數(shù)學(xué)建模古典概型

數(shù)學(xué)建模古典概型第1頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第1章古典概型【古典概型簡介】概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的學(xué)科，它起源于對賭博問題的研究。早在16世紀(jì)，意大利學(xué)者卡丹與塔塔里亞等人就已從數(shù)學(xué)角度研究過賭博問題。

他們的研究除了賭博外還與當(dāng)時的人口、保險業(yè)等有關(guān)，但由于卡丹等人的思想未引起重視，概率概念的要旨也不明確，于是很快被人淡忘了。第2頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

概率概念的要旨是在17世紀(jì)中葉法國數(shù)學(xué)家帕斯卡與費(fèi)馬的討論中才比較明確。他們在往來的信函中討論"合理分配賭注問題"，在概率問題早期的研究中，逐步建立了事件、概率和隨機(jī)變量等重要概念以及它們的基本性質(zhì)。

后來由于許多社會問題和工程技術(shù)問題，如：人口統(tǒng)計、保險理論、天文觀測、誤差理論、產(chǎn)品檢驗和質(zhì)量控制等，這些問題的提出，均促進(jìn)了概率論的發(fā)展。第3頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

從17世紀(jì)到19世紀(jì)，貝努利、隸莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切貝謝夫、馬爾可夫等著名數(shù)學(xué)家都對概率論的發(fā)展做出了杰出的貢獻(xiàn)。為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。1933年，他發(fā)表了著名的《概率論的基本概念》，用公理化結(jié)構(gòu)，明確定義了概率論中的基本概念，成為了概率論發(fā)展史上的一個里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。第4頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1驗證性實驗實驗一排列數(shù)與組合數(shù)的計算【實驗?zāi)康摹?．掌握排列數(shù)和組合數(shù)的計算方法

2．會用Matlab計算排列數(shù)和組合數(shù)【實驗要求】1．掌握Matlab計算階乘的命令factorial和雙階乘的命令prod2．掌握Matlab計算組合數(shù)的命令nchoosek和求所有組合的命令combntns第5頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月排列數(shù)與組合數(shù)的計算1．計算下列結(jié)果：（1）10?。?）20?。。?）10!/20!第6頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)>>factorial(10)

運(yùn)行結(jié)果為：

ans=3628800(2)>>prod(2:2:20)

運(yùn)行結(jié)果為：

ans=3.7159e+009(3)>>factorial(10)/prod(2:2:20)

運(yùn)行結(jié)果為：

ans=9.7656e-004第7頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月>>nchoosek(8,2)*factorial(2)

運(yùn)行結(jié)果為：

ans=56第8頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月>>nchoosek(8,2)運(yùn)行結(jié)果為：ans=28第9頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)>>nchoosek(10,2)運(yùn)行結(jié)果為：ans=45(4)>>x=2:1:4;>>y=factorial(x);>>factorial(9)/prod(y)運(yùn)行結(jié)果為：ans=1260第10頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月寫出從1，2，3，4，5，6，7，8這8個數(shù)中取6個數(shù)的所有組合。>>combntns(1:8,6)運(yùn)行結(jié)果為：ans=123456123457123458123467123468123478第11頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

123567123568123578123678124567124568124578124678125678第12頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

134567134568134578134678135678145678234567234568234578第13頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

234678235678245678345678第14頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1驗證性實驗

實驗二古典概率的計算【實驗?zāi)康摹?.熟悉概率的概念和性質(zhì)

2.掌握古典概率的計算方法，并通過實例加深對概率概念和性質(zhì)的理解【實驗要求】1.掌握Matlab計算階乘的命令factorial和雙階乘的命令prod2.掌握Matlab計算組合數(shù)的命令nchoosek3.會用Matlab命令求古典概率第15頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月古典概率的計算

