反常積分與含參變量的積分

反常積分與含參變量的積分第1頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)無窮積分&無窮積分收斂與發(fā)散的概念&無窮積分與級數(shù)&無窮積分的性質&無窮積分的斂散性判別法第2頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月一、無窮限的廣義積分第3頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月類似定義第4頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月注：若f(x)的原函數(shù)為F(x),無窮積分的牛頓萊布尼茲公式寫作第5頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月證第6頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月由函數(shù)極限的柯西準則，得定理11.1（Cauchy準則）

二、無窮積分的性質第7頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月性質1第8頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月性質2若f在任何有限區(qū)間[a,u]上可積，a<b,

則推論證第9頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月性質3若f在任何有限區(qū)間[a,u]上可積，且證再由柯西準則，第11頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月證畢。絕對收斂的無窮積分必是收斂的，但反之不然。性質4無窮積分有類似的分部積分法和換元法第12頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察下表：收斂收斂發(fā)散發(fā)散無窮積分與廣義調和級數(shù)都收斂，都發(fā)散.這說明無窮積分與級數(shù)之間存在著內在的聯(lián)系.對三、無窮限廣義積分與級數(shù)的關系第13頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

.無窮積分收斂證明提示:級數(shù)對任意數(shù)列收斂于同一個數(shù)，且第14頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月四、無窮積分的判別法定理1

注：由于關于上限u是單調遞增的

第15頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月證：第16頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月解第17頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月由定理3（Cauchy判別法）

設f定義于且在任何有限區(qū)間上可積，則有：第19頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月設f定義于且在任何有限區(qū)間[a，u]上可積，且：推論（Cauchy判別法極限形式）第20頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月例３解反常積分發(fā)散．第21頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月例5解反常積分收斂.第22頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

（積分第二中值定理）設函數(shù)f在[a,b]上可積，

（i）若函數(shù)g在[a,b]上減，

（ii）若函數(shù)g在[a,b]上增，

推論設函數(shù)f在[a,b]上可積，若g為單調函數(shù)，第23頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月推論設函數(shù)f在[a,b]上可積，若g為單調函數(shù)，證：若g為單調遞減函數(shù)，則h為非負、遞減函數(shù)。

第24頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月若g為單調遞增函數(shù)，只須令

同樣可證得。證畢。第25頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月狄利克雷判別法與阿貝爾判別法定理（狄利克雷（Dirichlet)判別法）

證第26頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月又因g為單調函數(shù)，

利用積分第二中值定理，根據(jù)柯西準則，證得收斂。

第27頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月定理（阿貝爾（Abel）判別法）

證第28頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月由狄利克雷（Dirichlet)判別法，第29頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月解：（1）當p>1時，由比較判別法請同學記憶本題結果。第30頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月由狄利克雷（Dirichlet)判別法，第31頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月例3證明下列無窮積分都是條件收斂的：解由例1，得條件收斂。由（1），得條件收斂。第32頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月

作業(yè)P275.34（2、4、6）

5（2、3）第33頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)瑕積分&瑕積分收斂與發(fā)散的概念&瑕積分斂散性判別法第34頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月一、無界函數(shù)的廣義積分-瑕積分第35頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月定義中c為瑕點，以上積分稱為瑕積分.第37頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月證第38頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月注意廣義積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用同一種表達方式，但其含義卻不同，遇到有限區(qū)間上的積分時，要仔細檢查是否有瑕點。廣義積分中的N-L公式，換元積分公式、分部積分公式仍然成立，不過代入上、下限時代入的是極限值。第39頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月如無窮限積分再如瑕積分第40頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月瑕積分和無窮積分之間的關系式--可以相互轉化第41頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月二、瑕積分的性質與收斂判別法一瑕積分的性質假設為函數(shù)的瑕點.瑕積的柯西收斂準則:定理11.1收斂即定理11.5收斂第42頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月性質1若和都收斂,為常數(shù),則也收斂,且性質1若和都收斂,為常數(shù),則也收斂,且第43頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月性質2若在任何有限區(qū)間上可積,則與同時收斂或同時發(fā)散,且有性質2若為的瑕點,則與同時收斂或同時發(fā)散,且有第44頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月性質3若在任何有限區(qū)間上可積,且有收斂,則亦必收斂,并有性質3若在任何有限區(qū)間上可積,且有收斂,則亦必收斂,并有絕對收斂的瑕積分,它自身也一定收斂.但是它的逆命題一般不成立.稱收斂而不絕對收斂者為條件收斂.第45頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月二比較判別法定理11．2(比較法則)設定義在上的兩個函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積,且滿足則當收斂時收斂.

