高考數(shù)學(xué)二輪專題學(xué)與練 05 不等式與線性規(guī)劃（考點(diǎn)解讀）（含解析）

專題5不等式與線性規(guī)劃與區(qū)域有關(guān)的面積、距離、參數(shù)范圍問題及線性規(guī)劃問題；利用基本不等式求函數(shù)最值、運(yùn)用不等式性質(zhì)求參數(shù)范圍、證明不等式是高考熱點(diǎn)．高考備考時(shí)，應(yīng)切實(shí)理解與線性規(guī)劃有關(guān)的概念，要熟練掌握基本不等式求最值的方法，特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧方法．要特別加強(qiáng)綜合能力的培養(yǎng)，提升運(yùn)用不等式性質(zhì)分析、解決問題的能力．1.熟記比較實(shí)數(shù)大小的依據(jù)與基本方法．①作差(商)法；②利用函數(shù)的單調(diào)性．2．特別注意熟記活用以下不等式的基本性質(zhì)(1)乘法法則：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；(4)乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)；3．熟練應(yīng)用基本不等式證明不等式與求函數(shù)的最值．4．牢記常見類型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三個(gè)二次之間的關(guān)系求解．(2)簡單分式、高次不等式，關(guān)鍵是熟練進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．(3)簡單指、對不等式利用指、對函數(shù)的單調(diào)性求解．5．簡單線性規(guī)劃(1)應(yīng)用特殊點(diǎn)檢驗(yàn)法判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域．(2)簡單的線性規(guī)劃問題解線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵在于根據(jù)條件寫出線性約束關(guān)系式及目標(biāo)函數(shù)，必要時(shí)可先做出表格，然后結(jié)合線性約束關(guān)系式作出可行域，在可行域中求出最優(yōu)解．高頻考點(diǎn)一不等式性質(zhì)及解不等式例1、(1)若a，b∈R，且a>|b|，則()A．a(chǎn)<－bB．a(chǎn)>bC．a(chǎn)2<b2D.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)(2)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，則不等式x2－bx－a<0的解集是()A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【解析】(1)∵a>|b|，|b|≥b，∴a>b.故選B.(2)∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，∴易知a<0且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－\f(5,6)，,－\f(1,a)＝\f(1,6)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝5，))∴不等式x2－bx－a<0可化為x2－5x＋6<0，解得2<x<3.故選A.【答案】(1)B(2)A【方法技巧】1．解一元二次不等式主要有兩種方法：圖象法和因式分解法．2．解含參數(shù)的“一元二次不等式”時(shí)，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號進(jìn)行討論；其次根據(jù)相應(yīng)一元二次方程的根是否存在，即Δ的符號進(jìn)行討論；最后在根存在時(shí)，根據(jù)根的大小進(jìn)行討論．3．解決恒成立問題可以利用分離參數(shù)法，一定要弄清楚誰是自變量，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是自變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．4．對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．5．解決不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，可先求出相應(yīng)函數(shù)這個(gè)區(qū)間上的最值，再轉(zhuǎn)化為與最值有關(guān)的不等式問題.【舉一反三】(1)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋2＞0，,|x|＜1))的解集為()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【解析】由x(x＋2)＞0得x＞0或x＜－2；由|x|＜1得－1＜x＜1，所以不等式組的解集為{x|0＜x＜1}，故選C.【答案】C(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，則使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))【解析】∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－eq\f(1,1＋－x2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．∵當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2)，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)遞增，y＝－eq\f(1,1＋x2)也遞增，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上可知：f(x)＞f(2x－1)?f(|x|)＞f(|2x－1|)?|x|＞|2x－1|?x2＞(2x－1)2?3x2－4x＋1＜0?eq\f(1,3)＜x＜1.故選A.速解法：令x＝0，f(x)＝f(0)＝－1＜0.f(2x－1)＝f(－1)＝ln2－eq\f(1,2)＝ln2－lneq\r(e)＞0.不適合f(x)＞f(2x－1)，排除C.令x＝2，f(x)＝f(2)＝ln3－eq\f(1,5)，f(2x－1)＝f(3)，由于f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)在(0，＋∞)上為增函數(shù)∴f(2)＜f(3)，不適合．排除B、D，故選A.【答案】A高頻考點(diǎn)二基本不等式及應(yīng)用例2、(1)已知x，y∈R且x－2y－4＝0，則2x＋eq\f(1,4y)的最小值為()A．4B．8C．16D．256(2)設(shè)正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，若不等式eq\f(1,x)＋eq\f(a,y)≥4對任意的x，y成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[4，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1，＋∞)D．(4，＋∞)【解析】(1)∵x－2y－4＝0，∴x－2y＝4，∴2x＋eq\f(1,4y)≥2eq\r(2x－2y)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝－1時(shí)等號成立，∴2x＋eq\f(1,4y)的最小值為8，故選B.(2)∵x＋y＝1，且x>0，y>0，a>0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(a,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))(x＋y)＝a＋1＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋1＋2eq\r(a)，∴a＋2eq\r(a)＋1≥4，即a＋2eq\r(a)－3≥0，解得a≥1，故選C.