無窮級數(shù)整理

學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考無窮級數(shù)整理一、數(shù)項級數(shù)（一）數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)1.收斂的必要條件：收斂級數(shù)的一般項必趨于 0.2.收斂的充要條件（柯西收斂原理） ：對任意給定的正數(shù) ，總存在N使得對于任何兩個 N大于的正整數(shù) m和n，總有Sm Sn .（即部分和數(shù)列收斂）3.收斂級數(shù)具有線性性（即收斂級數(shù)進(jìn)行線性運算得到的級數(shù)仍然收斂） ，而一個收斂級數(shù)和一個發(fā)散級數(shù)的和與差必發(fā)散 .4.對收斂級數(shù)的項任意加括號所成級數(shù)仍然收斂，且其和不變 .5.在一個數(shù)項級數(shù)內(nèi)去掉或添上有限項不會影響斂散性 .（二）數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)及斂散性判斷1.正項級數(shù)的斂散性判斷方法（1）正項級數(shù)基本定理：如果正項級數(shù)的部分和數(shù)列有上界，則正項級數(shù)收斂 .（2）比較判別法（放縮法）：若兩個正項級數(shù)un和vn之間自某項以后成立著關(guān)系：n1n1存在常數(shù)c0，使uncvn(n1,2,)，那么（i）當(dāng)級數(shù)vn收斂時，級數(shù)un亦收斂；n1n1（ii）當(dāng)級數(shù)un發(fā)散時，級數(shù)vn亦發(fā)散.n1n1推論：設(shè)兩個正項級數(shù)un和vn，且自某項以后有un1vn1un，那么n1n1vn（i）當(dāng)級數(shù)vn收斂時，級數(shù)un亦收斂；n1n1（ii）當(dāng)級數(shù)un發(fā)散時，級數(shù)vn亦發(fā)散.n1n1（3）比較判別法的極限形式（比階法）：給定兩個正項級數(shù)un和vn，若n1n1limunl0，那么這兩個級數(shù)斂散性相同.（注：可以利用無窮小階的理論和等價無窮小vn的內(nèi)容）另外，若l0，則當(dāng)級數(shù)vn收斂時，級數(shù)un亦收斂；若l，則當(dāng)級數(shù)un發(fā)n1n1n1學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考散時，級數(shù)vn亦發(fā)散.n1常用度量：①等比級數(shù)：qn，當(dāng)q1時收斂，當(dāng)q1時發(fā)散；n0②-級數(shù)：1，當(dāng)p1時收斂，當(dāng)p1時發(fā)散(p1時稱調(diào)和級數(shù))；pn1np③廣義-級數(shù)：1，當(dāng)p1時收斂，當(dāng)p1時發(fā)散.p2nlnnpn④交錯p-級數(shù)：(1)n11，當(dāng)p1時絕對收斂，當(dāng)0p1時條件收斂.n1np（4）達(dá)朗貝爾判別法的極限形式（商值法）：對于正項級數(shù)un，當(dāng)limun1r1時unn1n級數(shù)un收斂；當(dāng)limun1r1時級數(shù)un發(fā)散；當(dāng)r1或r1時需進(jìn)一步判斷.unn1nn1（5）柯西判別法的極限形式（根值法）：對于正項級數(shù)un，設(shè)rlimnun，那么r1n1n時此級數(shù)必為收斂，r1時發(fā)散，而當(dāng)r1時需進(jìn)一步判斷.（6）柯西積分判別法：設(shè)un為正項級數(shù)，非負(fù)的連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,)上單調(diào)n1下降，且自某項以后成立著關(guān)系：f(un)un，則級數(shù)un與積分f(x)dx同斂散.n102.任意項級數(shù)的理論與性質(zhì)1）絕對收斂與條件收斂：①絕對收斂級數(shù)必為收斂級數(shù)，反之不然；②對于級數(shù)un，將它的所有正項保留而將負(fù)項換為0，組成一個正項級數(shù)vn，其中n1n1vnunun；將它的所有負(fù)項變號而將正項換為0，也組成一個正項級數(shù)wn，其中2n1wnunun，那么若級數(shù)un絕對收斂，則級數(shù)vn和wn都收斂；若級數(shù)un2n1n1n1n1學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考條件收斂，則級數(shù)vn和wn都發(fā)散.n1n1③絕對收斂級數(shù)的更序級數(shù)（將其項重新排列后得到的級數(shù)）仍絕對收斂，且其和相同 .④若級數(shù) un和 vn都絕對收斂，它們的和分別為 U和V，則它們各項之積按照任何方n1 n1式排列所構(gòu)成的級數(shù)也絕對收斂，且和為 UV.特別地，在上述條件下，它們的柯西乘積un vn 也絕對收斂，且和也為 UV.n1 n1注： cn un vn ，這里cn u1vn u2vn1 un1v2 unv1.n1 n1 n1（2）交錯級數(shù)的斂散性判斷（萊布尼茲判別法）:若交錯級數(shù)(1)n1un滿足limun0，nn1且un單調(diào)減少（即un un1），則 (1)n1un收斂，其和不超過第一項，且余和的符號n1與第一項符號相同，余和的值不超過余和第一項的絕對值 .二、函數(shù)項級數(shù)（一）冪級數(shù)1.冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域（1）柯西-阿達(dá)馬定理：冪級數(shù)an(xx0)n在xx0R內(nèi)絕對收斂，在xx0Rn0內(nèi)發(fā)散，其中R為冪級數(shù)的收斂半徑.（2）阿貝爾第一定理：若冪級數(shù)an(xx0)n在x處收斂，則它必在xx0x0n0內(nèi)絕對收斂；又若 an(x x0)n在x 處發(fā)散，則它必在 x x0 x0也發(fā)散.n0推論1：若冪級數(shù)anxn在x(0)處收斂，則它必在x內(nèi)絕對收斂；又若冪n0級數(shù) anxn在x ( 0)處發(fā)散，則它必在 x