(或者,當發(fā)散時,必發(fā)散).定理11．6(比較法則)設同為兩個函數(shù)和的瑕點,且在任何區(qū)間上可積,且滿足則當收斂時收斂.

(或者,當發(fā)散時,必發(fā)散).第46頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月推論1設定義于且在任何有限區(qū)間上可積，則有:(i)當且時收斂;(ii)當且時發(fā)散.推論1設定義于且在任何有限區(qū)間上可積，則有:(i)當且時收斂;(ii)當且時發(fā)散.第47頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月比較法則的極限形式推論2若和都在任何上可積,且則有:(i)當時,與同斂態(tài);(ii)當時，由收斂可推知也收斂;(iii)當時，由發(fā)散可推知也發(fā)散.推論2若且則有:(i)當時,與同斂態(tài);(ii)當時，由收斂可推知也收斂;(iii)當時，由發(fā)散可推知也發(fā)散.第48頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月柯西判別法選用作為比較對象推論3設定義于且在任何有限區(qū)間上可積,且則有:(i)當時,收斂;(ii)當時,發(fā)散.推論3設定義于且在任何有限區(qū)間上可積,且則有:(i)當時,收斂;(ii)當時,發(fā)散.第49頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月例1討論下列瑕積分的收斂性:2)2)瑕點為又故發(fā)散.第50頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月三狄利克雷判別法與阿貝爾判別法判別一般瑕積分收斂時,也有相應的狄利克雷判別狄利克雷判別法

阿貝爾（Abel）判別法

若在上有界，則收斂．若以a為瑕點的瑕積分收斂，

收斂．只敘述如下．由于證明與無窮積分的類似，法與阿貝爾判別法.故在此當時,單調趨于０,在上單調有界，則第51頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月第52頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月首頁×含參量積分：稱為格馬(Gamma)函數(shù)（寫作Γ函數(shù)）.它們在應用中經常出現(xiàn)，統(tǒng)稱為歐拉積分，稱為貝塔(Beta)函數(shù)（寫作B函數(shù)）.下面分別討論這兩個函數(shù)的收斂域四Γ函數(shù)與Β函數(shù)第53頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月首頁×1、Γ函數(shù)1.積分區(qū)間為無窮;特點:Γ函數(shù)2.當

s-1<0時，x=0為瑕點;寫Γ函數(shù)為如下兩個積分之和：第54頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月首頁×當

s≥

1時，為正常積分，當0<s<1時收斂.所以Γ函數(shù)在

s>0時收斂.即Γ函數(shù)的定義域為s>0

對任何實數(shù)

s，都是收斂的，特別當s>0時收斂.第55頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月2、B函數(shù)首頁×當

p≥

1時，I(p,q)為正常積分，當0<p<1時收斂.當

q≥

1時，J(p,q)為正常積分，當0<q<1時收斂.所以，當p>0,q>0時,B(p,q)收斂.即B(p,q)函數(shù)的定義域為p>0,q>0第56頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)含參量積分&含參量有限積分&含參量的無限積分第57頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§1

含參量正常積分

對多元函數(shù)其中的一個自變量進行積分形成的函數(shù)稱為含參量積分,它可用來構造新的非初等函數(shù).含參量積分包含正常積分和非正常積分兩種形式.

