江西省贛州市象湖中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

江西省贛州市象湖中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，則A∩B=（） A． {0} B． {1} C． {0，1} D． {0，1，2}參考答案：C考點(diǎn)： 交集及其運(yùn)算．專題： 計(jì)算題．分析： 直接根據(jù)交集的定義即可求解．解答： ∵A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}∴A∩B={0，1}故選C點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了交集的定義，屬?？碱}型，較易．解題的關(guān)鍵是透徹理解交集的定義，但此題一定要注意集合A是孤立的點(diǎn)集否則極易出錯(cuò)!2.若函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】由題意得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，，然后畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，由函數(shù)的圖象以及余弦圖象的對(duì)稱軸求出的值，判斷出的范圍，即可求出的取值范圍．【詳解】由題意得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，如圖所示．由圖象得，當(dāng)時(shí)，方程恰好有三個(gè)根．令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．不妨設(shè)，由題意得點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以．又結(jié)合圖象可得，所以，即的取值范圍為．故選A．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是借助函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合求解，解題時(shí)注意余弦型函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為只判斷零點(diǎn)所在的范圍的問(wèn)題求解，考查畫(huà)圖、用圖以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3.若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，則M∩N=(

)A．{0} B．{1} C．{0，1，2} D．{0，1}參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】集合．【分析】直接利用交集及其運(yùn)算得答案．【解答】解：由M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，得M∩N={x|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．4.在R上定義運(yùn)算:=ad-bc,若不等式≥1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為()A.－ B.－ C. D.參考答案：D【分析】先根據(jù)定義化簡(jiǎn)不等式，并參變分離得x2-x+1≥a2-a，根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化為x2-x+1最小值不小于a2-a，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最小值，得關(guān)于a不等式，解不等式得結(jié)果.【詳解】由定義知,不等式≥1等價(jià)于x2-x-(a2-a-2)≥1,所以x2-x+1≥a2-a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立.因?yàn)閤2-x+1=+≥,所以a2-a≤,解得-≤a≤,則實(shí)數(shù)a的最大值為.選D.【點(diǎn)睛】對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.5.已知為平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，，若M、N、P三點(diǎn)共線，則λ=（）A．﹣9 B．﹣4 C．4 D．9參考答案：B【考點(diǎn)】96：平行向量與共線向量；I6：三點(diǎn)共線．【分析】利用向量共線定理、共面向量基本定理即可得出．【解答】解：∵M(jìn)、N、P三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)k使得=k，∴=k，又為平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，可得2=kλ，﹣3=6k，解得λ=﹣4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量共線定理、共面向量基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.按如下左圖所示的程序框圖運(yùn)算，若輸出k=2，則輸入x的取值范圍是

(

)A．(28，57

B．(28，57)

C．[28，57

D．[28，57]參考答案：A7.現(xiàn)有A1，A2，．．．．A5,這5個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽(全部比賽過(guò)程中任何一隊(duì)都要分別與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)且只比賽一場(chǎng))．當(dāng)比賽進(jìn)行到一定階段時(shí)，統(tǒng)計(jì)A1，A2，A3，A4這4個(gè)球隊(duì)已經(jīng)賽過(guò)的場(chǎng)數(shù)分別為:A1隊(duì)4場(chǎng)，A2隊(duì)3場(chǎng)，A3隊(duì)2場(chǎng)，A4隊(duì)1場(chǎng)，則A5隊(duì)比賽過(guò)的場(chǎng)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B【分析】根據(jù)題意，分析可得A1隊(duì)必須和A2，A3，A4，A5這四個(gè)球隊(duì)各賽一場(chǎng)，進(jìn)而可得A2隊(duì)只能和A3，A4，A5中的兩個(gè)隊(duì)比賽，又由A4隊(duì)只賽過(guò)一場(chǎng)，分析可得A2隊(duì)必須和A3、A5各賽1場(chǎng)，據(jù)此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，A1，A2，A3，A4，A5五支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，已知A1隊(duì)賽過(guò)4場(chǎng)，所以A1隊(duì)必須和A2，A3，A4，A5這四個(gè)球隊(duì)各賽一場(chǎng)，已知A2隊(duì)賽過(guò)3場(chǎng)，A2隊(duì)已和A1隊(duì)賽過(guò)1場(chǎng)，那么A2隊(duì)只能和A3，A4，A5中的兩個(gè)隊(duì)比賽，又知A4隊(duì)只賽過(guò)一場(chǎng)（也就是和A1隊(duì)賽過(guò)的一場(chǎng)），所以A2隊(duì)必須和A3、A5各賽1場(chǎng)，這樣滿足A3隊(duì)賽過(guò)2場(chǎng)，從而推斷A5隊(duì)賽過(guò)2場(chǎng)．故選：B．8.已知

滿足，則直線必過(guò)定點(diǎn)

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C9.要使與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩側(cè),則有（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D10.若函數(shù)f（x）=（k﹣1）ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則g（x）=loga（x+k）的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，函數(shù)在原點(diǎn)出有定義，得到函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)，求出k的值，根據(jù)函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，看出底數(shù)的范圍，得到結(jié)果．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=（k﹣1）ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函數(shù)，∴f（0）=0∴k=2，又∵f（x）=ax﹣a﹣x為減函數(shù)，所以1＞a＞0，所以g（x）=loga（x+2）定義域?yàn)閤＞﹣2，且遞減，故選：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

．參考答案：(－3，－1]或（－3，－1）由得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，則拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，等價(jià)求的遞增區(qū)間，∵的遞增區(qū)間是，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為.

