】在直角三角形ABM中，AM在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°故∠由正弦定理，AMsin∠故MC在直角三角形CDM中，CD=∵sin15°=sin=∴CD=故選：D【變式2-1】2．（2022春·浙江·高一期中）如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測得∠BCD=α，∠BDC=β，A．s?tanθsinC．s?sinθsin【答案】A【分析】運(yùn)用正弦定理和銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】在△BCDBCsin∠在直角三角形ABC中，tan∠ACB故選：A【變式2-1】3．（2022秋·河北保定·高一保定一中校考期末）如圖，保定市某中學(xué)在實(shí)施“五項(xiàng)管理”中，將學(xué)校的“五項(xiàng)管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓的頂部（如圖所示），該中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿該中學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1:3,(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH；(2)求宣傳牌CD的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)2m(2)16?8【分析】（1）根據(jù)坡度比以及勾股定理即可求解，（2）根據(jù)銳角三角形的邊角關(guān)系即可結(jié)合圖形關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】（1）由于i=1:3,所以BH設(shè)BH=a,∴所以BH（2）過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F,則在△ADE中，DE又BF=故宣傳牌CD的高度為16?83【變式2-1】4．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學(xué)在C點(diǎn)測得雪道BC的坡度i=1:2.4，在A點(diǎn)測得B點(diǎn)的俯角∠DAB=(1)求該滑雪場的高度h；(2)據(jù)了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設(shè)備來滿足對于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時(shí)造雪量比乙設(shè)備少35m3，且甲設(shè)備造雪150m【答案】(1)235m(2)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是【分析】（1）過B作BF∥AD，過A作AF⊥AD，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系求得（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xm3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是【詳解】（1）解：過B作BF∥AD，過A作AF⊥AD，兩直線交于F，過B作根據(jù)題知∠ABF=∠DAB∵BC的坡度i=1:2.4，∴BE設(shè)BE=tm，則CE=2.4t解得t=100（負(fù)值已舍去），∴?所以，該滑雪場的高度h為235m．（2）解：設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xm3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是根據(jù)題意得：150x=500經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原分式方程的解，也符合題意，∴x所以，甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是【變式2-1】5．（2022春·福建泉州·高一校聯(lián)考期中）如圖，某人身高1.73m，他站的地點(diǎn)A和云南大理文筆塔塔底O在同水平線上，他直立時(shí)，測得塔頂M的仰角∠MCE=22.8°（點(diǎn)E在線段MO上，忽略眼睛到頭頂之間的距離，下同）.他沿線段AO向塔前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B直立時(shí)，測得塔頂M的仰角∠MDE=48.3（1）求塔高M(jìn)O=（2）此人在線段AO上離點(diǎn)O________米，他直立看塔尖MN的視角最大？參考數(shù)據(jù)：sin22.8°sin48.3°【答案】

69.13m

63.59【分析】（1）根據(jù)題意在△CDM中，由正弦定理可求CM的值，進(jìn)而求解ME的值，即可根據(jù)MO（2）由（1）可求CE的值，可求DE=CE?CD=60m，∠NDE=45【詳解】（1）∵∠MCE=22.8°，∴∠DMC在△CDM中，由正弦定理得，CM又CD=100∴CM∴ME所以，MO=（2）由（1）知，CE=∴DE∵∠NDE∴NE設(shè)此人應(yīng)在線段AO上的F處，F(xiàn)O=xm，直立時(shí)，眼睛處于則tan∠MGE=67.4∴tan∠MGN=67.4當(dāng)且僅當(dāng)x=67.4×60x所以，他站在線段AO上到點(diǎn)O的距離為為63.59m處時(shí)，看塔尖MN故答案為：69.13m；63.59【變式2-1】6.濟(jì)南泉城廣場上的泉標(biāo)模仿的是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征．李明同學(xué)想測量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場的A點(diǎn)測得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2m，到達(dá)B點(diǎn)，又測得泉標(biāo)頂部仰角為80°.你能幫助李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1m)【解析】如圖所示，點(diǎn)C，D分別為泉標(biāo)的底部和頂端．依題意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，則∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根據(jù)正弦定理，eq\f(BD,sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB).∴BD＝eq\f(ABsin60°,sin20°)＝eq\f(15.2×sin60°,sin20°)≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5×sin80°≈38(m)，即泉城廣場上泉標(biāo)的高約為38m.題型3測量角度問題（主要是航海問題）【方法總結(jié)】測量角度問題需要注意三個(gè)問題測量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義；求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值；3.在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題過程中也要注意體會(huì)正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點(diǎn)?！纠}3】如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ的值為________．【答案】eq\f(\r(21),14)【解析】在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)?sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).【變式3-1】1．（2022春·山東東營·高一統(tǒng)考期末）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得燈塔底部C在北偏東15°方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，此時(shí)測得燈塔底部C在北偏東60°方向上，測得塔頂P的仰角為60°(1)求巡邏船的航行速度;(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處，問此時(shí)燈塔底部C位于D處的南偏東什么方向?【答案】(1)6(3(2)燈塔底部C位于D處的南偏東45°方向.【分析】（1）直角△BCP中可得BC=2，△ABC中∠（2）△BCD中應(yīng)用余弦定理可得CD=6（1）在直角△BCP中，tan∠PBC=在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC=從A到B共花20分鐘，故巡邏船的航行速度v（2）在△BCD中，由余弦定理可得：CD=在△BCD中，由正弦定理得：CDsin∠DBC而CD>CB，則∠CDB所以此時(shí)燈塔底部C位于D處的南偏東45°方向．【變式3-1】2．（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀哪滁c(diǎn)的指北方向線起，依順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角，叫方位角．某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號(hào)，如圖，我國海軍護(hù)航艦在A處獲悉后，立即測出該貨船在方位角為45°，距離為20海里的C處，并測得貨船正沿方位角為105°的方向．以20海里/小時(shí)的速度向前行駛，我海軍護(hù)航艦立即以203【答案】護(hù)航艦航行的方位角為75°，所需時(shí)間為1小時(shí)．【分析】設(shè)護(hù)航艦靠近貨船所需時(shí)間為t小時(shí)，根據(jù)余弦定理得2t2?【詳解】解：設(shè)護(hù)航艦靠近貨船所需時(shí)間為t小時(shí)，營救地點(diǎn)為B，可得AB=203t在△ABC中，由余弦定理可得AB∴(203t)∴t=1或t=?1在△ABC中，根據(jù)正弦定理得：BCsin∠∴sin∠CAB=BC∴∠CAB【變式3-1】3．（2022春·陜西榆林·高一榆林市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，某運(yùn)動(dòng)員從A市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時(shí)15km的速度向東進(jìn)行長跑訓(xùn)練，長跑開始時(shí)，在A市南偏東方向距A市75km，且與海岸距離為45km的海上B處有一艘小艇與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā)，要追上這位運(yùn)動(dòng)員.(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員？(2)求小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB的夾角.【答案】(1)小艇至少以每小時(shí)9km的速度才能追上運(yùn)動(dòng)員.(2)小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB的夾角為90°.【分析】（1）設(shè)小艇以每小時(shí)vkm的速度從B處出發(fā)，t小時(shí)后與運(yùn)動(dòng)員在D處相遇，在△ABD中利用余弦定理可得v與（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可計(jì)算出AD、(1)解：如圖，設(shè)小艇以每小時(shí)vkm的速度從B處出發(fā)，沿BD方向行駛，t小時(shí)后與運(yùn)動(dòng)員在D在△ABD中，AB=75,AD=15t，BC由余弦定理求得BD則v2整理得：v2當(dāng)1t=425時(shí)，即t=即小艇至少以每小時(shí)9km的速度從B處出發(fā)才能追上運(yùn)動(dòng)員.(2)解：當(dāng)小艇以每小時(shí)9km的速度從B處出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間t=故BD=9×254又sin∠BAD=35，由正弦定理得故∠ABD即小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB的夾角為90°.【變式3-1】4．（2022春·湖北襄陽·高一宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到5G基站的身影．如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山項(xiàng)上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰角為37°，測得基站頂端

