第3章空間向量與立體幾何§314空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

§3．1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示知識點(diǎn)一向量基底的判斷已知向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，那么向量a＋b，a－b，c能構(gòu)成空間的一個(gè)基底嗎？為什么？解∵a＋b，a－b，c不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底．假設(shè)a＋b，a－b，c共面，則存在x，y，使c＝x(a＋b>＋y(a－b>，∴c＝(x＋y>a＋(x－y>b.從而由共面向量定理知，c與a，b共面．這與a、b、c不共面矛盾．∴a＋b，a－b，c不共面．【反思感悟】解有關(guān)基底的題，關(guān)鍵是正確理解概念，只有空間中三個(gè)不共面的向量才能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底．cAE0rSEiTd以下四個(gè)命題中正確的是 ( >．空間的任何一個(gè)向量都可用其它三個(gè)向量表示B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則 a，b，c全不是零向量C．△ABC為直角三角形的充要條件是AB·錯(cuò)誤!＝0D．任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底答案B解讀使用排除法．因?yàn)榭臻g中的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)不共面的向量來表示，故A不正確；△ABC為直角三角形并不一定是AB·錯(cuò)誤!＝0，可能是錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!＝0，也可能是錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!＝0，故C不正確；空間向量基底是由三個(gè)不共面的向量組成的，故 D不正確，故選B.cAE0rSEiTd知識點(diǎn)二用基底表示向量在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·錯(cuò)誤!＝a，錯(cuò)誤!＝b，錯(cuò)誤!＝c，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn)，N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是CA′上的點(diǎn)，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：cAE0rSEiTd1/7<1）AP；(2>錯(cuò)誤!；(3>AN；(4>錯(cuò)誤!.解連結(jié)AC、AD′.1<1）AP= (AC AA')1(ABADAA')＝錯(cuò)誤!(a＋b＋c>；2(2>錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!＋AD'>cAE0rSEiTd1= (AB 2AD AA')＝錯(cuò)誤!a＋b＋錯(cuò)誤!c；(3>AN=錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!>cAE0rSEiTd＝錯(cuò)誤![(AB AD AA'>＋(錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!>]cAE0rSEiTd＝錯(cuò)誤!(2AB＋2錯(cuò)誤!＋2錯(cuò)誤!>＝錯(cuò)誤!a＋b＋c；cAE0rSEiTd(4>AQ＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!>cAE0rSEiTd＝錯(cuò)誤!AB＋錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!a＋錯(cuò)誤!b＋錯(cuò)誤!c.cAE0rSEiTd【反思感悟】利用空間的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意結(jié)合圖形，靈活應(yīng)用三角形法則、平行四邊形法則．cAE0rSEiTd已知三棱錐A—BCD.(1>化簡錯(cuò)誤!(AB＋錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!>并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量；cAE0rSEiTd(2>設(shè)G為△BCD的重心，試用 AB，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!表示向量錯(cuò)誤!.cAE0rSEiTd解(1>設(shè)AB，AC，AD中點(diǎn)為E，F(xiàn)，H，BC中點(diǎn)為P.1(AB＋錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!>＝錯(cuò)誤!＋AF=AP－錯(cuò)誤!＝2錯(cuò)誤!.cAE0rSEiTd<2）AG＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!cAE0rSEiTd錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!>＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!cAE0rSEiTd＝錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!(AB＋錯(cuò)誤!>＋錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!cAE0rSEiTd＝錯(cuò)誤!(AB＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!>．cAE0rSEiTd知識點(diǎn)三求空間向量的坐標(biāo)已知PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M、N分別是2/7AB，PC的三等分點(diǎn)且 PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求MN的坐標(biāo)．cAE0rSEiTd解∵PA=AB=AD=1，且PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，∴可設(shè)AD＝i，錯(cuò)誤!＝i，AD＝j(luò)，錯(cuò)誤!＝k.cAE0rSEiTd以i，j，k為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．∵M(jìn)N ＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋PN＝－錯(cuò)誤! AB＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!cAE0rSEiTd＝－錯(cuò)誤! AB＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤! (－錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋AB>cAE0rSEiTd1AP＋錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!k＋錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!cAE0rSEiTd3＝錯(cuò)誤!i＋錯(cuò)誤!k，MN＝錯(cuò)誤!.cAE0rSEiTd【反思感悟】 空間直角坐標(biāo)系的建立必須尋求三條兩兩垂直的直線．在空間體中不具備此條 件時(shí)，建系后要注意坐標(biāo)軸與 空間體中相關(guān)直線 的夾角．cAE0rSEiTd在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB=，|AO|=4，|BO|=2，2|AA1|=4，D為A1B1的中點(diǎn)，則在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求DO,AB的坐標(biāo).1解∵DOOD(OO1O1D),;[OO11(OAOB)]OO11OA1OB222又|OO1|=4，|錯(cuò)誤!|＝4，|錯(cuò)誤!|＝4，|錯(cuò)誤!|＝2，∴錯(cuò)誤!＝(－2，－1，－4>，cAE0rSEiTdA1B＝(－4,2，－4>．課堂小結(jié)：1．空間的一個(gè)基底是空間任意三個(gè)不共面的向量，空間的基底可以有無窮多個(gè)．一個(gè)基底是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的一個(gè)向量組，一個(gè)基向量指一個(gè)基底的某一個(gè)向量．cAE0rSEiTd2．對于OP＝(1－t>錯(cuò)誤!＝x錯(cuò)誤!＋y錯(cuò)誤!＋z錯(cuò)誤!，當(dāng)且僅當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)共面．