1．設(shè)ｎ個人中每個人的生日在一年365天中任一天是等可能的。求當(dāng)n為23，40，64時，這ｎ個人中至少有兩人生日相同的概率各為多少？>>n=23;>>p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n運(yùn)行結(jié)果：p=0.5073第16頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月>>n=40;>>p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n運(yùn)行結(jié)果：p=0.8912第17頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月>>n=64;>>p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n運(yùn)行結(jié)果：p=0.9972第18頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2．某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？>>p=2^12/7^12%接待時間沒有規(guī)定時，訪問都發(fā)生在周二和周四的概率運(yùn)行結(jié)果：p=2.9593e-007此概率很小，由實際推斷原理知接待時間是有規(guī)定的。第19頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月3．在50個產(chǎn)品中有18個一級品，32個二級品，從中任意抽取30個，求其中(1)恰有20個二級品的概率；(2)至少有2個一級品的概率？（1）>>p1=nchoosek(32,20)*nchoosek(18,10)/nchoosek(50,30)運(yùn)行結(jié)果：p1=0.2096第20頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）>>p2=1-(nchoosek(32,30)+nchoosek(18,1)*nchoosek(32,29))/nchoosek(50,30)運(yùn)行結(jié)果：p2=1.0000第21頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月4．某廠一、二、三車間生產(chǎn)同類產(chǎn)品，已知三個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總量的50%，25%，25%，且這三個車間產(chǎn)品的次品率分別為1%，2%，4%三個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品在倉庫中均勻混合。從倉庫中任取一件產(chǎn)品，求它是次品的概率；(2)從倉庫中任取一件產(chǎn)品，經(jīng)檢測是次品，求該產(chǎn)品產(chǎn)自于三個車間的概率?第22頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）>>a=[0.5,0.25,0.25];>>b=[0.01,0.02,0.04];>>p1=dot(a,b)運(yùn)行結(jié)果：p1=0.0200第23頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）>>a=[0.5,0.25,0.25];>>b=[0.01,0.02,0.04];>>p2=a.*b/p1運(yùn)行結(jié)果：p2=0.25000.25000.5000向量p2的三個分量正是所要計算的三個概率，而且第三個概率最大，說明該次品來自第三個車間的可能性最大。第24頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2設(shè)計性實驗實驗一拋硬幣試驗的計算機(jī)模擬

拋硬幣試驗是概率論中非常簡單易懂而且易于操作的試驗，在概率研究的發(fā)展史上就有很多著名的數(shù)學(xué)家做了這樣的試驗，如表1：第25頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

現(xiàn)在，要求用Matlab模擬出拋硬幣試驗，并觀察隨著試驗次數(shù)的增加，正面朝上的頻率如何變化？試驗并觀察在相同的試驗次數(shù)下，正面朝上的頻率是否相同？第26頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月拋硬幣試驗的計算機(jī)模擬【實驗方案】

拋一枚均勻硬幣，容易知道正面朝上的概率是0.5。若做n次拋硬幣試驗，正面朝上的次數(shù)是k次，則正面朝上的頻率是k/n。由貝努利大數(shù)定律，隨著n的增大，頻率k/n會趨近于概率0.5，這體現(xiàn)了頻率的穩(wěn)定性。但是頻率不是n和k的簡單函數(shù)，即使相同的n頻率也會不同，這體現(xiàn)出頻率的波動性第27頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月在Matlab的Medit窗口建立文件money.m：functiony=money(n)fori=1:1:nx(i)=binornd(1,0.5);end;k=sum(x);y=k/n第28頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月在Matlab的命令窗口輸入下述命令：>>money(100)；y=0.4600>>money(1000)；y=0.4820>>money(10000)；y=0.4987>>money(10000)；y=0.4982第29頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

以上數(shù)據(jù)說明，隨著試驗次數(shù)的增加，正面朝上的頻率逐漸增大，且趨近于0.5。但是即使試驗次數(shù)一樣，正面朝上的頻率也會不同，這說明，頻率既具有穩(wěn)定性，又具有波動性。第30頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2設(shè)計性實驗實驗二蒙特霍爾問題蒙特霍爾問題，亦稱為蒙特霍問題或三門問題（英文：MontyHallProblem），是一個源自博弈論的數(shù)學(xué)游戲問題，出自美國電視游戲節(jié)目Let'sMakeaDeal”，問題的名字來自該節(jié)目的主持人蒙特·霍爾(MontyHall）第31頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

這個游戲的玩法是：參賽者會看見三扇關(guān)閉了的門，其中一扇的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門后面則各藏有一只山羊。當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節(jié)目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后會問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門。問題是：換另一扇門是否會增加參賽者贏得汽車的機(jī)率？如果嚴(yán)格按照上述的條件的話，答案是會。換門的話，贏得汽車的機(jī)率是2/3。第32頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

