北科大853理論與自動(dòng)控制原理電子電路生講義及例題課件

§15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣一、有向圖電路的圖是電路拓?fù)?/p>

結(jié)構(gòu)的抽象描述，若圖中每

一支路都賦予一個(gè)參考方向，它成為有向圖。有向圖的性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣描述。i3i4i5i2i6i1①②③④二、關(guān)聯(lián)矩陣1、支路和結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)設(shè)一條支路連接于某兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，則稱該支路與這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。2、關(guān)聯(lián)矩陣設(shè)有向圖的結(jié)點(diǎn)數(shù)為n，支路數(shù)為b，且所有結(jié)點(diǎn)與支路均加以編號(hào)。于是，該有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣為一個(gè)(n×b)階的矩陣，用Aa表示。它的行對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)，列對(duì)應(yīng)支路。它的任一元素ajk定義如下：它的任一元素ajk定義如下：ajk=+1，表示支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)并且它的方向背離結(jié)點(diǎn)；Aa=1234561-1-1+1000200-1-10+13+100+1+1040+100-1-1526①ajk=-1，表示支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)并且它指向結(jié)點(diǎn)；ajk=0，表示支路k與結(jié)點(diǎn)j無(wú)關(guān)聯(lián)。②3

4③④13、降階關(guān)聯(lián)矩陣當(dāng)把所有行的元素按列相加就得一行全為零的元素，所以Aa的行不是彼此獨(dú)立的。或者說(shuō)按Aa的每一列只有+1和-1兩個(gè)非零元素這一特點(diǎn)。Aa中的任一行必能從其他(n-1)行導(dǎo)出。如果把Aa的任一行劃去，剩下的(n-1)

×b矩陣用A表示，并稱為降階關(guān)聯(lián)矩陣。今后主要用這種降階關(guān)聯(lián)矩陣，往往省去“降階”二字。被劃去的行對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)可以當(dāng)作參考結(jié)點(diǎn)。aA

=1

2

3

4

5

61-1-1+1000200-1-10+13+100+1+1040+100-1-1降階關(guān)聯(lián)矩陣A=-1-1+100000-1-10+1+100+1+1034526①②③④14、用矩陣A表示的KCL的矩陣形式電路中的b個(gè)支路電流可以用一個(gè)b階列向量表示i=[i1

i2

…

ib]TAi

=結(jié)點(diǎn)1上的∑i結(jié)點(diǎn)2上的∑i……結(jié)點(diǎn)(n-1)上的∑i因此有用矩陣A表示的KCL的矩陣形式Ai

=0A=-1 -1

+1

0

0

0345261①②③④Ai

=-1 -1

+1

0

0

00

0 -1 -1

0

+1+1

00

+1

+1

000-1-10+1+100+1+10ii12i3i4i5i6=-i1

-i2

+i3-i3

-i4

+i6i1

+i4

+i5=05、用矩陣A表示的KVL的矩陣形式電路中的b個(gè)支路電壓可以用一個(gè)b階列向量表示u=[u1

u2

…

ub]T(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓可以用一個(gè)(n-1)階列向量表示un=[un1

un2

…

un(n-1)]T用矩陣A表示的KVL的矩陣形式u=

ATun上式表明電路中的各支路電壓可以用與該支路關(guān)聯(lián)的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)電壓表示，這正是結(jié)點(diǎn)電壓法的思想。A=-1-1+100000-1-10+1+100+1+10345261①②③④=u1u2u34uu5u6=-1

0

1-1

0

01 -1

00 -1

10

0

10

1

0n1uun2un3un1un3un2-u

+un2-un2n3-un1

+un3-un1u=

ATun三、回路矩陣1、獨(dú)立回路矩陣簡(jiǎn)稱回路矩陣。設(shè)有向圖的獨(dú)立回路數(shù)為l，支路數(shù)為b，對(duì)所有獨(dú)立回路和支路均加以編號(hào)，于是，該有向圖的回路矩陣是一個(gè)l×b的矩陣，用B表示。B的行對(duì)應(yīng)一個(gè)回路，列對(duì)應(yīng)于支路，它的任一元素，bjk定義如下：bjk=+1，表示支路k與回路j關(guān)聯(lián)，并且它們的方向一致；bjk=-1，表示支路k與回路j關(guān)聯(lián)，并且它們的方向相反；bjk