【答案】(1)B(2)C【方法技巧】1．常數(shù)代換法求最值的關(guān)鍵在于常數(shù)的變形，利用此方法求最值應(yīng)注意以下三個(gè)方面：(1)注意條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)，這是解題的基礎(chǔ)；(2)將常數(shù)化成“1”，這是代數(shù)式等價(jià)變形的基礎(chǔ)；(3)利用基本不等式求解最值時(shí)要滿足“一正、二定、三相等”，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解．2．拼湊法就是將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法適用于已知關(guān)于變量的等式，求解相關(guān)代數(shù)式的最值問題，或已知函數(shù)解析式，求函數(shù)的最值問題.【舉一反三】若，且，則下列不等式成立的是(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以選B.高頻考點(diǎn)三求線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值例3、【2019年高考浙江卷】若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是A．-1 B．1C．10 D．12【答案】C【解析】畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示。因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.平移直線SKIPIF1<0可知，當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值.聯(lián)立兩直線方程可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.即點(diǎn)A坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選C.【舉一反三】(2018年天津卷)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.，本題選擇C選項(xiàng).【方法技巧】1．解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟(1)畫出可行域；(2)根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點(diǎn)；(3)求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值．2．解決線性規(guī)劃問題應(yīng)把握三點(diǎn)(1)首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決．(2)畫可行域時(shí)應(yīng)注意區(qū)域是否包含邊界．(3)對目標(biāo)函數(shù)z＝Ax＋By中B的符號，一定要注意B的正負(fù)與z的最值的對應(yīng)，要結(jié)合圖形分析.【變式探究】【2017課標(biāo)II，理5】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足約束條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】x、y滿足約束條件SKIPIF1<0的可行域如圖：z=2x+y經(jīng)過可行域的A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，由SKIPIF1<0解得A(?6,?3)，則z=2x+y的最小值是：?15.故選：A.【變式探究】(1)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))則z＝x＋y的最大值為________．【解析】基本法：作出可行域，如圖：由z＝x＋y得y＝－x＋z，當(dāng)直線y＝－x＋z過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))時(shí)，z取得最大值，zmax＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).速解法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,x－2y＝0))得點(diǎn)(－2，－1)，則z＝－3由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,x＋2y－2＝0))得點(diǎn)(0,1)，則z＝1由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0,x＋2y－2＝0))得點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))則z＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)(2)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥a，,x－y≤－1，))且z＝x＋ay的最小值為7，則a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－3【解析】基本法：二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)，\f(a＋1,2))).平移直線x＋ay＝0，可知在點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)，\f(a＋1,2)))處，z取得最小值，因此eq\f(a－1,2)＋a×eq\f(a＋1,2)＝7，化簡得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5，但a＝－5時(shí)，z取得最大值，故舍去，答案為a＝3，故選B.速解法：由z＝x＋ay得y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(z,a)當(dāng)a＜0時(shí)，由可行域知，當(dāng)y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(z,a)過A點(diǎn)時(shí)eq\f(z,a)最小，z有最大值，不合題意．當(dāng)a＞0時(shí)，y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(z,a)過A點(diǎn)時(shí)，eq\f(z,a)最小，z也最小，故只能選B.【答案】B1．【2019年高考全國II卷理數(shù)】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日SKIPIF1<0點(diǎn)的軌道運(yùn)行．SKIPIF1<0點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，SKIPIF1<0點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律，r滿足方程：SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0的值很小，因此在近似計(jì)算中SKIPIF1<0，則r的近似值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<02．