(1)求出山高BE（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)如圖，當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時(shí)（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置M處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離MD=xm，且記在M處觀測基站底部B的仰角為α，觀測基站頂端A的仰角為β．試問當(dāng)x參考數(shù)據(jù)：sin8°≈0.14，sin37°≈0.6，sin45°≈0.7，sin127°≈0.8.【答案】(1)151.5m；(2)x=1003m時(shí)，視角【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理求出BC，即可求出BD（2）根據(jù)題意得出tan∠AMB=tan(β(1)解：由題知∠ACB在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB所以BC≈在Rt△BDC中，sin∠BCD=BD所以山高BE=(2)解：由題知∠AMD=β，∠BMD=在Rt△AMD中，tanβ則tan∠AMB=tan(β?α當(dāng)且僅當(dāng)x=30000x即x【變式3-1】5．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖所示，我國黃海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島B與小島A、小島C相距都為5公里，與小島D相距為35公里．已知角A為鈍角，且sin(1)求小島A與小島D之間的距離；(2)記∠CDB為α，∠CBD為β，求【答案】(1)2(2)2【分析】(1)在△ABD(2)在△BCD中，先利用正弦定理求出sin【詳解】（1）由題意可知：AB=BC=5因?yàn)榻茿為鈍角，sinA=3在△ABD中，由余弦定理得，A所以AD2+8AD?20=0所以小島A與小島D之間的距離為2．（2）在△BCD中，由正弦定理BCsinα所以sinC=sin(π?A因?yàn)锽C<BD，所以α為銳角，所以因?yàn)閟in(αcos(α所以sin(2=sinα【變式3-1】6．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）根據(jù)指令r,θr≥0,?180°<θ≤180°，機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作：先原地旋轉(zhuǎn)角度θ（θ為正時(shí)，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(1)現(xiàn)機(jī)器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，且面對x軸正方向，試給機(jī)器人下一個(gè)指令，使其移動(dòng)到點(diǎn)4,4；(2)機(jī)器人在完成該指令后，發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)17,0處有一小球正向坐標(biāo)原點(diǎn)作勻速直線滾動(dòng)，已知小球滾動(dòng)的速度為機(jī)器人直線行走速度的2倍，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，問機(jī)器人最快可在何處截住小球？并給出機(jī)器人截住小球所需的指令（參考數(shù)據(jù)：cos82°≈2【答案】(1)4(2)機(jī)器人最快可在7,0處截住小球，指令為5,?98°.【分析】（1）根據(jù)r,（2）利用余弦定理列方程，結(jié)合判別式以及“指令”求得正確答案.【詳解】（1）依題意可知r1=42+所以指令為42（2）設(shè)A17,0,B4,4，設(shè)機(jī)器人的速度為設(shè)機(jī)器人在C處截住小球，時(shí)間為t，BCAB=17?42由余弦定理得vt2整理得3vt解得vt=5（2vt=10）或vt當(dāng)BC=vt=5所以機(jī)器人最快可在C7,0此時(shí)r2cos∠OBC=32+25?492×42所以θ2故指令為5,?98°.【變式3-1】7．（2023·全國·高一專題練習(xí)