cAE0rSEiTd3．對于基底{a，b，c}除了應(yīng)知道 a，b，c不共面，還應(yīng)明3/7確：(1>空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底，基底選定以后，空間的所有向量均可由基底惟一表示．cAE0rSEiTd(2>由于0可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是 0.cAE0rSEiTd一、選擇題1．若存在實(shí)數(shù)x、y、z，使－*6]＝(1－t>錯(cuò)誤!＝x錯(cuò)誤!＋y錯(cuò)誤!＋z錯(cuò)誤!成立，則下列判斷正確的是(>cAE0rSEiTd.對于某些x、y、z的值，向量組{PA,PB,PC}不能作為空間的一個(gè)基底.對于任意的x、y、z的值，向量組{PA,PB,PC}都不能作為空間的一個(gè)基底.對于任意x、y、z的值，向量組{PA,PB,PC}都能作為空間的一個(gè)基底.根據(jù)已知條件，無法作出相應(yīng)的判斷;答案A解讀當(dāng)錯(cuò)誤!、錯(cuò)誤!、錯(cuò)誤!、錯(cuò)誤!不共面時(shí)，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!也不共面，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，當(dāng)錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!共面時(shí)，則錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!也共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．cAE0rSEiTd設(shè)O-ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG=3GG1，若OG＝x錯(cuò)誤!＋y錯(cuò)誤!＋z錯(cuò)誤!，則(x，y，z>為(>cAE0rSEiTdA．(錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!>B．(錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!>cAE0rSEiTdC．(錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!>D．(錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!>cAE0rSEiTd答案A解讀，因?yàn)镺G＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!>＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤![錯(cuò)誤!(AB＋錯(cuò)誤!>]＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤![(錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!>＋(錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!>]＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，而錯(cuò)誤!＝x錯(cuò)誤!＋y錯(cuò)誤!＋z錯(cuò)誤!，所以x＝錯(cuò)誤!，y＝錯(cuò)誤!，z＝錯(cuò)誤!.故選A.cAE0rSEiTd3．在以下3個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是 ( >①三個(gè)非零向量 a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則 a，b，c4/7共面；②若兩個(gè)非零向量a，b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b共線；③若a，b是兩個(gè)不共線向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0>，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底．cAE0rSEiTdA．0B．1C．2D．3答案C解讀命題①，②是真命題，命題③是假命題．4．若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是(>．a(chǎn),2b,3cB．a(chǎn)＋b，b＋c，c＋aC．a(chǎn)＋2b,2b＋3c,3a－9cD．a(chǎn)＋b＋c，b，c答案C解讀－3(a＋2b>＋3(2b＋3c>＋(3a－9c>＝0.3a－9c＝3(a＋2b>－3(2b＋3c>即三向量3a－9c，a＋2b,2b＋3c共面選C.5．已知點(diǎn)j，b＝j(luò)＋k，

在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8,6,4>，其中a＝i＋c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(>cAE0rSEiTdA．(12,14,10>B．(10,12,14>C．(14,12,10>D．(4,3,2>答案A解讀設(shè)點(diǎn)A在基底{a，b，c}下對應(yīng)的向量為 p，則p＝8a＋6b4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4icAE0rSEiTd＝12i＋14j＋10k，故點(diǎn) A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(12,14,10>．二、填空題已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為AC1與BD1的交點(diǎn)，AO＝x錯(cuò)誤!＋y錯(cuò)誤!＋z錯(cuò)誤!，則x＋y＋z＝________.cAE0rSEiTd答案錯(cuò)誤!,解讀AO＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!(AB＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!>．cAE0rSEiTd從空間一點(diǎn)P引出三條射線PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分別取PQ＝a，錯(cuò)誤!＝a，錯(cuò)誤!＝b，錯(cuò)誤!＝c，點(diǎn)G在PQ上，且PG＝2GQ，H為RS的中點(diǎn)，則錯(cuò)誤!＝__________________cAE0rSEiTd.答案 －錯(cuò)誤!a＋錯(cuò)誤!(b＋c>5/7在長方體ABCD—A1B1C1D1中，下列關(guān)于AC1的表達(dá)式中：①AA1＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!；cAE0rSEiTd②AB＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!；cAE0rSEiTd③AD＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!；cAE0rSEiTd1(AB1＋錯(cuò)誤!>＋錯(cuò)誤!cAE0rSEiTd2正確的個(gè)數(shù)是________個(gè)．答案3,解讀 AB＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝AB＋錯(cuò)誤!＝AB＋錯(cuò)誤!≠錯(cuò)誤!，cAE0rSEiTd②不正確；(AB1＋錯(cuò)誤!>＋錯(cuò)誤!21(AB1＋BA1>＋錯(cuò)誤!2AA1＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!.cAE0rSEiTd④正確；①，③明顯正確．三、解答題9．已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，試問向量a＝31＋2e2ee3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？并說明理由．cAE0rSEiTd解由共面向量定理可知，關(guān)鍵是能否找到三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，即x(3e1＋2e2＋e3>＋y(－e1＋e2＋3e3>＋z(2e1－e2－4e3>＝0.亦即(3x－y＋2z>e1＋(2x＋y－z>e2＋(x＋3y4z>e3＝0.cAE0rSEiTd由于e1，e2，e3不共面，故得錯(cuò)誤!cAE0rSEiTd①＋②求得z＝－5x，代入③得y＝－7x，取x＝－1，則y＝7，z＝5，于是－a＋7b＋5c＝0，即a＝7b＋5c，所以a，b，c三向量共面．10．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，設(shè)－*6]·錯(cuò)誤!＝a，錯(cuò)誤!＝b，錯(cuò)誤!＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)．cAE0rSEiTd6/7<1）用向量a，b，c，表示D1B