南京初中數(shù)學(xué)八年級下冊期中典型試卷1

2021-2022學(xué)年下學(xué)期南京初中數(shù)學(xué)八年級期中典型試卷1

一.選擇題（共6小題）

1.（2021秋?白云區(qū)期中）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.（2021春?鼓樓區(qū)期中）下列事件中：①拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)小于

7；②如果機(jī)、〃都是實數(shù)，那么〃1+〃=〃+〃2；③如果那么/＜廿；④在標(biāo)準(zhǔn)大氣

壓下，溫度低于0℃時冰熔化.是必然事件的有（）個.

A.4B.3C.2D.1

3.（2021春?秦淮區(qū)期中）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則下列有關(guān)兩枚骰子點數(shù)的事件

中是必然事件的是（）

A.點數(shù)和大于1B.點數(shù)差大于1

C.點數(shù)積大于1D.點數(shù)商大于1

4.（2021春?秦淮區(qū)期中）在一個不透明的袋子中裝有“個紅球和3個白球（它們除了顏色

外均相同），若從袋中任意摸出一個球，記錄下顏色后放回.通過大量重復(fù)這樣的試驗后

發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在15%,那么可以推算a大約是（）

A.11B.14C.17D.20

5.（2021春?南京期中）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AQE,連接8。、8、

CE.下列結(jié)論，不一定正確的是（）

A.AC=AEB.ZBAD=ZCAEC.NABD=NACED.BD=CD

6.（2021秋?黃石期末）如圖，線段A8與線段CD關(guān)于點P對稱，若點4（a,b）、B（5,

l）sD（-3,-1）,則點C的坐標(biāo)為（）

C.（-a-1,-Hl）D.（-a+\,-1）

二.填空題（共9小題）

2

7.（2021春?南京期中）下列各式：工二L也，=，3（?+1）,士，-4-->

y+137Tm24b2b22b

其中分式共有個.

8.（2021春?玄武區(qū)期中）在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球

共50只，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色，再把它放

回袋中，不斷重復(fù)，活動進(jìn)行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

摸球的次數(shù)〃1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)68109136345560701

m

摸到白球的頻率0.680.730.680.690.700.70

請估計：摸到白球的概率為.

9.（2021秋?濟(jì)南期末）在空氣的成分中，氮氣約占78%,氧氣約占21%,其他微量氣體約

占1%.若要表示以上信息，最合適的統(tǒng)計圖是.

10.（2021春?鼓樓區(qū)期中）從一副撲克牌中任意抽取1張.（1）這張牌是“8”；（2）這張

牌是“方塊”；（3）這張牌是“小王”；（4）這張牌是“黑色的”.i青將這些事件的序號按

發(fā)生的可能性從小到大的順序排列為______.

11.（2021春?鼓樓區(qū)期中）分式和二^的最簡公分母是一

m2-l2m+2

12.（2021春?秦淮區(qū)期中）如圖，在菱形ABC力中，AC=24,BD=10,AC、相交于點

0,若CE〃BD,BE//AC,連接Of,則OE的長是.

D

13.（2021春?秦淮區(qū)期中）如圖，在正方形4BCZ）中，E是BC上一點，將E4繞點E順時

14.（2021春?南京期中）如圖，點E在正方形4BC￡＞內(nèi)，且EC=8C,則NBE￡）=

15.（2021春?南京期中）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4,點尸是邊8C

上的動點，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AC0,點￡＞是4c邊的中點，連接

OQ,則DQ的長的最小值是.

16.(2021春?玄武區(qū)期中)計算：

(1):

m2-42m-4

⑵紅+(x_2xyVx

XX

17.(2021春?玄武區(qū)期中)解方程:

(1)+—2—=1；

a_33-a

(2)-1=------------

x-1(x~l)(x+2)

18.(2021春?泌陽縣期末)如圖，方格紙上每一個小正方形的邊長均為1個單位長度，△

ABC的三個頂點均在格點上，將AABC繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△A'BC',其中

點A的對應(yīng)點是A',點C的對應(yīng)點是C'.

19.(2021春?秦淮區(qū)期中)求證：菱形的一條對角線平分這一組對角.