一、含參量正常積分的定義返回五、例題四、含參量正常積分的可積性三、含參量正常積分的可微性二、含參量正常積分的連續(xù)性第58頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月一、含參量正常積分的定義設是定義在矩形區(qū)域上的

定義在上以

y為自變量的一元函數(shù).倘若這時

在上可積,則其積分值

是定義在上的函數(shù).一般地,設為定義在區(qū)域二元函數(shù).當

x取上的定值時,函數(shù)是第59頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月上的二元函數(shù),其中c(x),d(x)為定義在上的連續(xù)函數(shù)(圖19-1),

若對于上每一固定的

x值,

作為

y的函

第60頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)在閉區(qū)間

上可積,則其積分值

是定義在上的函數(shù).用積分形式

(1)和

(2)所定義的這函數(shù)與通稱為定義在上的含參量

x的(正常)積分,

或簡稱為含參量積分.

第61頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月二、含參量正常積分的連續(xù)性定理19.1

()

若二元函數(shù)在矩

形區(qū)域上連續(xù),則函數(shù)在[a,b]上連續(xù).證

設對充分小的(若

x為區(qū)間的端點,

則僅考慮),于是

第62頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月由于在有界閉區(qū)域

R上連續(xù),從而一致連續(xù),

即對任意總存在對R內任意兩點

只要就有所以由(3),(4)可得,第63頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月即I(x)在上連續(xù).同理可證:

若在矩形區(qū)域

R上連續(xù),則含參

量的積分

在[c,d]上連續(xù).注1

對于定理19.1的結論也可以寫成如下的形式:第64頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月若在矩形區(qū)域

R上連續(xù),則對任何

都有

這個結論表明,定義在矩形區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),其極限運算與積分運算的順序是可以交換的.為任意區(qū)間.

注2由于連續(xù)性是局部性質,

定理19.1中條件第65頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月定理19.2

()

若二元函數(shù)在區(qū)

域上連續(xù),其

中c(x),d(x)為

上的連續(xù)函數(shù),則函數(shù)

在上連續(xù).證對積分(6)用換元積分法,令當y在c(x)與d(x)之間取值時,t在[0,1]上取值,且第66頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月所以從(6)式可得由于被積函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù),

由定理19.1得積分

(6)所確定的函數(shù)F(x)在[a,b]連續(xù).

第67頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月三、含參量正常積分的可微性定理19.3

()若函數(shù)

與其偏導

數(shù)都在矩形區(qū)域

上連續(xù),

則函數(shù)

在上可微,且第68頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月證對于內任意一點x,設(若

x為區(qū)間的端點,則討論單側函數(shù)),則由微分學的拉格朗日中值定理及在有界閉

域

R上連續(xù)(從而一致連續(xù)),對只要

就有第69頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月這就證明了對一切有第70頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月上連續(xù),c(x),d(x)為定義在上

定理19.4

(的可微性)設在

其值含于[p,q]內的可微函數(shù),則函數(shù)在上可微,且第71頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月證把F(x)看作復合函數(shù):由復合函數(shù)求導法則及變動上限積分的性質,有第72頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月注由于可微性也是局部性質,定理19.3中條件

f與其中為任意區(qū)間.

第73頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月四、含參量正常積分的可積性由定理19.1與定理19.2推得:定理19.5

()

若在矩形區(qū)域

上連續(xù),則

I(x)與

J(x)分別在和上可積.

這就是說:在連續(xù)性假設下,同時存在兩個求積順序不同的積分:與第74頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月為書寫簡便起見,今后將上述兩個積分寫作與前者表示先對y求積然后對x求積,后者則表示求積順序相反.它們統(tǒng)稱為累次積分.在連續(xù)性假設下,累次積分與求積順序無關.定理19.6若在矩形區(qū)域上

連續(xù),則

第75頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月證記其中對于則有因為與都在R上連續(xù),由

第76頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月定理19.3,故得因此對一切有當

時,即得取

就得到所要證明的(8)式.第77頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月例5

求解因為又由于函數(shù)上滿足定理19.6的

第78頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月條件,所以交換積分順序得到第79頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月首頁×例7解:

第80頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月復習思考題1.