這個問題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問題的答案在邏輯上并不自相矛盾，但十分違反直覺。這問題曾引起一陣熱烈的討論。以下是蒙提霍爾問題的一個著名的敘述，來自CraigF.Whitaker于1990年寄給《展示雜志》（ParadeMagazine）瑪莉蓮·莎凡（MarilynvosSavant）專欄的信件：假設(shè)你正在參加一個游戲節(jié)目，你被要求在三扇門中選擇一扇：其中一扇后面有一輛車；其余兩扇后面則是山羊。你選擇了一道門，假設(shè)是一號門，然后知道門后面有什么的主持人，開啟了另一扇后面有山羊的門，假設(shè)是三號第33頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月門。他然后問你：“你想選擇二號門嗎？”轉(zhuǎn)換你的選擇對你來說是一種優(yōu)勢嗎？蒙特霍爾問題的結(jié)論是如此的與我們的直覺相違背，請用概率知識分析這其中的道理，并設(shè)計一個試驗?zāi)M蒙特霍爾問題，看模擬的結(jié)果是否與理論結(jié)果一致？第34頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月【實驗方案】

蒙特霍爾問題的關(guān)鍵是電視節(jié)目主持人為了節(jié)目的緊張刺激，故意會打開他事先知道的有羊的門，因此，如果不換的話，參賽者獲得汽車的可能性是1/3。如果參賽者要更換選擇，則他將會面臨三種等可能性的情況：參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號，更換選擇將贏得汽車。參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號，更換選擇將贏得汽車。第35頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭，更換選擇將不會贏得汽車。在頭兩種情況，參賽者可以通過更換選擇而贏得汽車，第三種情況是唯一一種參賽者通過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是通過更換選擇而贏的，所以通過更換選擇而贏的概率是2/3。第36頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

另一種解答是假設(shè)你永遠(yuǎn)都會更換選擇，這時贏的唯一可能性就是選一扇沒有車的門，因為主持人其后必定會開啟另外一扇有山羊的門，消除了更換選擇后選到另外一只羊的可能性。因為門的總數(shù)是三扇，有山羊的門的總數(shù)是兩扇，所以轉(zhuǎn)換選擇而贏得汽車的概率是2/3，與初次選擇時選中有山羊的門的概率一樣。第37頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月在Matlab的Medit窗口建立montyhall.m文件：functionnochange=montyhall(n)m=0;l=0;x=[1,1,2];%此處用“1”代表山羊，“2”代表汽車fori=1:1:nk=unidrnd(3);

ifx(k)==2m=m+1;l=l;第38頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月elsem=m;l=l+1;endendnochange=m/nchange=l/n第39頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月在Matlab的命令窗口輸入下述命令：>>montyhall(1000)；nochange=0.3380change=0.6620>>montyhall(10000)；nochange=0.3307change=0.6693第40頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月>>montyhall(100000)；nochange=0.3317change=0.6683>>montyhall(1000000)；nochange=0.3335change=0.6665第41頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

通過以上數(shù)據(jù)可以看出，隨著實驗次數(shù)的增加，更換選擇的頻率趨近于2/3，而不做更換的頻率趨近于1/3，這和理論分析的結(jié)果是一致的。這個例子告訴我們，用Matlab設(shè)計實驗進(jìn)行模擬，可以糾正我們的直覺錯誤，同時也可以驗證理論的正確性。第42頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2設(shè)計性實驗實驗三巴拿赫火柴盒問題【實驗內(nèi)容】

有一人有兩盒火柴，每一盒有n根，每一次使用時，他在任一盒中取一根，問他發(fā)現(xiàn)一盒空，而另一盒有k根火柴的概率是多少？然后通過實驗分析當(dāng)n固定時，此概率隨著k的增加而如何變化，此概率何時取得最大值？第43頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月【實驗方案】

