多次相遇和追及問題題庫教師

3-1-3學(xué)會畫圖解行程題能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題能夠利用比例解多人相遇和追及問題題所有行程問題都是圍繞“路程=速度時間”這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解．【例1】(難度等級※)甲、乙兩名同學(xué)在周長為300米圓形跑道上從同一地點同時背向練習(xí)跑步，甲每？米，因為甲的速度為每秒鐘跑3.5米，乙的速度為每秒鐘跑4米，所以這段時間內(nèi)甲共行了30003000=1400米，也就是甲最后一次離開出發(fā)點繼續(xù)行了200米，可知甲還需行【鞏固】(難度等級※)甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是400米的環(huán)形跑道上一點A背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程是多少米?在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12÷4＝3(倍).按照這個倍數(shù)計算，小(千米).【例3】(難度等級※※)甲、乙兩車分別同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地95千米處相【解析】畫線段示意圖(實線表示甲車行進(jìn)的路線，虛線表示乙車行進(jìn)的路線)：【鞏固】(難度級別※※)甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離.【鞏固】(難度等級※※)甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離.【鞏固】(難度等級※※)甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一【鞏固】(難度等級※※)甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一米處第二次相遇，求第三次相遇時共走了多少千米.【鞏固】(難度等級※※)甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一離.【鞏固】(難度等級※※)甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一千米處第二次相遇，求AB兩地之間的距離.第二次相遇.求此圓形場地的周長．1【解析】注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時，甲乙共走完圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時，甲乙2222【鞏固】(難度等級※※※)如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發(fā)反向個圓的周長.ABA點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在C點第一次相遇，3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差的速度為4米/秒．他們同時從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘．在這段時間內(nèi)，他們迎面相一次，就要合跑2倍的跑道長，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，兩人共跑了列決問題的關(guān)鍵是弄清他們首次相遇以及以后每次相遇兩人合跑的路程長． 【解析】甲AF第一次相遇E第一次追上B乙鐘)乙第一次追上甲時，所用的時間為100分鐘，且與甲的路程差為一個AB全程．從第一次追上【例7】(難度等級※※※)甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的，二李李乙時，兩人共走了一個AB的長，所以可以把AB的長看作5份，甲、乙分別走了2份和3份；第【鞏固】(難度等級※※※)小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時出發(fā)，則甲、乙兩地的距離為千米．【解析】由于兩人同時出發(fā)相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本題中追上也算相遇，所以兩人第二次相遇可能為迎面相遇，也可能為同向追及．①如果第二次相遇為迎面相遇，如下圖所示，兩人第一次在A處相遇，第二次在B處相遇．由于2個王甲AAB李乙王甲BAB②如果第二次相遇為同向追及，如上圖，兩人第一次在A處相遇，相遇后小王繼續(xù)向前走，小李米，兩人的速度比為3:9=1:3．所以第一次相遇時小李也走了9千米，甲、乙兩地的距離為【鞏固】(難度級別※※※)A，B兩地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A，B兩地之間，都是到達(dá)一地之后立即返回，乙車較甲車快。設(shè)兩輛車同時從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在【解析】第一次相遇，甲乙總共走了2個全程，第二次相遇，甲乙總共走了4個全程，乙比甲快，相遇又【例8】(難度級別※※※)小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一兩人第四次相遇的地點離乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇)？第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了離(3＋2＋2)倍的行程.其中張走了就知道第四次相遇處，離乙村.柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運動過程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點”，以及“由相遇的地點求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間是多少。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。約開往哈佛．輪船在途中均要航行七天七夜．試問：某條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前(途中)能遇上幾艘從紐約開來的輪船？他先畫了如下一幅圖：這是一張運行圖．在平面上畫兩條平行線，以一條直線表示哈佛，另一條直線表示紐約．那么，從哈佛或紐約開出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來表示．圖中的每條線段分別表示每條船的運行情況．粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點即為與對方開來輪從圖中可以看出，某天中午從哈佛開出的一條輪船(圖中用實線表示)會與從紐約開出的15艘中看到，輪船相遇的時間是每天中午和子夜．如果不仔細(xì)思考，可能認(rèn)為僅遇到7艘輪船．