【2019年高考全國II卷理數(shù)】若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)镾KIPIF1<0，知B錯(cuò)，排除B；取SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知D錯(cuò)，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)SKIPIF1<0是增函數(shù)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選C．3．【2019年高考北京卷理數(shù)】若x，y滿足SKIPIF1<0，且y≥?1，則3x+y的最大值為A．?7 B．1 C．5 D．7【答案】C【解析】由題意SKIPIF1<0作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè)SKIPIF1<0,當(dāng)直線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0取最大值5.故選C．4．【2019年高考北京卷理數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=SKIPIF1<0lgSKIPIF1<0，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1，2)．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1【答案】A【解析】兩顆星的星等與亮度滿足SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故選：A．5．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件SKIPIF1<0，則目標(biāo)函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線SKIPIF1<0在y軸上的截距，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選C.6．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】化簡不等式，可知SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，故“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件，故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件.7．【2019年高考浙江卷】若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是A．-1 B．1C．10 D．12【答案】C【解析】畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示。因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.平移直線SKIPIF1<0可知，當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值.聯(lián)立兩直線方程可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.即點(diǎn)A坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選C.8．【2019年高考浙江卷】若SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，充分性成立；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，滿足SKIPIF1<0，但此時(shí)SKIPIF1<0，必要性不成立，綜上所述，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件.9．【2019年高考全國II卷理數(shù)】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為_________．(本題第一空2分，第二空3分．)【答案】26，SKIPIF1<0【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有SKIPIF1<0個(gè)面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交正方體棱于SKIPIF1<0，由半正多面體對稱性可知，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即該半正多面體棱長為SKIPIF1<0．10．【2019年高考北京卷理數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．【答案】①130；②15.【解析】(1)SKIPIF1<0,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付SKIPIF1<0元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為SKIPIF1<0元,SKIPIF1<0元時(shí),李明得到的金額為SKIPIF1<0,符合要求.SKIPIF1<0元時(shí),有SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0元.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.11．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】方法一：SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號成立.又因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號，結(jié)合SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0可以取到3，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.方法二：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號成立，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.1.(2018年北京卷)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A.B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以，又，則，故選D。2.(2018年浙江卷)已知成等比數(shù)列，且．若，則A.B.C.D.【答案】B【解析】令則，令得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，若公比，則，不合題意；若公比，則但，即，不合題意；因此，，選B.3.(2018年全國I卷理數(shù))設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A.B.C.D.【答案】B【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.4.(2018年北京卷)設(shè)是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則的通項(xiàng)公式為__________．【答案】【解析】5.(2018年江蘇卷)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則使得成立的n的最小值為________．【答案】27【解析】設(shè)，則由得所以只需研究是否有滿足條件的解，此時(shí)，，為等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)，且.由得滿足條件的最小值為.6.(2018年全國I卷理數(shù))記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_____________．