等腰三角形（3）【備課精講精研】 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高效課堂（北師大版）

新課標(biāo)北師大版八年級(jí)下冊(cè)1.1.3等腰三角形（3）第一章三角形的證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索等腰三角形判定定理．2.理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明．3.了解反證法的基本證明思路，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。情境導(dǎo)入1.等腰三角形的兩底角相等．（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）ABC∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)等腰三角形有哪些性質(zhì)？文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言2.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形情境導(dǎo)入3.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合．（簡(jiǎn)稱“三線合一”）ABCD①∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC②∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=CD，AD⊥BC③∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=CD，∠BAD=∠CAD文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言①②③中知一得二探究新知核心知識(shí)點(diǎn)一：等腰三角形的判定我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么他們所對(duì)的角相等。反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？ABC探究新知猜想：若∠B=∠C,則AB=AC做一做：如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關(guān)系嗎？3cm3cm測(cè)量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.探究新知分析：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，要想證明AB=AC，只要能構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，使AB與AC成為對(duì)應(yīng)邊就可以了.證明：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=AC.探究新知證明：作AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ABD≌△ACD.∴AB=AC.證明：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=AC.D探究新知?dú)w納總結(jié)1．判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．(簡(jiǎn)稱等角對(duì)等邊)應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C,∴AB＝AC.

ACB探究新知?dú)w納總結(jié)ACB2．等腰三角形的判定與性質(zhì)的異同相同點(diǎn)：都是在一個(gè)三角形中；區(qū)別：判定是由角到邊，性質(zhì)是由邊到角．即：．探究新知例：

已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點(diǎn)E.

求證：△AED是等腰三角形.證明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）,∴AE=DE(等角對(duì)等邊）,∴△AED是等腰三角形.探究新知核心知識(shí)點(diǎn)二：反證法小明認(rèn)為，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等，即在△ABC中，

如果∠B≠∠C，那么AB≠AC.你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明.探究新知CAB

如圖,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此時(shí),AB與AC要么相等,要么不相等.

假設(shè)AB=AC,那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得∠B=∠C,但已知條件是∠B≠∠C，“∠B=∠C”與“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.小明是這樣想的:你能理解他的推理過(guò)程嗎?利用了“反證法”探究新知?dú)w納總結(jié)

在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過(guò)的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這種證明方法稱為反證法．探究新知?dú)w納總結(jié)用反證法證題的一般步驟1.假設(shè):先假設(shè)命題的結(jié)論不成立;2.歸謬:從這個(gè)假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推論方法,得出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果;3.結(jié)論:由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.探究新知例：

用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.已知：△ABC.求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個(gè)角是直角.證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A＋∠B＋∠C=90°＋90°＋∠C>180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立.所以，一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.適宜用反證法證明的命題：反證法主要用于直接證明比較困難的命題，例如下面幾種常見(jiàn)類型的命題就適宜用反證法：(1)結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題，如鈍角三角形中不能有兩個(gè)鈍角；(2)唯一性命題，如兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)；(3)命題的結(jié)論以“至多”“至少”等形式敘述的命題，如一個(gè)凸多邊形中至多有3個(gè)銳角．歸納總結(jié)探究新知隨堂練習(xí)1.把下列命題用反證法證明時(shí)的第一步寫出來(lái).（1）三角形中必有一個(gè)內(nèi)角不小于60度；（2）一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是鈍角；（3）同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.假設(shè)三角形中三個(gè)內(nèi)角都小于60度假設(shè)一個(gè)三角形中有兩個(gè)角是鈍角假設(shè)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線不平行隨堂練習(xí)2.已知△ABC三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列條件中，△ABC不是等腰三角形的是()A.a=3，b=3，c=4B.a∶b∶c=4∶5∶6C.∠B=50°，∠C=80°D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2B隨堂練習(xí)3.已知△ABC中，AB=AC，求證:∠B<90°.下面寫出運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟:①所以∠A+∠B+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾;②因此假設(shè)不成立,所以∠B<90°;③假設(shè)在△ABC中,∠B≥90°;④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是

.(填序號(hào))

③④①②隨堂練習(xí)4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是(

)A．5B．6C．7D．8B隨堂練習(xí)6.如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是

.5.在△ABC中,∠A=50°,若∠B=

,則△ABC是等腰三角形.50°或65°3隨堂練習(xí)7.如圖,點(diǎn)E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF與DE相交于點(diǎn)G.求證:GE=GF.證明:如圖.∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,∵AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,∴△ABF≌△DCE,∴∠1=∠2,∴GE=GF.隨堂練習(xí)證明：∵DE∥BC，

∴∠DBC=∠EDB.又∵BD是∠ABC的平分線

，∴∠ABD=∠CBD.∴∠EDB=

∠ABD.∴BE=ED（等角對(duì)等邊），∴△EBD是等腰三角形.ABCED8.如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，DE∥BC.求證：△EBD是等腰三角形.隨堂練習(xí)9.用反證法證明:等腰三角形的兩底角必為銳角.證明:①假設(shè)等腰三角形ABC的底角∠B,∠C都是直角,則

,從而

>180°,這與

矛盾.②假設(shè)等腰三角形ABC的底角∠B,∠C都是鈍角,則

,從而

,這與

矛盾.綜上所述,假設(shè)①②

,所以∠B,∠C只能為