數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理第一章

數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理第一章第1頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月§1緒論數(shù)學(xué)物理方程是數(shù)學(xué)建模的最好例證，從中我們可以學(xué)習(xí)如何將一個(gè)實(shí)際問題通過適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和假設(shè)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來表示，即如何建立一個(gè)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，然后求解該模型，模型的解能否解釋實(shí)際問題的現(xiàn)象。也就是說求得的解是否能夠描述實(shí)際問題，這要通過物理實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。這一過程就是科學(xué)研究所需要的或者說必經(jīng)的過程。我們從所學(xué)的三類方程中可以看到數(shù)學(xué)的抽象性而決定的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性，經(jīng)典方程的經(jīng)典解法具有的一般性和普適性。第2頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月§1緒論一、本課程的研究對(duì)象第3頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時(shí)工業(yè)上要研究金屬冶煉和熱處理，迫切需要確定金屬內(nèi)部各點(diǎn)的溫度如何隨時(shí)間變化！Fourier對(duì)這種熱流動(dòng)問題頗有興趣.1807年想巴黎科學(xué)院提交了用數(shù)學(xué)研究熱傳導(dǎo)的論文。Fourier用實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證了任何函數(shù)都可以展開成三角級(jí)數(shù)的形式。但他沒有給出證明和函數(shù)可以展開成級(jí)數(shù)應(yīng)該具備的條件。1829年德國數(shù)學(xué)家狄里赫雷給出了嚴(yán)格的證明.19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)物理方程有重要貢獻(xiàn)的另外是法國兩位數(shù)學(xué)家Poisson和Laplace和英國數(shù)學(xué)家格林以及德國數(shù)學(xué)家黎曼..第6頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月這三類方程及其求解構(gòu)成數(shù)學(xué)物理方程的主要內(nèi)容第7頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月18世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家

