高考數學壓軸難題歸納總結培優(yōu)專題2.9 已知不等恒成立討論單調或最值 (含解析)

高考資源網（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。專題2.9已知不等恒成立討論單調或最值【題型綜述】不等式恒成立的轉化策略一般有以下幾種：①分離參數＋函數最值；②直接化為最值＋分類討論；③縮小范圍＋證明不等式；④分離函數＋數形結合。通過討論函數的單調性及最值，直接化為最值的優(yōu)點是函數結構簡單，是不等式恒成立的通性通法，高考參考答案一般都是以這種解法給出，缺點是一般需要分類討論，解題過程較長，解題層級數較多，不易掌握分類標準。【典例指引】例1．設SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的解析式；（Ⅱ）求證：SKIPIF1<0；（Ⅲ）設SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導】（Ⅰ）由導數值得切線斜率，進而得切線方程，即可求函數f（x）的解析式；（Ⅱ）令SKIPIF1<0，求導證得SKIPIF1<0；（Ⅲ）SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0時，由（Ⅰ）得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，進而得SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0恒成立，②當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞增，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0不會恒成立，進而得的取值范圍．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調遞增．所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0）．所以SKIPIF1<0．點睛：導數問題經常會遇見恒成立的問題：（1）根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題；（2）若SKIPIF1<0就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0恒成立，可轉化為SKIPIF1<0（需在同一處取得最值）．例2．函數.（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）若且滿足：對，，都有，試比較與的大小，并證明.【思路引導】（1）求出SKIPIF1<0，討論兩種情況分別令SKIPIF1<0可得增區(qū)間，SKIPIF1<0可得得減區(qū)間；（2）由（Ⅰ）知在上單調遞減，在上單調遞增，所以對，，都有等價于，可得，令，研究其單調性，可得，進而可得結果.（Ⅱ）當時，由得.由（Ⅰ）知在上單調遞減，在上單調遞增，所以對，，都有等價于即解得；令，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；又，所以.即，所以.例3．已知函數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為自然對數的底數）在點SKIPIF1<0處的切線經過點SKIPIF1<0．（Ⅰ）討論函數SKIPIF1<0的單調性；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導】（Ⅰ）求出SKIPIF1<0，由過點SKIPIF1<0的直線的斜率為SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，討論兩種情況，分別由SKIPIF1<0得增區(qū)間，SKIPIF1<0得減區(qū)間；（Ⅱ）原不等式等價于不等式SKIPIF1<0恒成立，利用導數研究SKIPIF1<0的單調性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得結果.（Ⅱ）不等式SKIPIF1<0恒成立，即不等式SKIPIF1<0恒成立，設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0單調遞增且不存在最小值，不滿足題意；當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞增，所以SKIPIF1<0，要使得SKIPIF1<0恒成立，只需SKIPIF1<0恒成立，由于SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，也即不等式SKIPIF1<0恒成立，所以實數SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．【同步訓練】1．已知函數SKIPIF1<0.（1）當SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的圖象在點SKIPIF1<0處的切線方程；（2）若對任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.【思路引導】（1）由于是在那點，所以求導可得（2）對f(x)求導SKIPIF1<0，再求導SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以對SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分類討論。單調遞增，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0單調遞增，SKIPIF1<0恒成立；當SKIPIF1<0時，存在當SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減，在SKIPIF1<0單調遞增，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不合題意，綜上，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.點睛：函數與導數中恒成立與存在性問題，一般是轉化成最值問題，常用的兩種處理方法：（1）分離參數（2）帶參求導，本題采用帶參求導。2．已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若曲線SKIPIF1<0和曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線都垂直于直線SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值．（Ⅱ）若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導】（Ⅰ）根據導數的幾何意義求解即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故只需證SKIPIF1<0即可。由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種情況分別討論判斷SKIPIF1<0是否恒成立即可得到結論。（iii）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，而SKIPIF1<0，從而當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0不可能恒成立，綜上可得SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．3．已知函數SKIPIF1<0．（I）求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程．（II）求證：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．（III）設實數SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最大值．【思路引導】（I）SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得在SKIPIF1<0處切線方程為SKIPIF1<0．（II）令SKIPIF1<0，求導得出SKIPIF1<0的增減性，然后由SKIPIF1<0得證．（III）由（II）可知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立．SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，求導，可得SKIPIF1<0上SKIPIF1<0單調遞減，當SKIPIF1<0時，FSKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0不恒成立，可得k的最大值為2．（II）證明：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．