已知：如圖，AC是菱形A8C。的一條對角線.

求證：.

證明：

20.(2021春?鼓樓區(qū)期中)已知，如圖，在。A8CO中，點E、尸分別在A。、BC上，且

DE—BF.求證：四邊形AECF是平行四邊形.

21.(2021春?鼓樓區(qū)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AABC的三個頂點的坐標(biāo)分

別為A(-5,I),8(-2,2),C(-1,4).

(1)△Ai。。與△ABC關(guān)于原點O成中心對稱,畫出△A131。；

(2)△ABC的面積為；

（3）若。點在第一象限，且以A、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，則。點的

坐標(biāo)為.

22.（2021春?秦淮區(qū)期中）（1）如圖①，線段和線段A'B'關(guān)于點。對稱，只用直尺

作對稱中心O;

（2）如圖②，線段A'B'是線段AB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形（旋轉(zhuǎn)角小于

180°）,用直尺和圓規(guī)作旋轉(zhuǎn)中心。.

23.（2021春?秦淮區(qū)期中）某校體育老師為了研究八年級學(xué)生400團(tuán)賽跑后心率的分布情況,

隨機(jī)抽取了該年級45名學(xué)生，測量了他們賽跑后\rnin的脈搏次數(shù),結(jié)果如下:

132136138141143144144146146147148149149151151

152153153154154154156156157157157158158158159

159159159161161162162163163164164164164166166

(1)該調(diào)查中的個體是.

(2)該老師將上述數(shù)據(jù)分組后,列出了頻數(shù)分布表，請將頻數(shù)分布表補(bǔ)充完整;

(3)根據(jù)頻數(shù)分布表畫出頻數(shù)分布直方圖.

脈搏次數(shù)X（次/分）頻數(shù)/學(xué)生人數(shù)

132WxV1372

137Wx<

24.(2021春?南京期中)如圖，在正方形ABC。中，點E、F、G分別在C。、AD,BC上,

且FGLBE,垂足為O.

(1)求證：BE=FG；

(2)若。是BE的中點，且BC=8,EC=3,求AF的長.

25.(2021春?南京期中)定義：一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做“等補(bǔ)四邊形”.

例如，如圖①，四邊形ABCO中，AB=BC,ZA+ZC=180°,則四邊形ABC。是“等

補(bǔ)四邊形”.

概念理解

(1)在以下四種圖形中：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形，一定是“等補(bǔ)四

邊形”的是；(填寫序號)

(2)如圖②，在菱形A8CD中，ZA=60°,E、F分別是C。、AD邊上的動點(不與

點A、。、C重合)，且求證：四邊形BE。尸為等補(bǔ)四邊形.

性質(zhì)探究

（3）如圖③，在等補(bǔ)四邊形ABC。中，AB=BC,ZA+ZC=180°,連接BO.求證：

8。平分/AOC.

性質(zhì)應(yīng)用

（4）如圖④，△A8C,用直尺和圓規(guī)求作點。，使得以點A、B、C、。為頂點的四邊形

是等補(bǔ)四邊形.（要求：作出兩種不同的圖形，不寫作法，保留作圖痕跡）

2021-2022學(xué)年下學(xué)期南京初中數(shù)學(xué)八年級期中典型試卷1

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題）

1.（2021秋?白云區(qū)期中）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

。、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱

軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度

后與原圖重合.

2.（2021春?鼓樓區(qū)期中）下列事件中：①拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)小于

7；②如果相、”都是實數(shù)，那么加+”=〃+如③如果那么/＜扇；④在標(biāo)準(zhǔn)大氣

壓下，溫度低于0℃時冰熔化.是必然事件的有（）個.

A.4B.3C.2D.1

【考點】隨機(jī)事件.

【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件.

【解答】解：①拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)小于7,是必然事件：

②如果”，〃為實數(shù)，那么是一定發(fā)生的，是必然事件；

③如果a<b,那么?2</>2或者”2>后或者cp—b1,是隨機(jī)事件；

④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度低于0℃時冰熔化，是不可能事件.

故是必然事件的有①②2個.

故選：C.