12.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,則角A的大小為

.參考答案：13.

（填“”或“”）.參考答案：>14.如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是

。

參考答案：15.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則

．參考答案：16.如果冪函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），則f（4）的值等于．參考答案：2【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】求出冪函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)值即可．【解答】解：冪函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），所以，解得a=．函數(shù)的解析式為：f（x）=．f（4）==2．故答案為：2．17.已知（），則________.（用m表示）參考答案：【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合角所在的象限，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故，解得，又，，所?故填.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）某工廠生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過(guò)過(guò)濾后才能排放，已知在過(guò)濾過(guò)程中，廢氣中的污染物含量p（單位：毫克/升）與過(guò)濾時(shí)間t（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系為：p(t)=p0（式中的e為自然對(duì)數(shù)的底，p0為污染物的初始含量）．過(guò)濾1小時(shí)后檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)污染物的含量減少了．（Ⅰ）求函數(shù)關(guān)系式p（t）；（Ⅱ）要使污染物的含量不超過(guò)初始值的，至少還需過(guò)濾幾小時(shí)？（lg2≈0.3）參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)，求得e﹣k，即可得到所求；（Ⅱ）由，化簡(jiǎn)整理，取以10為底的對(duì)數(shù)，計(jì)算即可得到所求最小值．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)，得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）兩邊取10為底對(duì)數(shù)，并整理，得t（1﹣3lg2）≥3，∴t≥30﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分因此，至少還需過(guò)濾30小時(shí)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．19.（本題滿分15分）已知向量

函數(shù)f(x)=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，2）。（1）求實(shí)數(shù)m的值。

（2）求函數(shù)f(x)的最小值及取得最小值時(shí)的x的集合；（3）函數(shù)y=f(x)的圖象可以由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？參考答案：解：（1）∵∴f(x)==m(1+sin2x)+cos2x,

…………2分;

…………2分(2)由（1）知：f(x)=1+sin2x+cos2x=

…………2分當(dāng)=–1時(shí)，f(x)取得最小值1–；

…………2分此時(shí)，所以，

…………2分所以x的集合為{x|}

…………1分（3）函數(shù)y=f(x)的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到

y=的圖象，再將y=的圖象上所有的點(diǎn)向上平移1個(gè)單位得到。

…………4分略20.如圖所示，某街道居委會(huì)擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個(gè)活動(dòng)中心，其中米．活動(dòng)中心東西走向，與居民樓平行.從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形ABCD，上部分是以DC為直徑的半圓.為了保證居民樓住戶的采光要求，活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)GE不超過(guò)2.5米，其中該太陽(yáng)光線與水平線的夾角滿足.（1）若設(shè)計(jì)米，米，問(wèn)能否保證上述采光要求？（2）在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計(jì)AB與AD的長(zhǎng)度，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大？（注：計(jì)算中π取3）參考答案：（Ⅰ）能（Ⅱ）米且米【分析】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為y=x+b，利用直線與圓相切，求出直線方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出結(jié)論；（2）欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長(zhǎng)EG恰為2.5米，即可求出截面面積最大.【詳解】解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）因?yàn)锳B＝18米，AD＝6米，所以半圓的圓心為H(9,6)，半徑r＝9.設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為y＝－x＋b，即3x＋4y－4b＝0，則由＝9，解得b＝24或b＝(舍)．故太陽(yáng)光線所在直線方程為y＝－x＋24,令x＝30，得EG＝1.5＜2.5.所以此時(shí)能保證上述采光要求．（2）設(shè)AD＝h米，AB＝2r米，則半圓的圓心為H(r，h)，半徑為r.方法一設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為y＝－x＋b，即3x＋4y－4b＝0，由＝r，解得b＝h＋2r或b＝h－(舍)．故太陽(yáng)光線所在直線方程為y＝－x＋h＋2r，令x＝30，得EG＝2r＋h－，由EG≤，得h≤25－2r.所以S＝2rh＋πr2＝2rh＋×r2≤2r(25－2r)＋×r2＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)AB＝20米且AD＝5米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大．方法二欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長(zhǎng)EG恰為2.5米，則此時(shí)點(diǎn)G為(30,2.5)，設(shè)過(guò)點(diǎn)G的上述太陽(yáng)光線為l1，則l1所在直線方程為y－＝－(x－30)，即3x＋4y－100＝0.由直線l1與半圓H相切，得r＝.而點(diǎn)H(r，h)在直線l1的下方，則3r＋4h－100＜0，即r＝－，從而h＝25－2r.又S＝2rh＋πr2＝2r(25－2r)＋×r2＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)AB＝20米且AD＝5米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大．【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)直線與圓的相切位置關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題，考查二次函數(shù)配方法的運(yùn)用和分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題．21.已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為﹣3，前三項(xiàng)的積為8．（1）求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；8G：等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得，，解方程可求a1，d，進(jìn)而可求通項(xiàng)（II）由（I）的通項(xiàng)可求滿足條件a2，a3，a1成等比的通項(xiàng)為an=3n﹣7，則|an|=|3n﹣7|=，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a2=a1+d，a3=a1+2d由題意可得，解得或由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，an=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5