（III）由（II）知，在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，點晴：本題主要考查函數導數與不等式，恒成立問題．要證明一個不等式，我們可以先根據題意所給條件化簡這個不等式，如第二問的不等式，可以轉化為SKIPIF1<0，第三問的不等式可以轉化為SKIPIF1<0，劃歸與轉化之后，就可以假設相對應的函數，然后利用導數研究這個函數的單調性、極值和最值，圖像與性質，進而求解得結果．4．已知函數SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）在點SKIPIF1<0處的切線斜率為1．（1）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對定義域內的SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍；（3）在（2）的前提下，如果SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【思路引導】（1）由題意SKIPIF1<0即得；（2）SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0恒成立，得SKIPIF1<0，再證當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即可；（3）由（2）知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減；在SKIPIF1<0單調遞增，當SKIPIF1<0時，不妨設SKIPIF1<0，要證明SKIPIF1<0，等價于SKIPIF1<0，需要證明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可證得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0即可證得．解法二：（分離變量）SKIPIF1<0恒成立，分離變量可得SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。這里先證明SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。因此，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0。（3）由（2）知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減；在SKIPIF1<0單調遞增，5．已知函數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．（1）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取到極值，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍；（3）求證：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．【思路引導】（1）根據極值的概念得到SKIPIF1<0，可得到參數值；（2）轉化為函數最值問題，研究函數的單調性，分SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，三種情況討論單調性，使得最小值大于等于0即可。（3）由（1）知令SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，給x賦值：2，3，4，5等，最終證得結果。試題解析：（1）SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取到極值，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，經檢驗，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取到極小值．（3）證明：由（1）知令SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”），∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．即當SKIPIF1<02，3，4，…，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．點睛：這個題目考查了導數在研究函數極值和單調性，最值中的應用，最終還用到了賦值的思想，證明不等式。其中有典型的恒成立求參的問題。一般是轉化成函數最值問題，或者先變量分離，將參數和變量分離到不等號的兩側，再轉化為最值問題。6．已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導】（1）代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而求導SKIPIF1<0，從而由導數的正負確定函數的單調性，從而求最值；（2）令SKIPIF1<0，化簡求導得到SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0并求導得SKIPIF1<0，從而解得SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，從而可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，從而化簡求出實數SKIPIF1<0的取值范圍．點睛：導數問題經常會遇見恒成立的問題：（1）根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題；（2）若SKIPIF1<0就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，轉化為SKIPIF1<0;（3）若SKIPIF1<0恒成立，可轉化為SKIPIF1<0．7．已知函數SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最值；（2）討論函數SKIPIF1<0的單調性；（3）當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導】（1）先求導數，再求導函數零點，列表分析導數在區(qū)間上符號變化規(guī)律，確定函數最值（2）先求導數，根據導函數符號是否變化進行分類討論：SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，先負后正，最后根據導數符號對應確定單調性（3）將不等式恒成立轉化為對應函數最值，由（2）得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0的取值范圍．（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減；②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增；③當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減；綜上，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即原不等式等價于SKIPIF1<0即SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．點睛：利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．8．已知SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；（2）若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導】（1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率，由斜截式方程即可得到所求切線的方程；（2）由題意可得存在x

0∈[0，+∞），使得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，兩次求導，判斷單調性，對a討論，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時，通過構造函數和求導，得到單調區(qū)間，可得最值，即可得到所求a的范圍．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，不合題意綜上，實數SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．9．已知函數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．（1）若SKIPIF1<0，求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0