【點評】該題考查的是對必然事件的概念的理解；解決此類問題，要學(xué)會關(guān)注身邊的事

物，并用數(shù)學(xué)的思想和方法去分析、看待、解決問題.用到的知識點為：必然事件指在

一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確

定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

3.（2021春?秦淮區(qū)期中）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則下列有關(guān)兩枚骰子點數(shù)的事件

中是必然事件的是（）

A.點數(shù)和大于1B.點數(shù)差大于1

C.點數(shù)積大于1D.點數(shù)商大于1

【考點】隨機(jī)事件.

【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【解答】解：人兩枚骰子的點數(shù)之和大于1,是必然事件；

8.兩枚骰子的點數(shù)之差大于1,是隨機(jī)事件；

C.兩枚骰子的點數(shù)之積大于1,是隨機(jī)事件；

D.兩枚骰子的點數(shù)之商大于1,是隨機(jī)事件.

故選：A.

【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，必然事件指在一定條

件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事

件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

4.（2021春?秦淮區(qū)期中）在一個不透明的袋子中裝有。個紅球和3個白球（它們除了顏色

外均相同），若從袋中任意摸出一個球，記錄下顏色后放回.通過大量重復(fù)這樣的試驗后

發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在15%,那么可以推算a大約是（）

A.11B.14C.17D.20

【考點】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近,

可以從比例關(guān)系入手，列出方程求解.

【解答】解：由題意可得，2=15%,

3+a

解得，a=17,

經(jīng)檢驗“=17是原方程的解.

故選：C.

【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估

計事件的概率.關(guān)鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系.

5.(2021春?南京期中)如圖，將△4BC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,連接80、CD,

CE.下列結(jié)論，不一定正確的是()

A.AC=AEB.ZBAD=ZCAEC.NABD=NACED.BD=CD

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AE,NBAD=NCAE,AB=AD,由等腰三角形的性質(zhì)

可得ZACE=ZAEC,由三角形內(nèi)角和定理可求NABD=NACE,即可

求解.

【解答】解：..?將aABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△4QE,

：.AC^AE,NBAD=NCAE,AB=AD,

：.ZABD=ZADB,ZACE=ZAEC,

"：ZBAD+ZABD+ZADB=ZBAD+2ZABD=\^,ZCAE+ZACE+ZAEC=ZCAE+2

ZAC￡=180°,

ZABD^ZACE,

'：BD和CD不是對應(yīng)線段，

二8。不一定等于CD.

故選：D.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，掌握

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

6.(2021秋?黃石期末)如圖，線段A3與線段CC關(guān)于點P對稱，若點4Ca,b)、B(5,

-1),則點C的坐標(biāo)為()

C.(-a-1,-b+\)D.(-a+\,-/?-I)

【考點】中心對稱；坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】平面直角坐標(biāo)系：幾何直觀.

【分析】運(yùn)用中點坐標(biāo)公式求答案.

【解答】解：設(shè)C(w,〃)，

?.?線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱，

點尸為線段AC、8。的中點.

???a-+--m-----5----3-，--b--+--n-----1----1-，

2222

:?m=2-a,〃=-/7,

???C(2-m-b),

故選：B.

【點評】本題考查了中心對稱，正確運(yùn)用中點坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵.

二.填空題(共9小題)

2

7.(2021春?南京期中)下列各式：？二1，",馬二，=，旦(?+1),士，4r--

Y+13Km24b2b22b

其中分式共有4個.

【考點】分式的定義.

【專題】分式；應(yīng)用意識.

【分析】根據(jù)分式的定義逐個判斷即可.

【解答】解：分式有曰，3，共4個，

丫+1m2b2b22b

故答案為：4.

【點評】本題考查了分式的定義，注意：判斷一個式子是否是分式，關(guān)鍵看分母中是否

含有字母，當(dāng)分母中含有字母時，式子就是分式.

8.（2021春?玄武區(qū)期中）在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球

共50只，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色，再把它放

回袋中，不斷重復(fù)，活動進(jìn)行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

摸球的次數(shù)”1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)68109136345560701

m

摸到白球的頻率0.680.730.680.690.700.70

請估計：摸到白球的概率為L

-10-

【考點】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】觀察摸到白球的頻率后即可得出答案.