給這兩盒火柴編號為A和B，則每次取到A和B中的火柴的可能性是一樣的，都是1/2。在該人發(fā)現(xiàn)A盒火柴已經(jīng)空了而B盒火柴還剩k根之前，該人相當(dāng)于是做了2n-k次取火柴實驗（貝努利實驗），其中A盒火柴被取了n次，B盒火柴被取了n-k次。若以取到A盒火柴為實驗成功，且X表示2n-k次取火柴實驗中實驗成功的次數(shù)，則X服從參數(shù)為2n-k和1/2的二項分布，則A盒火柴被取了n次，B盒火柴被取了n-k次的概率為：第44頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月【實驗過程】1．觀察當(dāng)n為20時，隨著k的增大，概率的變化趨勢。在Matlab的命令窗口輸入下述命令：>>n=20;>>fork=0:1:20>>p=nchoosek(2*n-k,n)*0.5^(2*n-k);>>fprintf('p(%d)=%d.\n',k,p);>>end第46頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月然后運(yùn)行上述文件，運(yùn)行結(jié)果如下：p(0)=1.253707e-001.p(1)=1.253707e-001.p(2)=1.221561e-001.p(3)=1.157268e-001.p(4)=1.063435e-001.p(5)=9.452759e-002.p(6)=8.102365e-002.p(7)=6.672536e-002.p(8)=5.257149e-002.p(9)=3.942862e-002.p(10)=2.798160e-002.第47頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月p(11)=1.865440e-002.p(12)=1.157859e-002.p(13)=6.616339e-003.p(14)=3.430694e-003.p(15)=1.583397e-003.p(16)=6.333590e-004.p(17)=2.111197e-004.p(18)=5.507469e-005.p(19)=1.001358e-005.p(20)=9.536743e-007.

從上述結(jié)果可以看到，當(dāng)n為20時，隨著k的增大，概率p越來越小,而且概率值變化很明顯。第48頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2．觀察當(dāng)k固定時（固定為2），隨著n的增大，概率的變化趨勢。在Matlab的命令窗口輸入下述命令：>>k=2;>>forn=10:1:20>>p=nchoosek(2*n-k,n)*0.5^(2*n-k);>>fprintf('p(%d)=%d.\n',n,p);>>end第49頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月然后運(yùn)行上述文件，運(yùn)行結(jié)果如下：p(10)=1.669235e-001.p(11)=1.601791e-001.p(12)=1.541724e-001.p(13)=1.487818e-001.p(14)=1.439109e-001.p(15)=1.394829e-001.p(16)=1.354354e-001.p(17)=1.317176e-001.p(18)=1.282874e-001.p(19)=1.251100e-001.p(20)=1.221561e-001.第50頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

從上述結(jié)果可以看到，當(dāng)k為2時，隨著n的增大，概率p越來越小,但是概率值變化不是很明顯。第51頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月巴拿赫火柴盒問題的計算機(jī)模擬：在Matlab的Medit窗口建立文件banahe.m：n=20;p=0.5;a=10000;fork=1:nm=0;forj=1:anl=n;nr=n;第52頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月fori=1:2*n

x=binornd(1,p);ifx==0nl=nl-1;elsenr=nr-1;endifnl==0|nr==0break;endend第53頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月if(nl==0&nr==k)|(nr==0&nl==k)m=m+1;endendfprintf('P(%d,%d)=%d.\n',n,k,m/a)end第54頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月運(yùn)行結(jié)果為：P(20,1)=1.302000e-001.P(20,2)=1.273000e-001.P(20,3)=1.267000e-001.P(20,4)=1.216000e-001.P(20,5)=1.118000e-001.P(20,6)=9.190000e-002.P(20,7)=8.070000e-002.P(20,8)=6.060000e-002.P(20,9)=5.160000e-002.P(20,10)=3.670000e-002.P(20,11)=2.400000e-002.第55頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月P(20,12)=1.800000e-002.P(20,13)=1.050000e-002.P(20,14)=4.700000e-003.P(20,15)=2.200000e-003.P(20,16)=1.100000e-003.P(20,17)=7.000000e-004.P(20,18)=0.P(20,19)=0.P(20,20)=0.第56頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月

上述結(jié)果是n=20，p=0.5對應(yīng)的概率（k從1到20），模擬的結(jié)果和理論結(jié)果比較接近。讀者也可以改變上述程序模擬k固定時，概率隨著n的值的變化結(jié)果。如果這兩盒火柴放于此人的左右兩個口袋里，而此人較習(xí)慣于用左手取火柴，假設(shè)每次用左手取火柴的概率為p=0.7，則此時結(jié)果又如何，理論結(jié)果與試驗結(jié)果是否一致？第57頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3綜合性實驗蒲豐投針實驗取一張白紙，在上面畫上許多條間距為d的平行線。取一根長度為l(