=0，表示支路k與回路j無(wú)關(guān)聯(lián)。1B

=

23345261①②③④45356113226 6

31234561010-110110010001-112、基本回路矩陣如果所選獨(dú)立回路組是對(duì)應(yīng)于一個(gè)樹(shù)的單連支回路組，這種回路矩陣就稱為基本回路矩陣，用Bf表示。寫(xiě)B(tài)f時(shí)，注意安排其行列次序如下：把l條連支依次排列在對(duì)應(yīng)于Bf的第1到第l列，然后再排列樹(shù)支；取每一單連支回路的序號(hào)為對(duì)應(yīng)連支所在列的序號(hào)，且以該連支的方向?yàn)閷?duì)應(yīng)的回路的繞行方向，Bf中將出現(xiàn)一個(gè)l

階的單位子矩陣，即有Bf=[1l|Bt]345261①②③④45356113226 6

31

2

3

4

5

61

1

0

1

0 -1

1B

=

2

0

1

1

0

0

13

0

0

0

1 -1

11

2

4

3

5

61

1

0

0

1

-1

1Bf

=

2

0

1

0

1

0

13

0

0

1

0

-1

13、用矩陣B表示的KVL的矩陣形式Bu

=回路1中的∑u回路2中的∑u……回路l中的∑u因此有Bu

=0345261①②③④Bu=u1u2u3u4u5u6=1

0

1

0 -1

10

1

1

0

0

10

0

0

1 -1

1u1

+u3

-u5

+u6u2

+u3

+u6

=0u4

-u5

+u645356113226 6

34、用矩陣B表示的KCL的矩陣形式l個(gè)獨(dú)立回路電流可用一個(gè)l

階列向量表示il=[il1

il2

…

ill]Ti=BTil各支路電流上式表明電路中各支路電流可以用與該支路關(guān)聯(lián)的所有回路中的回路電流表示，這正是回路電流法的基本思想。345261①②③④45356113226 6

31

0

00

1

01

1

00

0

1-1

0 -11

1

1i1i2i3i4i5i6=l1iil2il3=il1il2il1+

il2il3-il1

-il3il1

+il2

+il3li=BTi

=四、割集矩陣1、獨(dú)立割集矩陣（簡(jiǎn)稱割集矩陣）設(shè)有向圖的結(jié)點(diǎn)數(shù)為n，支路數(shù)為b，則該圖的獨(dú)立割集數(shù)為(n-1)。對(duì)每個(gè)割集編號(hào)，并指定一個(gè)割集方向。于是割集矩陣為一個(gè)(n-1)

×b的矩陣，用Q表示。Q的行對(duì)應(yīng)割集，列對(duì)應(yīng)支路，它的任一元素

qjk定義如下：qjk=+1，表示支路k與割集j關(guān)聯(lián)，并且它們的方向一致；qjk=-1，表示支路k與割集j關(guān)聯(lián)，并且它們的方向相反；qjk

=0，表示支路k與割集j無(wú)關(guān)聯(lián)。1Q

=

23345261①②③④-1-11000100110-1-10-1013214514261選支路3、5、6為樹(shù)支1

2

3

4

5

6Q1Q2Q32、基本割集矩陣如果選一組單樹(shù)支割集為一組獨(dú)立割集，這種割集矩陣就稱為基本割集矩陣，用Qf表示。寫(xiě)Qf時(shí)，注意安排其行列次序如下：把(n-1)條樹(shù)支依次排列在對(duì)應(yīng)于Qf的第1到第(n-1)

列，然后再排列連支；取每一單樹(shù)支割集的序號(hào)與相應(yīng)樹(shù)支所在列的序號(hào)相同，且選割集方向與相應(yīng)樹(shù)支方向一致，則Qf有如下形式Qf=[1t|Ql]式中下標(biāo)t

和l

分別表示對(duì)應(yīng)于樹(shù)支和連支部分。345261①②③④3

5

6

1

2

41

1

0

0 -1 -1

0Qf

=

2

0

1

0

1

0

13

0

0

1 -1 -1 支路3、5、6為樹(shù)支Q1Q2Q33、用矩陣Q表示的KCL的矩陣形式Qi

=0345261①②③④-1-11000Qi

=100110-1-10-101i1i23ii4i5i6=-i1

-i2

+i3=0i1

+i4

+i5-i1

-i2

-i4

+i64、用矩陣Qf

表示的KVL的矩陣形式由于通常選單樹(shù)支割集為獨(dú)立割集，此時(shí)樹(shù)支電壓又可視為對(duì)應(yīng)的割集電壓，所以u(píng)t又是基本割集組的割集電壓列向量。由于Qf

的每一列，也就是Qf

的每一行，表示T一條支路與割集的關(guān)聯(lián)情況，按矩陣相乘的規(guī)則可得u=QfTut上式表明電路的支路電壓可以