達(dá)朗貝爾（1717-1783歐拉（1707-1783））第8頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)物理方程中的著名數(shù)學(xué)家物理學(xué)家位勢(shì)方程的研究者拉普拉斯（法1749-1827）傅立葉（法1768----1830）--熱傳導(dǎo)方程的研究先驅(qū)第9頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月柯西（法1789-1857）黎曼（德1826-1866）第10頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月二、關(guān)于偏微分方程的基本概念1.1.方程的階第11頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2線性微分方程1.3半線性微分方程、擬線性方程第12頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月本課遇到一二階線性偏微分方程的一般表達(dá)形式一階線性偏微分方程的一般表達(dá)形式二階線性偏微分方程的一般表達(dá)形式第13頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4非齊次、齊次偏微分方程在線性偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及偏導(dǎo)數(shù)的非零項(xiàng)稱作非齊次項(xiàng)。含有非奇次項(xiàng)的方程稱之為非齊次方程；否則稱作齊次方程。1.5偏微分方程的古典解m階偏微分方程在某區(qū)域的古典解是指具有直至m階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)使方程對(duì)其全體自變量在該區(qū)域成為等式。F非齊次項(xiàng)第14頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1.6偏微分方程的定解條件與定解問題偏微分方程的解有無窮多個(gè)·而每個(gè)解都表示一特定的運(yùn)動(dòng)過程，為了找出我們所研究的具有實(shí)際問題要求的解，必須考慮研究對(duì)象所處的周圍環(huán)境和初始狀態(tài)等其他因素對(duì)解的影響，通過在這些方面的考慮，得到一些已知條件。這樣就有可能確定出一個(gè)特定的解。這個(gè)特解既要滿足方程本身又要滿足所考慮的各種影響因素，因此也稱作定解；這些已知條件稱作定解條件。偏微分方程與其定解條件一起構(gòu)成定解問題。偏微分方程的定解問題并不一定都有解。因此定解問題提的一定要適當(dāng)。第15頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月三、數(shù)學(xué)物理方程的研究方法在數(shù)學(xué)中解決每個(gè)問題時(shí)，總是先對(duì)問題進(jìn)行盡可能詳細(xì)的考察，取得感性認(rèn)識(shí)，從中找出規(guī)律性的東西，然后使用判斷和推理的方法得出數(shù)學(xué)結(jié)論。這叫做分析過程，而從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格論證結(jié)論的正確性叫做綜合過程。就結(jié)論是否正確，綜合過程是不可缺的。但對(duì)探討新結(jié)論來說，分析過程尤為重要！在數(shù)學(xué)物理方程中，我們特別強(qiáng)調(diào)通過分析過程推測(cè)可能得到的結(jié)論！而對(duì)結(jié)論的嚴(yán)格論證則常給予略去。這種做法并不意味著可以取消綜合過程，而是意味著分析過程從方法到結(jié)論都能給我們一些新的結(jié)論，而驗(yàn)證結(jié)論的正確性原則上沒有什么困難。正因?yàn)榉治鲞^程的任務(wù)在于探求新結(jié)論，而結(jié)論的確實(shí)成立與否還需另行證明，所以在分析過程的推理中，并不要求十分嚴(yán)格，特別的不要由于某些定理的條件限制而束縛自己的思路，這是本課程中應(yīng)該注意的。第16頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月四、數(shù)學(xué)物理方程的基本內(nèi)容和要求本課程不可能對(duì)各種的數(shù)學(xué)物理問題進(jìn)行普遍的介紹，只能就前面我們提到的三種典型方程的典型定解問題做介紹！目的：使大家初步了解怎樣把物理學(xué)、力學(xué)、和科學(xué)技術(shù)中的一些實(shí)際問題表達(dá)成偏微分方程的定解問題；掌握求解偏微分方程定解問題的一些基本方法；獲得從物理上解釋某些數(shù)學(xué)結(jié)果的初步訓(xùn)練。這也是目前數(shù)學(xué)建模所需要的能力。數(shù)學(xué)物理方程是一門同實(shí)際聯(lián)系比較緊密的數(shù)學(xué)學(xué)科，因而也是一門綜合性比較強(qiáng)的學(xué)科；它以解決實(shí)際問題為唯一目標(biāo)，廣泛應(yīng)用物理學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)的各個(gè)分支知識(shí)；高等數(shù)學(xué)、復(fù)變函數(shù)、積分變換等。1.9數(shù)學(xué)物理方程課程所需要的基礎(chǔ)第17頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月五、數(shù)學(xué)物理方程參考書1數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)南京工學(xué)院數(shù)學(xué)教研組高等教育出版社1982年2數(shù)學(xué)物理方程歐維義吉林科技出版社1985年第18頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月§2方程及定解問題的物理推導(dǎo)2.1、弦振動(dòng)方程2.1.1、物理模型第20頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程弦的自由橫振動(dòng)方程第23頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2、薄膜平衡方程2.2.1、物理模型第25頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2、薄膜平衡方程（推導(dǎo)過程）2.2.1、物理模型第26頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3、熱傳導(dǎo)方程2.3.1、物理模型設(shè)有一個(gè)導(dǎo)熱體，當(dāng)此導(dǎo)熱體內(nèi)各處溫度不一致時(shí)，熱量就要從高溫處向低溫處傳遞，試確定物體內(nèi)部各點(diǎn)在任意時(shí)刻的溫度所滿足的方程.第29頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月奧---高公式第31頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1、弦振動(dòng)方程2、熱傳導(dǎo)方程3、位勢(shì)方程第33頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1、弦振動(dòng)方程2、熱傳導(dǎo)方程3、位勢(shì)方程第34頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4、定解條件和定解問題定解條件三類典型方程只能表示所研究的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所滿足的方程，其本身不能確定它們的一個(gè)特定解。每個(gè)偏微分方程一般都有無窮多個(gè)解，每個(gè)解都表示一個(gè)特定的運(yùn)動(dòng)。為此我們要對(duì)方程附加一定的條件來刻畫所研究物體的運(yùn)動(dòng)過程。第35頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4.1、三類典型方程的初始條件（1）、一維弦振動(dòng)方程的初始條件弦振動(dòng)的初始狀態(tài)涉及弦在初始時(shí)刻的位移和速度（2）、三維熱傳導(dǎo)方程的初始條件（3）、Poisson、Laplace方程無初始條件第36頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4.2、三類典型方程的邊值條件1、一維弦振動(dòng)方程的邊界條件弦的端點(diǎn)所受的約束情況，通常有以下三種：（2)自由端（第二邊值條件）即弦在端點(diǎn)可以沿垂直于x軸的直線自由滑動(dòng)，從而在這條直線的方向上，端點(diǎn)所受的張力分量為零.（3）彈性支撐端（第三邊值條件）邊界條件的形式比初始條件要多樣些.第37頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月1、一維弦振動(dòng)方程的邊界條件（2）自由端（第二邊值條件）即弦在端點(diǎn)可以沿垂直于x軸的直線自由滑動(dòng).（3）彈性支撐端（第三邊值條件）第38頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月2、三維熱傳導(dǎo)方程的邊界條件（2）第二邊界條件：在導(dǎo)熱過程中，單位時(shí)間單位面積邊界面流入的熱量已知，由Fourier熱傳導(dǎo)定律：Newton熱傳導(dǎo)定律在單位時(shí)間內(nèi)，從物體表面單位面積中流向介質(zhì)的熱量同物體外表面的溫度與介質(zhì)在表面處的溫度之差成正比.第39頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月Cauchy問題也稱初邊值問題（1）沒有一般的求解理論，只能就具體定解問題做具體分析；（2）求解定解問題分兩步走：先求定解問題的形式解，然后加上適當(dāng)條件嚴(yán)格論證所求形式解確是解?。?）本書所討論的方程均為線性方程，在求解過程中應(yīng)該充分利用疊加原理.所說的形式解就是先假定所有的已知函數(shù)未知函數(shù)具有很好的性質(zhì)，也就是需要什么條件就具有什么條件。第40頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月一、熱傳導(dǎo)方程1、第一邊界問題2、第二邊界問題3、第三邊界問題第41頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月二、波動(dòng)方程

第一邊界問題第二邊界問題第三邊界問題第42頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月三、位勢(shì)方程1、第一邊界問題2、第二邊界問題1、第三邊界問題第43頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月§3兩個(gè)重要定律一、杜阿梅爾原理（以一維弦振動(dòng)為例）第44頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日中值定理積分中值定理第45頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共55頁，創(chuàng)作