【解答】解：觀察表格得：當(dāng)〃很大時，摸到白球的頻率將會接近0.70,

摸到白球的概率為0.7=工，

10

故答案為：J_.

10

【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定

位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集

中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

9.（2021秋?濟(jì)南期末）在空氣的成分中，氮氣約占78%,氧氣約占21%,其他微量氣體約

占1%.若要表示以上信息，最合適的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖.

【考點】統(tǒng)計圖的選擇.

【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的特點：①用扇形的面積表示部分在總體中所占的百分比.②

易于顯示每組數(shù)據(jù)相對于總數(shù)的大小即可得到答案.

【解答】解：最合適的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖.

故答案為：扇形統(tǒng)計圖.

【點評】此題考查的是扇形統(tǒng)計圖的特點，掌握其特點是解決此題關(guān)鍵.

10.(2021春?鼓樓區(qū)期中)從一副撲克牌中任意抽取1張.(1)這張牌是“8”；(2)這張

牌是“方塊”；(3)這張牌是“小王”；(4)這張牌是“黑色的”.請將這些事件的序號按

發(fā)生的可能性從小到大的順序排列為(3)V(1)V(2)V(4).

【考點】可能性的大小.

【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力.

【分析】分別求出抽出各種撲克的概率，即可比較出各種撲克的可能性大小.

【解答】解：從一副撲克牌中任意抽取一張，

(1)這張牌是“8”的概率為一/=2；

5427

(2)這張牌是“方塊”的概率為43；

54

(3)這張牌是“小王”的概率為工；

54

(4)這張牌是“黑色的”的概率為工.

542

則這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列為(3)<(1)<(2)V(4).

故答案為：(3)<(1)<(2)<(4).

【點評】本題考查的是可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對待.用

到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

11.(2021春?鼓樓區(qū)期中)分式一^和二^的最簡公分母是2(〃?+1)的7-1).

m2-l2m+2

【考點】最簡公分母.

【專題】分式；運(yùn)算能力.

【分析】確定最簡公分母的方法是：

(1)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

(2)凡單獨出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；

(3)同底數(shù)幕取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母.

【解答】解：2-1=(機(jī)+1)(w-I),2a+2=2(/?+]),

.,.分式一1—和一--的最簡公分母是：2(m+1)(m-1),

m2-l2m+2

故答案為：2(m+1)(/M-1).

【點評】本題考查了最簡公分母的知識，通分的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出各個分式中分母的最簡

公分母，確定最簡公分母的方法一定要掌握.

12.（2021春?秦淮區(qū)期中）如圖，在菱形A8CZ）中，AC=24,8。=10,AC、2。相交于點

O,若CE〃BD,BE//AC,連接OE,則OE的長是13.

【考點】矩形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能

力；推理能力.

【分析】由證四邊形OBEC是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得OC=Q4=LC=12,OB

2

=0。=工8。=5,ACLBD,則N8OC=90°,然后由勾股定理得BC=13,證平行四邊

2

形OBEC是矩形，即可得出結(jié)論.

【解答】解：,：CE//BD,BE//AC,

：.四邊形OBEC是平行四邊形，

；四邊形ABC。是菱形，

二OC=04=Lc=12,08=0。=工8。=5,AC1BD,

22

：.ZBOC=90°,

?*,BC=VOB2OC2=V52+122=13,

?/四邊形OBEC是平行四邊形，

平行四邊形08EC是矩形，

：.OE=BC=\3,

故答案為：13.

【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股

定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2021春?秦淮區(qū)期中）如圖，在正方形A8C￡＞中，E是8c上一點，將E4繞點E順時

針旋轉(zhuǎn)60°,點A的對應(yīng)點尸恰好落在C。上，則/D4E=75°.

D

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對

稱；運(yùn)算能力：推理能力.

【分析】連接AF,證尸是等邊三角形，得NEAf=60°,AE=AF,再證RtAABE

^Rt^ADFCHL）,得NBAE=ND4F=15°,即可求解.