時發(fā)散.n0推論2：若冪級數(shù) an(x x0)n在x 處條件收斂，則其收斂半徑 R x0，若又有n0an 0，則可以確定此冪級數(shù)的收斂域 .學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考（3）收斂域的求法：令an1(x)取并集.lim1解出收斂區(qū)間再單獨討論端點處的斂散性，n an(x)2.冪級數(shù)的運算性質(zhì)（1）冪級數(shù)進(jìn)行加減運算時，收斂域取交集，滿足各項相加；進(jìn)行乘法運算時，有：nanxn bnxn aibni xn，收斂域仍取交集 .n0 n0 n0 i 0（2）冪級數(shù)的和函數(shù) S(x)在收斂域內(nèi)處處連續(xù)， 且若冪級數(shù) an(x x0)n在x x0 Rn0處收斂，則S(x)在x0 R,x0 R內(nèi)連續(xù)；又若冪級數(shù) an(x x0)n在x x0 R處收n0斂，則S(x)在x0 R,x0 R內(nèi)連續(xù).（3）冪級數(shù)的和函數(shù) S(x)在收斂域內(nèi)可以逐項微分和逐項積分，收斂半徑不變 .3.函數(shù)的冪級數(shù)展開以及冪級數(shù)的求和（1）常用的冪級數(shù)展開：①ex1x1x21xnxn，x(,+).2!n!n0n!②1=1+x+x2+···+xn+···=xn，x(1,1).1xn0從而，11(x)n，1(1)nx2n.xn01x2n0③sinxx1x31x5(1)nx2n1(1)nx2n1，x(,+).3!5!(2n1)!n0(2n1)!④cosx11x21x4(1)nx2n(1)nx2n，x(,+).2!4!(2n)!n0(2n)!⑤ln(1x)x1x21x3(1)n1xn1(1)n1xn，x(1,1].23n1n1n⑥(1x)1x(1)x2(1)(n1)xn，x(1,1).2!n!⑦arcsinxx1x3(2n1)!!x2n1(2n)!x2n1，x[1,1].23(2n)!!2n1n04n(n!)2(2n1)學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考⑧arctanxx1x3(1)n1x2n1(1)n1x2n1，x[1,1].32n1n02n12）常用的求和經(jīng)驗規(guī)律：①級數(shù)符號里的部分x可以提到級數(shù)外；②系數(shù)中常數(shù)的冪中若含有 n，可以與x的冪合并，如將 cn和xn合并為(cx)n；③對 anxn求導(dǎo)可消去 an分母因式里的 n,對 anxn積分可消去 an分子因式里的n0 n0n 1；④系數(shù)分母含 n!可考慮ex的展開，含(2n)!或(2n 1)!等可考慮正余弦函數(shù)的展開；⑤有些和函數(shù)滿足特定的微分方程，可以考慮通過求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)這個微分方程并求解 .（二）傅里葉級數(shù)1.狄利克雷收斂定理（本定理為套話，不需真正驗證，條件在命題人手下必然成立）若f(x)以2l為周期，且在[l,l]上滿足：①連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；②只有有限個極值點；則f(x)誘導(dǎo)出的傅里葉級數(shù)在 [l,l]上處處收斂.2.傅里葉級數(shù) S(x)與f(x)的關(guān)系：f(x)，x為連續(xù)點；f(x0)f(x0)，為間斷點；S(x)2xf(l0)f(l0)，為邊界點.2x3.以2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開展開：a0nxnxf(x)~S(x)ancosbnsin2n1ll學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考1la0f(x)dxll（1）在[l,l]上展開：1lnxanf(x)cosdx；lll1lnxbnf(x)sindxlll2）正弦級數(shù)與余弦級數(shù)：①奇函數(shù)（或在非對稱區(qū)間上作奇延拓）展開成正弦級數(shù)：②偶函數(shù)（或在非對稱區(qū)間上作偶延拓）展開成余弦級數(shù)：4.一些在展開時常用的積分：

a0 0an 02bnl2a0l2anlbn 0

l0l0l0

；nxf(x)sin dxlf(x)dx(x)cosnxdx；l（1）sinnxdx(1)n11;cosnxdx0;0n0（2）21;2cosnxdx1n；sinnxdxsin0n0n2(1)n1(1)n1；x2cosnxdx2(1)n（3）xsinnxdx;xcosnxdx22；0n0n0n（4）eaxsinnxdxa21eax(asinnxncosnx)C；n2eaxcosnxdx21n2eax(nsinnxacosnx)C；a學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考（5）11s