2022年湖南省株洲市景文中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022年湖南省株洲市景文中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.給出下列命題，錯誤命題的個數(shù)為（

）①一條直線和兩條直線平行線中的一條垂直，則它也和另一條垂直；②空間四點(diǎn)A、B、C、D，若直線AB和直線CD是異面直線，那么直線AC和直線BD也是異面直線；③空間四點(diǎn)若不在同一個平面內(nèi)，則其中任意三點(diǎn)不在同一條直線上；④若一條直線L與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則.A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B略2.已知集合，則集合=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知直線l的方程為x﹣y+=0，則它的傾斜角為（）A．B．C．D．參考答案：B4.有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為

(

)．A.

B.

C.

D.參考答案：B5.一個半徑為R的圓中,的圓心角所對的弧長為(

)

A.60R

B.

C.

D.R參考答案：D略6.已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)滿足：對任意正實(shí)數(shù)a，b，都有，且當(dāng)時恒有，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在(0,+∞)上是減函數(shù)

B．在(0,+∞)上是增函數(shù)C．在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+∞)上是增函數(shù)

D．在(0,1)上是增函數(shù)，在(1,+∞)上是減函數(shù)參考答案：A設(shè)則從而即所以在上是減函數(shù),故選A

7.設(shè)ΔABC的三個內(nèi)角為A、B、C，，則角C等于（

）A． B． C． D．參考答案：C8.下圖是長和寬分別相等的兩個矩形．給定下列三個命題：①存在三棱柱，其正視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱柱，其正視圖、俯視圖如下圖；③存在圓柱，其正視圖、俯視圖如下圖．其中真命題的個數(shù)是()A．3

B．2C．1

D．0參考答案：A9.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定參考答案：A【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷．【分析】根據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公式化簡求得sinA的值進(jìn)而求得A，判斷出三角形的形狀．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形為直角三角形，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵時利用正弦定理把等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，屬于基本知識的考查．10.如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一個元素則a的值是（）A．0 B．0或1 C．﹣1 D．0或﹣1參考答案：D【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【分析】根據(jù)集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一個元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一個根，然后分a=0和a≠0兩種情況討論，求出a的值即可．【解答】解：根據(jù)集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一個元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一個根，①a=0，，滿足題意；②a≠0時，則應(yīng)滿足△=0，即22﹣4a×（﹣1）=4a+4=0解得a=﹣1．所以a=0或a=﹣1．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列的前項和，則首項______，當(dāng)時，______參考答案：，試題分析：由可得:當(dāng)時，；當(dāng)時，考點(diǎn)：由求12.命題是真命題是命題是真命題的（填“充分”、“必要”或“充要”）條件．參考答案：充分13.△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A(4,6)，B(7，6),C(1，8)，D為BC的中點(diǎn)，則向量的

坐標(biāo)為__________．參考答案：(0,1)14.若函數(shù)，則=

.參考答案：-115.f（x）=x2+2x+1，x∈[﹣2，2]的最大值是．參考答案：9【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】先求對稱軸，比較對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系，看誰離對稱軸最遠(yuǎn)即可．【解答】解：∵f（x）=x2+2x+1，∴開口向上，對稱軸x=﹣1，∵開口向上的二次函數(shù)離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大∴f（x）在[﹣2，2]上的最大值為f（2）=9故答案為

9．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，開口向上的二次函數(shù)離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，開口向下的二次函數(shù)離對稱軸越近函數(shù)值越小．16.函數(shù)f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值．【分析】展開兩角和的正弦，合并同類項后再用兩角差的正弦化簡，則答案可求．【解答】解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值為1．故答案為：1．17.在△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且=a，a=2，若b∈[1，3]，則c的最小值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得：=sinC，結(jié)合余弦定理，可得3cosC=sinC，從而可求tanC，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC，從而可求c2=b2﹣2b﹣12=（b﹣）2+9，結(jié)合范圍b∈[1，3]，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得c的最小值．【解答】解：∵=a，∴由正弦定理可得：=sinC，整理可得：a2+b2﹣c2=，又∵由余弦定理可得：a2+b2﹣c2=2abcosC，∴2abcosC=，整理可得：3cosC=sinC，∴解得：tanC=，cosC==，∴c2=b2﹣2b﹣12=（b﹣）2+9，∵b∈[1，3]，∴當(dāng)b=時，c取最小值為3．故答案為：3．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若向量的夾角為，求的值.參考答案：解：（1）由可得,……………………2分即，化簡可得，則，…………6分

（2）由題意可得，，，

而由的夾角為可得，

因此有，則.

…………12分19.已知數(shù)列{an}滿足，，.（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和Tn，求證：參考答案：（1）證明見解析，；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可整理出，從而可證得結(jié)論；利用等比數(shù)列通項公式首先求解出，再整理出；（2）根據(jù)可求得，從而得到的通項公式，利用裂項相消法求得，從而使問題得證.【詳解】（1）由得：即，且數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列數(shù)列的通項公式為：（2）由（1）得：又

即：【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、求解等比數(shù)列通項公式、裂項相消法求解數(shù)列前項和的問題，屬于常規(guī)題型.20.（本小題滿分12分）投擲一個質(zhì)地均勻，每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面中，有兩個面的數(shù)字是，兩個面的數(shù)字是2，兩個面的數(shù)字是4.將此玩具連續(xù)拋擲兩次，以兩次朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字分別作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).（1）求點(diǎn)P落在區(qū)域上的概率；（2）若以落在區(qū)域C上的所有點(diǎn)為頂點(diǎn)作面積最大的多邊形區(qū)域M，在區(qū)域C上隨機(jī)撒一粒豆子，求豆子落在區(qū)域M上的概率.參考答案：解：（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)有：（0，0），（0，2），（0，4），（2，0），（2，2），（2，4），（4，0），（4，2），（4，4），共9種，其中落在區(qū)域共4種.故點(diǎn)P落在區(qū)域

….6分

（2）區(qū)域M為一邊長為2的正方形，其面積為4，區(qū)域C的面積為10，則豆子落在區(qū)域M上的概率為

….12略21.(本小題滿分12分)電信局為了滿足客戶不同需要，設(shè)有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時間(分鐘)之間關(guān)系如下圖所示(其中MN∥CD).(1)分別求出方案A、B應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時間x(分鐘)的函數(shù)表達(dá)式f(x)和g(x)；(2)假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A、B兩種優(yōu)惠方案？并說明理由.參考答案：略22.（13分）醫(yī)學(xué)上為了研究傳染病在傳播的過程中病毒細(xì)胞的生長規(guī)律及其預(yù)防措施，將一種病毒細(xì)胞的m個細(xì)胞注入一只小白鼠的體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗過程中，得到病毒細(xì)胞的數(shù)量與時間的關(guān)系記錄如下表．時間（小時）1234567病毒細(xì)胞總數(shù)（個）m2m4m8m16m32m64m已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過m×108的時候小白鼠將死亡．但有一種藥物對殺死此種病毒有一定的效果，用藥后，即可殺死其體內(nèi)的大部分病毒細(xì)胞．（1）在16小時內(nèi)，寫出病毒細(xì)胞的總數(shù)y（個）與時間x（小時）的函數(shù)關(guān)系式．（2）為了使小白鼠在實(shí)驗過程中不死亡，最遲應(yīng)在何時注射該種藥物？（精確到小時，參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010．）參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．專題： 應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，即可得到函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)最遲應(yīng)在第n小時時注射該種藥物，由m?2n﹣1≤m×108，即可求得結(jié)論．解答： （1）由題