這個錯誤，主要是只考慮以后開出的輪船而忽略了【鞏固】(難度級別※※※)一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走15分鐘．有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站．他恰好又有一輛電車從甲站開出．問他從乙站到甲站用了多少分鐘？再引導(dǎo)學(xué)生用柳卡的運行圖的方式來分析：第一步：在平面上畫兩條平行線分別表示甲站與乙站．由于每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)，等距離劃分，每一小段表示5分鐘．第二步：因為電車走完全程要15分鐘，所以連接圖中的1號點與P點(注意：這兩點在水平方等分點作一簇與它平行的平行線表示從甲站開往乙站的電車．第三步：從圖中可以看出，要想使乙站出發(fā)的騎車人在途中遇到十輛迎面開來的電車，那么從P從圖中可以看出，騎車人正好經(jīng)歷了從P點到Q點這段時間，因此自行車從乙站到甲站用了【例10】(難度級別※※※)甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇相遇的地點)：不同兩端又重新開始，這正以兩人跑10分鐘，正好是四個周期，也地后，都立即按原來路線返航．水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同．如果兩船兩次相ADENNMBCF由于兩船在靜水中的速度相同，所以兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣榷挤謩e相同，那么兩船順?biāo)写瑒e走了(10020)2=40千米和10040=60千米，可得兩船的順?biāo)俣群湍嫠俣戎葹閹状蜗嘤鰰r距B地最近(從后面追上也算作相遇)？最近距離是多少？甲、乙的運行圖如上，圖中實現(xiàn)表示甲，虛線表示乙，兩條線的交點表示兩人相遇．在30分鐘A0)步行，每分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米．則甲、乙二人第幾次迎面相遇時距B地【解析】半小時內(nèi)，兩人一共行走(40＋150)×30=5700米，相當(dāng)于6個全程，兩人每合走2個全4:15，所以相同時間離B地5/19個全程，所以甲、乙兩人第二次迎面相遇時距離B地最近．地跑步90分鐘．甲跑步的速度是每分鐘40m；乙跑步的速度是每分鐘150m．在這段時間內(nèi)他們面對面相遇了數(shù)次，請問在第幾次相遇時他們離B點的距離最近？遇時他們離B點距離最近．B地間往返鍛煉．甲每分鐘跑300米，乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運動．甲、乙兩【例13】(難度等級※※※※)(仁華入學(xué)試題)甲、乙兩車同時從同一點A出發(fā)，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛．甲車每小時行駛65千米，乙車每小時行駛55千米．一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相到了A點，并且行駛的方向與最開始相同． 【例14】(難度等級※※※※)下圖是一個邊長90米的正方形，甲、乙兩人同時從A點出發(fā)，甲逆時針每分行75米，乙順時針每分行45米．兩人第一次在CD邊(不包括C，D兩點)上相遇，兩人相遇一次，依次可推出第7次在CD邊相遇(如圖，圖中數(shù)字表示該點相遇的次數(shù))【例15】(難度等級※※※※)如圖所示，甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的A點背向出發(fā)跑步。跑道右半部分(粗線部分)道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒4米。兩人一直跑下去，問：他們第99次迎面相遇的地方距A點還有米。A【解析】本題中，由于甲、乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙各自繞著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時間分別相同，那么兩人所用的總時間也就相同，所以，兩人同時出發(fā)，跑一圈后同時回到A點，即兩人在A點迎面相遇，然后再從A點出發(fā)背向而行，可以發(fā)現(xiàn)，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期．在第一個周期內(nèi)，兩人同時出發(fā)背行而行，所以在回到出發(fā)點前肯定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后回到出發(fā)點是第二次迎面相遇；然后再出發(fā)，又在同一個相遇點第三次相對于第一次相遇點的位置，需要分段進(jìn)行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發(fā)到乙甲乙甲是第一次相遇點與A點的距離，也是第99次迎面相遇的地點與A點的距離．順時針方向跑,兩人同時從兩跑道的交點A處出發(fā),當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時,甲共跑了多少米?A甲AA乙B甲清楚．B乙還沒有到達(dá)B點,所以第一次相遇一定在逆時針的BA某處．所以當(dāng)甲再次到達(dá)B處時,乙還未到B處,那么甲必定能在B點右邊某處與乙第二次相遇．從乙再次到達(dá)A處開始計算,還需(40050)(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此時甲共跑了A48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時從A點出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個圓爬行。問：當(dāng)小【解析】我們知道，大小圓只有一個公共點(內(nèi)切)，而在圓上最遠(yuǎn)的兩點為直徑兩端，所以當(dāng)一只甲蟲在22度相同，所以相同時內(nèi)路程相同，起點相同，【例18】(難度等級※※※※※)如圖所示，甲沿長為400米大圓的跑道順時針跑步，乙則沿兩個小圓AA4B【解析】從圖中可以看出，甲、乙兩人只有可能在A、B兩點處相遇(本題中，雖然在B處時兩人都是順時針，但是由于兩人的跑道不同，因此在此處的相遇不能看作是追及)．個時間單位，則乙跑200米所用的時間為3個時間單位．根據(jù)題意可知，1個時間單位為3可以看出，只有甲跑的時間是5個時間單位的整數(shù)倍時，甲才可能在A點或B點，而且是奇數(shù)倍同樣地，是奇數(shù)倍時在B點，是偶數(shù)倍時在A點．要使甲、乙在A、B兩點處相遇，兩人所跑的時間應(yīng)當(dāng)是15個時間單位的整數(shù)倍(由于3和5的奇偶性相同，所以只要是15個時間單位的整數(shù)倍甲、乙兩人就能相遇)，可以是15個時間單是3BBABAB9BABA6BAABAA00B53甲乙BA經(jīng)過【例19】(難度等級※※※※)三個環(huán)行跑道如圖排列，每個環(huán)行跑道周長為210厘米；甲、乙兩只爬和每分鐘l5厘米，甲、乙兩爬