【解答】解：連接AF,如圖所示：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE=EF,ZAEF=60°,

.?.△AM是等邊三角形，

NEA尸=60°,AE=AF,

???四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,/B=NO=/8AO=90°,

在RtA/^BE和Rt/\ADF中，

fAB=AD

lAE=AF，

ARtAABE^RtAADF(HL),

：.ZBAE=ZDAF^(90°-60。)=15°,

2

AZDAE=ZDAF+AEAF=\50+60°=75°,

故答案為：75.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角

形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，證明RtAABE^Rt^ADF

是解題的關(guān)鍵.

14.（2021春喃京期中）如圖，點E在正方形A8CQ內(nèi)，且EC=BC,則N8E￡>=135°.

D

E

B2--------------------

【考點】正方形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CB=CD,N8CD=90°,則CD=CE,再利用等腰

三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到/(7￡8=工(180°-NBCE),ZCED=k(180°-

22

/DCE),所以N8EC=180°-工/BC￡)=135°.

2

【解答】解：???四邊形ABCZ)為正方形，

:.CB=CD,ZBCD=90°,

;CE=CB,

：.CD=CE,

：.ZCBE=ZCEB,ZCED=ZCDE,

：.ZCEB=1.(1800-NBCE),NCED=1(180°-NDCE),

22

:./CEB+/CE￡>=180°--1(NBCE+NECE),

2

即/BE￡?=180°-A.ZBCD,

2

AZBED=180°-2X90°=135°.

2

故答案為135°.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形

的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、

平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

15.(2021春?南京期中)如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4,點P是邊BC

上的動點，將aABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得至IJZXACQ,點。是AC邊的中點，連接

QQ,則DQ的長的最小值是

D

B

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；垂線段最短；等腰直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得到NBCQ=90°,當(dāng)Z)Q_LCQ時，OQ的長最小，再

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可得到OQ的最小值.

【解答】解：?.?/BAC=90°,AB=AC=4,

：.ZB=ZACB=45°,

由旋轉(zhuǎn)可得NACQ=NB=45°,

.".ZBCe=90°,。在垂直于BC的射線C。上運(yùn)動，

???點。是AC邊的中點，

：.CD=2,

當(dāng)。QLC。時，。。的長最小，

此時，ZCDg=45°,

CQ=￡>Q=返8=正，

2

...OQ的最小值是加.

故答案為加.

【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中

心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了等腰直角三角形的性質(zhì).

三.解答題(共10小題)

16.(2021春?玄武區(qū)期中)計算：

(1)

m2-42m-4

(2)紅.(x-2xy-y2).

xx

【考點】分式的混合運(yùn)算.

【專題】計算題；分式；運(yùn)算能力.

【分析】(1)先對每個分母因式分解，找到最簡公分母，再通分，最后按分式減法法則

運(yùn)算即可；

(2)括號里面先通分，再計算括號外面的除法即可.

【解答】解：(1)原式二2mm+2

2(m-2)(m+2)2(m-2)(m+2)

=Onrm-。

2(m-2)(m+2)

______nr2

2(m-2)(m+2)

=1

2(m+2)

=1

2m+4

22

(2)原式:立.(X-2xy+y)

Xx

=x-y=(x-y)?

xx

二^x——

x(x-y)2

1

x-y

【點評】本題考查了分式的混合計算，熟悉通分，約分，找最簡公分母基本技能是解題

的要點.

17.(2021春?玄武區(qū)期中)解方程：

(1)-^—+-2—=1；

a-33-a

(2)1=----------------

x-l(x-l)(x+2)

【考點】解分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】兩分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到未知數(shù)的值，經(jīng)檢

驗即可得到分式方程的解.

【解答】解：(1)去分母得：1-4=4-3,

解得：a=2,

檢驗：把a(bǔ)=2代入得：a-3=2-3=-1^0,

...分式方程的解為4=2;

(2)去分母得：x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,

去括號得：/+2x-/-x+2=3,

解得：x=l,

檢驗：把x=I代入得：(x-1)(x+2)=0,

則x=l是增根，分式方程無解.

【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

18.(2021春?泌陽縣期末)如圖，方格紙上每一個小正方形的邊長均為1個單位長度，△

A8C的三個頂點均在格點上，將AABC繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AA'BC',其中

點4的對應(yīng)點是A',點C的對應(yīng)點是C'.