【答案】【解析】根據(jù)，可得，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，以2為公布的等比數(shù)列，所以，故答案是.7.(2018年浙江卷)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{(bn+1?bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n．(Ⅰ)求q的值；(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由是的等差中項(xiàng)得，所以，解得.由得，因?yàn)椋?(Ⅱ)設(shè)，數(shù)列前n項(xiàng)和為.由解得.由(Ⅰ)可知，所以，故，.設(shè)，所以，因此，又，所以.8.(2018年天津卷)設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列.已知，，，.(I)求和的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，(i)求；(ii)證明.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)(i).(ii)證明見解析.【解析】(I)設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由可得.因?yàn)椋傻?，?設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得由，可得從而故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為(II)(i)由(I)，有，故.(ii)因?yàn)?，所?.(2018年江蘇卷)設(shè)是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列．(1)設(shè)，若對均成立，求d的取值范圍；(2)若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍(用表示)．【答案】(1)d的取值范圍為．(2)d的取值范圍為，證明見解析。【解析】(1)由條件知：．因?yàn)閷=1，2，3，4均成立，即對n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．因此，d的取值范圍為．(2)由條件知：．若存在d，使得(n=2，3，···，m+1)成立，即，即當(dāng)時(shí)，d滿足．因?yàn)?，則，從而，，對均成立．因此，取d=0時(shí)，對均成立．下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值()．①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有，從而．因此，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列的最大值為．②設(shè)，當(dāng)x>0時(shí)，，所以單調(diào)遞減，從而<f(0)=1．當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列的最小值為．因此，d的取值范圍為．10.(2018年江蘇卷)設(shè)，對1，2，···，n的一個(gè)排列，如果當(dāng)s<t時(shí)，有，則稱是排列的一個(gè)逆序，排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù)．(1)求的值；(2)求的表達(dá)式(用n表示)．【答案】(1)25(2)n≥5時(shí)，【解析】(1)記為排列abc的逆序數(shù)，對1，2，3的所有排列，有，所以．對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置．因此，．(2)對一般的n(n≥4)的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)：12…n，所以．逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，所以．為計(jì)算，當(dāng)1，2，…，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n+1添加進(jìn)原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置．因此，．當(dāng)n≥5時(shí)，，因此，n≥5時(shí)，．11.(2018年全國Ⅱ卷理數(shù))記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最小值．【答案】(1)an=2n–9，(2)Sn=n2–8n，最小值為–16．【解析】(1)設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9．(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16．所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16．12.(2018年全國Ⅲ卷理數(shù))等比數(shù)列中，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和．若，求．【答案】(1)或(2)【解析】(1)設(shè)的公比為，由題設(shè)得．由已知得，解得(舍去)，或．故或．(2)若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解．若，則．由得，解得．綜上，．1.(2018年天津卷)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.，本題選擇C選項(xiàng).2.(2018年全國I卷理數(shù))已知集合，則A.B.C.D.【答案】B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故選B.3.(2018年全國Ⅲ卷理數(shù))設(shè)，，則A.B.C.D.【答案】B【解析】.,即又即故選B.4.(2018年浙江卷)若滿足約束條件則的最小值是___________，最大值是___________．【答案】(1).-2(2).8【解析】作可行域，如圖中陰影部分所示，則直線過點(diǎn)A(2,2)時(shí)取最大值8，過點(diǎn)B(4,-2)時(shí)取最小值-2.5.(2018年天津卷)已知，且，則的最小值為_____________.【答案】【解析】由可知，且：，因?yàn)閷τ谌我鈞，恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.綜上可得的最小值為.6.(2018年北京卷)若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y–x的最小值是__________．【答案】3【解析】作可行域，如圖，則直線過點(diǎn)A(1,2)時(shí)，取最小值3.7.(2018年江蘇卷)在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．【答案】9【解析】由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則的最小值為.8.(2018年全國I卷理數(shù))若，滿足約束條件，則的最大值為_____________．【答案】6【解析】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示：由可得，畫出直線，將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值，由，解得，此時(shí)，故答案為6.9.(2018年全國Ⅱ卷理數(shù))若滿足約束條件則的最大值為__________．【答案】9【解析】作可行域，則直線過點(diǎn)A(5,4)時(shí)取最大值9.1.【2017北京，理4】若x，y滿足SKIPIF1<0則x+2y的最