參照定理19.1的證明,定理19.1中條件是否可減弱為:

(1)則

(2)驗證你的結論.2.若在上一致連續(xù)

,第81頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月能否推得在上一致連續(xù)?第82頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§2含參量反常積分第83頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月設是定義在無界區(qū)域上,若對每一個固定的,反常積分都收斂,則它的值是在區(qū)間上取值的函數(shù),表為稱為定義在上的含參量的無窮限反常積分,或簡稱為含參量反常積分.第84頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月由反常積分收斂的定義其中N

與x

有關.如果存在一個與無關的使得該不等式成立，就稱反常積分在區(qū)間[a,b]上一致收斂使得第85頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月對于含參量反常積分和函數(shù)則稱含參量反常積分在上一致收斂于.第86頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月注1

由定義,在上一致收斂的充要條件是

注2

由定義,

在上不一致收斂

的充要條件是

第87頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

討論含參量反常積分的一致收斂性.

解若則

于是第88頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月因此,含參量積分在上非一致收斂.而因此,含參量積分在上一致收斂.第89頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月一致收斂的柯西準則:含參量反常積分在上一致收斂的充要第90頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月

一致收斂的充要條件;含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是:對任一趨于的遞增數(shù)列(其中),函數(shù)項級數(shù)在一致收斂.第91頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若一致收斂。證明因為收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有且收斂，則關于第92頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月從而所以關于一致收斂。第93頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月證因為，有并且反常積分收斂所以第94頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月

狄利克雷判別法;證第95頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月于是,

由積分第二中值定理，第96頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月由一致收斂的柯西準則,在上一致收斂.

阿貝爾判別法;第97頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月證因為，反常積分收斂，從而對于參量y

它在[0,d]上一致收斂，函數(shù)對每個y，關于變量x

單調減少，且在[0,d]上一致有界：故由阿貝爾判別法，知在[0,d]上一致收斂第98頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月1.連續(xù)性定理設在上連續(xù)，關于在上一致收斂，則一元函數(shù)在上連續(xù)。證明因為在內一致收斂，所以因此，當時，第99頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月又在上連續(xù)，所以作為的函數(shù)在連續(xù)，于是從而，當時，有定理證畢。第100頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月2.積分順序交換定理設在上連續(xù)，關于在上一致收斂，則在可積，并且第101頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月3.積分號下求導的定理設在上連續(xù)，收斂，關于在上一致收斂，則在可導，且第102頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月證明因為在連續(xù)，由連續(xù)性定理在連續(xù)，沿區(qū)間積分，由積分順序交換定理，得到在上式兩端對求導，得定理證畢。第103頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)性即:第104頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月

可微性可微性定理表明在定理條件下,求導運算和積分運算可以交換.即第105頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月

可積性表明在一致收斂的條件下,積分可交換順序第106頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月第107頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月(2),含參量反常積分一致收斂的定義;(1),含參量反常積分的定義;(3),含參量反常積分一致收斂的判別;一致收斂的柯西準則:一致收斂的充要條件;魏爾斯特拉斯M判別法;第108頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月阿貝耳判別法;狄利克雷判別法;(4),含參量反常積分的性質;(i),連續(xù)性;(ii),可微性;(iii),可積性;第109頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§3

歐拉積分

在本節(jié)中我們將討論由含參量反常積分定義的兩個很重要的非初等函數(shù)

——一、函數(shù)函數(shù)二、返回函數(shù)和

函數(shù).

三、函數(shù)與函數(shù)之間的關系

第110頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月一．函數(shù)

含參量積分：稱為格馬函數(shù).

函數(shù)可以寫成如下兩個積分之和：

其中時是正常積分,當時是收斂

的無界函數(shù)反常積分(可用柯西判別法推得);

第111頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月時是收斂的無窮限反常積分(也可用柯西

判別法推得).所以含參量積分(1)在時收斂,即函數(shù)的定義域為.

1.在定義域內連續(xù)且有任意階導數(shù)在任何閉區(qū)間上,對于函數(shù)當

時有由于收

斂,

從而在上也一致收斂,對于當

第112頁，課件共