(1)畫出△?!'BC；

(2)4(:與4'C的位置關(guān)系是ACJA'C.

【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【分析】(1)分別作出A,C的對應(yīng)點A',C.

(2)利用“8字型"證明NA'JO=ZABO=90°即可.

【解答】解：(1)如圖，XNBC'即為所求.

(2)結(jié)論：ACVA'C

理由：延長AC交A'C于J,AC交氏4'于O.

；NBAC=NBA'C,ZAOB=ZA'OJ,

：.ZABO=ZA'JO=90°,

：.ACrA'C.

【點評】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問

題.

19.（2021春?秦淮區(qū)期中）求證：菱形的一條對角線平分這一組對角.

已知：如圖，AC是菱形A8CZ）的一條對角線.

求證：/O4C=/8AC,/￡>CA=/8CA.

證明：

【考點】菱形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形：推理能力.

【分析】由菱形的性質(zhì)可得。A=OC,DA//BC.由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可

證NOC4=NBC4,可得結(jié)論.

【解答】解：求證：ZDAC=ZBAC,ZDCA=ZBCA；

證明：???四邊形ABC。是菱形，

：.DA=DC,DA//BC.

：.ZDAC=ZDCA,

"：DA//BC,

：.ZDAC=ZBCA,

：.ZDCA^ZBCA,

同理ND4C=NBAC.

故答案為：ZDAC=ZBAC,NDCA=NBCA.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

20.（2021春?鼓樓區(qū)期中）已知，如圖，在口ABC。中，點E、F分別在A。、BC上,且

DE=BF.求證：四邊形AEC尸是平行四邊形.

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AE//CF,推出AE=CF,即可得出結(jié)論.

【解答】證明：?.?四邊形A8CC是平行四邊形，

：.AD=BC,AE//CF,

?:DE=BF,

，AE=CF,

又‘：AE"CF,

四邊形AEC尸是平行四邊形.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

21.(2021春?鼓樓區(qū)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分

別為A(-5,1),8(-2,2),C(-1,4).

(1)ZVliBiCi與△ABC關(guān)于原點。成中心對稱，畫出△AiBiCi；

(2)ZVIBC的面積為2.5:

(3)若。點在第一象限，且以A、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，則。點的

坐標(biāo)為(2,5).

【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；平行四邊形的判定.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【分析】（1）分別作出A,B,C的對應(yīng)點Ai，B\,。即可.

（2）利用分割法求三角形面積即可.

（3）根據(jù)平行四邊形的判定畫出圖形即可解決問題.

【解答】解：（1）如圖，△ABICI即為所求作.

（2）SAABC=3X4-Lx3X4-1X1-工X1X2,X1X3=2.5.

222

（3）點。的坐標(biāo)為（2,5）.

故答案為：（2,5）.

【點評】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,

屬于中考常考題型.

22.（2021春?秦淮區(qū)期中）（1）如圖①，線段4B和線段A'B'關(guān)于點O對稱，只用直尺

作對稱中心O；

（2）如圖②，線段A'B'是線段AB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形（旋轉(zhuǎn)角小于

180°）,用直尺和圓規(guī)作旋轉(zhuǎn)中心。

【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【分析】（1）連接AA',BB'交于點。，點。即為所求作.

（2）連接A4',，分別作44',BB'的垂直平分線交于點。，點。即為所求作.

【解答】解：（1）如圖①中，點。即為所求作.

（2）如圖②中，點0即為所求作.

【點評】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題

型.

23.（2021春?秦淮區(qū)期中）某校體育老師為了研究八年級學(xué)生400m賽跑后心率的分布情況,

隨機(jī)抽取了該年級45名學(xué)生，測量了他們賽跑后1相加的脈搏次數(shù)，結(jié)果如下：

132136138141143144144146146147148149149151151

152153153154154154156156157157157158158158159

159159159161161162162163163164164164164166166

（1）該調(diào)查中的個體是某校八年級每一個學(xué)生400，”賽跑后1蟲加的脈搏次數(shù)

（2）該老師將上述數(shù)據(jù)分組后，列出了頻數(shù)分布表，請將頻數(shù)分布表補(bǔ)充完整；

（3）根據(jù)頻數(shù)分布表畫出頻數(shù)分布直方圖.

脈搏次數(shù)X（次/分）頻數(shù)/學(xué)生人數(shù)

132Wx<1372

137<x<1422

142?1475

147^x0526

152Wx<1578

157Wx<16212

162Wx<16710

【考點】頻數(shù)（率）分布直方圖；總體、個體、樣本、樣本容量；頻數(shù)（率）分布表.

【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】(1)根據(jù)總體、個體的意義結(jié)合實際問題情境得出答案；

(2)求出表格中的分組，依據(jù)組距和頻數(shù)統(tǒng)計可得答案：

(3)根據(jù)頻數(shù)分布表畫出頻數(shù)分布直方圖.

【解答】解：(1)故答案為：某校八年級每一個學(xué)生400,w賽跑后1相加的脈搏次數(shù);

(2)根據(jù)組距為5,可得各組的分界值，根據(jù)頻數(shù)統(tǒng)計可得各組頻數(shù)，

故答案為：142,142,2,5；

(3)頻率分布直方圖如圖所示.

小

IIIIII海）

1371421471521571?21?7次數(shù)

【點評】本題考查頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖，整體、個體，理解整體、個體的意義,

掌握頻數(shù)分布直方圖的畫法是解決問題的前提.

24.(2021春?南京期中)如圖，在正方形ABC。中，點E、/、G分別在。、AD,BC上,

且FGLBE,垂足為O.

(1)求證：BE=FG；

(2)若。是BE的中點，且BC=8,EC=3,求4尸的長.

【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】(1)作AM〃尸G交BE于N,BC于M.根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△A3M四△BCE

可得AM=BE.再證明四邊形AMG尸為平行四邊形.即可得結(jié)論；

(2)連接"、EF,設(shè)AF=x，則。尸=8-x,根據(jù)勾股定理即可求出AF的長.

【解答】(1)證明：作AM〃尸G交8E于MBC于M.

在正方形A8CD中，

J.AD//BC,AB=BC,N48C=NC=90°.

'：FG±BE,

：.ZFOB=90°.

'：AM//FG,

：.ZANB=ZFOB=90°.

：.NABN+NEBC=90°

VZC=90°.

AZBEC+ZEBC=900.

：.NABN=ZBEC.

在AABE和中，

rZABC=ZC

<ZNMB=ZBEC-

AB=BC

.,.△ABM絲△BCE(AAS),

：.AM=BE.

'JAD//BC,

J.AF//MG.

'JAM//FG,

/.四邊形AMGF為平行四邊形.

：.AM=FG.

'AM^BE,

:"BE=FG.

(2)如圖，連接BF、EF,

■:FGLBE,。是BE的中點，

：.BF=FE.

在正方形A8CO中，

：.AD=AB=DC=BC=S.

,:EC=3,

：.DE=5.

設(shè)AF=x,則。r=8-x,

在RtaABF中，由勾股定理得：

BF2=AB2+AF2^S2+X1.

在RtaOEF中，由勾股定理得：

EF2=DF2+DE1=52+(8-尤)2.

?：BF=FE,

：.BF2=EF2.

即82+?=52+(8-x)2,

解得：戶型.

16

：.AF=^~.

16

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的

關(guān)鍵是證明△ABM四△BCE.

25.(2021春?南京期中)定義：一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做“等補(bǔ)四邊形”.

例如，如圖①，四邊形ABC。中，AB=BC,NA+NC=180°,則四邊形ABC。是''等

補(bǔ)四邊形”.

概念理解

(1)在以下四種圖形中：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形，一定是“等補(bǔ)四

邊形”的是④；(填寫序號)

(2)如圖②，在菱形A8CZ)中，ZA=60°,E、/分別是CD、AO邊上的動點(不與

點A、。、C重合)，且4尸求證：四邊形BEC尸為等補(bǔ)四邊形.

性質(zhì)探究

(3)如圖③，在等補(bǔ)四邊形ABCO中，AB=BC,ZA+ZC=180°,連接BD求證：

8。平分/AOC.

性質(zhì)應(yīng)用

(4)如圖④，△4BC,用直尺和圓規(guī)求作點，使得以點A、B、C、。為頂點的四邊形

是等補(bǔ)四邊形.(要求：作出兩種不同的圖形，不寫作法，保留作圖痕跡)

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；新定義；應(yīng)用意識.

【分析】(1)根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義判斷即可；

(2)連接8。，根據(jù)SAS證△ABF絲得出NFBE+NF￡)E=180°,即可證四邊

形8EQF為等補(bǔ)四邊形；

(3)延長DA到E,使得AE,使得AE=DC,連接BE,根據(jù)SAS證△ABE絲△CBZXSAS),

推出即可證明BO平分NA3C；

(4)根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義作圖即可，以下列舉出3種不同的圖形，即①AB=AO,且

ZD+ZB=180°；②BC=CD,且NB+N￡>=180°；@BC=BD,ZC+ZD=180°.

【解答】解：(1)根據(jù)“等補(bǔ)四邊形”的定義可知，正方形時等補(bǔ)四邊形，

故答案為：④；

(2)證明：如圖，連接BQ,

B

；在菱形ABC。中，

：.AD=AB,AB//CD,

；/A=60°,

...△A3。是等邊三角形，ZA+ZADC=\SO0,

：.AB=BD,ZADB=ZABD=60°,ZADC=120°,

：.NBDE=60°,

:在△ABF和△OBE中，

'AB=BD

V-ZA=ZBDE-

AF=DE

:.△AB%ADBE(SAS),

；.NABF=NDBE,BF=BE,

VZABD=60°,

N4BF+N尸BO=60°,

/.NABF=NOBE,

:.NDBE+NFBD=60°,

即/FBE=60°,

,：ZFDE=\20°,

：.ZFBE+ZFDE=ISO°,

?.?在四邊形3FDE中，

/FBE+NFDE=180°,BF=BE,

根據(jù)“等補(bǔ)四邊形”的定義，

四邊形BEDF為等補(bǔ)四邊形；

(3)證明：如圖，延長ZM到E,使得AE=QC,連接BE,

VZBA￡>+ZC=180°,

又,.,NBAO+N8AE=180°,

.'.ZC^ZBAE,

?.?在△ABE和△C8。中，

'AE=CD

ZC=ZBAE?

AB=BC

.?.△A8E絲△CB￡>(SAS),

：.NBDA=NE,BD=BE,

,:BD=BE,

：.Z￡=ZBDE,

:"BDC=/BDA,

平分乙4￡>C；

(4)作圖如下：

【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識點，正確理解

等補(bǔ)四邊形的定義是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.分式的定義

(1)分式的概念：一般地，如果48表示兩個整式，并且8中含有字母，那么式子A叫

B

做分式.

(2)因為0不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0.

(3)分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除

號，還兼有括號的作用.

(4)分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是A

B

的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡.

(5)分式是一種表達(dá)形式，如x+工+2是分式，如果形式都不是我的形式，那就不能算是分

xB

式了，如：G+1)+(x+2),它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)

次幕表示的某些代數(shù)式如(4+6)-2,y”,則為分式，因為a僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，

y

而非一種運(yùn)算形式.

2.最簡公分母

(1)最簡公分母的定義：

通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次幕的積作公分母，這樣的公分母叫做最

簡公分母.―(2)一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的

最小公倍數(shù)，相同字母的最高次暴，所有不同字母都寫在積里.—②如果各分母都是

多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母(或

含字母的整式)為底數(shù)的幕的因式都要取最高次基.

3.分式的混合運(yùn)算

(1)分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，

然后加減，有括號的先算括號里面的.

(2)最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

(3)分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運(yùn)用乘法的運(yùn)

算律進(jìn)行靈活運(yùn)算.

【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問題

1.注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面

的.

2.注意化簡結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約

分化為最簡分式或整式.

3.注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特

點，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會簡化運(yùn)算過程.

4.解分式方程

(1)解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.

(2)解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代人最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

5.垂線段最短

(1)垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段.

(2)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短.它是相

對于這點