第八章4講直線與圓位置關(guān)系

第4 [學(xué)生d為圓心(a，b)l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的Δ.11O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r2(r1122O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(r22dr1，r2

l(1)幾何法rdl，則2＝r2－d2.＝＝注意習(xí)題改編直線x－y＋1＝0與圓(x＋1)2＋y2＝1的位置關(guān)系是( C．直線不過圓心，但與圓相 若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長為22，則實數(shù)a的值為 A．－1或 B．1或C．－2或 D．0或

2

2 [解析]圓心(a，0)x－y＝22

，則

22a＝04，圓Q：x2＋y2－4x＝0在點P(1，3)處的切線方程為( A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－ D．x－ [解析]P在圓上，Q的坐標(biāo)為

-

3，k＝33y－3＝33x－若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則實數(shù) 解析]圓C1的圓心是原點00半徑1＝1圓心C234半徑2＝ 25－由兩圓外切得C12＝＋2＝1＋ 25－＝所以＝9.[答案5．(2015·高考湖南卷)3x－4y＋5＝0x2＋y2＝r2(r>0)A，B∠AOB＝120°(O為坐標(biāo)原點)，則 [解析]如圖過點O作OD⊥AB于點D，則 因為所以所以|OB|＝2|OD|＝2，r＝2.[答案]2直線與圓的位置關(guān)系[學(xué)生 (1)已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān) B．相C．相 (2)若過點A(4，0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍 A．[－3， B．(－3，— 3—

3

— 3，3 3，3—【解析 (1)因為M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外＝a2＋b2＞1，Oax＋by＝1＝

＝(2)y＝k(x－4)，kx－y－4k＝0，l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公d小于或等于半徑k≤所以d＝|2k－4k|≤1，解得－ 3.k≤

3 【答案 若將本例(1)M(a，b)O：x2＋y2＝1ax＋by＝1O 1，O

1．直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是( C．相 [解析]法一由 l ＜1＜5，故直線l與圓相交法三：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(1，1)，因為點(1，1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，所以直線l與圓相交．個數(shù)為 [解析]

與圓相交，由數(shù)形結(jié)合知，13圓與圓的位置關(guān)系[學(xué)生 (1)(2016·高考山東卷)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是22，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是( B．相C．外 已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大 2393

【解析 得兩交點為M2所 a2＋（－a）2＝22.又a>0，所以Mx2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，M(0，2)，又圓N(x1)2(y1)2＝1圓心N(11)半徑r2＝1所以|MN|（0－1）2＋（2－1）2＝2.r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，(2)由圓C1與圓C2相外切，可

9a＝b時，【答案

1．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切線有 B．2C．3 D．4[解析]C1(－1，－1)，r1＝2；圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，C2(2，1)，所以 （－1－2）2＋（－1－1）2＝d＞r1＋r2，所以兩圓外離，4點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是 [解析]由兩圓在點A處的切線互相垂直，可知兩切線分別過另一圓的圓心，即AO，AO

中，(25)2＋(5)2＝m2，

25× 1[答案

(1)(2015·高考重慶卷)若點P(1，2)在以坐標(biāo)原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程 若|AB|＝23，則圓C的面積為 【解析 (1)因為以原點O為圓心的圓過點2因為kOP＝2，222

2x－y＋2a＝02

2＋(3) 2a2＝2，C2，C2【答案 ll的距離等于半徑，l相交的情形：①l的距離小于半徑，ll角度一 平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是 A．2x＋y＋5＝0B．2x＋y＋5＝02x＋y－C．2x－y＋5＝0D．2x－y＋5＝02x－y－[解析]設(shè)直線方程為2x＋y＋c＝0，由直線與圓相切，得d＝|c|＝52x＋y＋5＝0角度二 a，b，c是△ABCcsinC＝3asinA＋3bsinB－by＋c＝0被圓O：x2＋y2＝12所截得的弦長為 66 66 [解析]因為a＝b＝sin sin sincsinC＝3asinA＋3bsinB ＝3，所以直線l被圓O所截得的弦長為2 （23）2－（3）2＝6，故選C.3．(2017·云南省統(tǒng)一考試)已知圓O：x2＋y2＝1，直線x－2y＋5＝0上動點P，過點 [解析]OOPx－2y＋5＝0POPA， ＝5.又|OA|＝1， [答案]2角度三 4．直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點，若|MN|≥23，則k的取

3

B．－3，3 C．[－3， [解析]如圖C(2，3)y＝kx＋3d，若|MN|≥2 d2＝r2－2|MN|即即解得－3≤k≤ 3[學(xué)生——(12分)CCx軸正半軸上，C3x－4y＋7＝0y23C13.(1)C(1)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，

(2分

8解得 8

(4分 r＝8C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4.(5分(2)理由如下：當(dāng)斜率不存在時，lx＝0，(6分

消去得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，(7分)lC相交于不同的兩點， 3解得k<1－26或k>1＋2 分 3

x1＋x2＝－1＋k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝1＋k2 (9分OD∥MCOD∥MC，則－3(x＋x)＝y(tǒng)＋y

所以3×1＋k2＝1＋k2k＝3，3∈/－∞，1－26∪1＋2 (11分

3 l.(12分1在解題過程中注意答題要求嚴(yán)格按照題目及相關(guān)知識的要求答題不僅注意解決問題的巧解，更要注意此類問題的通性通法．如本例(1)中，設(shè)出圓的方程，利用待定系數(shù)法求出圓的方程．(2)本例(2)中由＝求出，再利用可求得k，兩步都應(yīng)驗證，[學(xué)生P300(獨立成冊＝1}，則A∩B的元素個數(shù)為 [解析]法一：(直接法)A表示圓，B表示一條直線，又圓心(0，0)x＋y＝1d＝1＝

2l：y＝kx＋1(k<0)C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0l－2)2＋y2＝3的位置關(guān)系是 B．相C．相 [解析]C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圓心坐標(biāo)為(－2，1)，半徑為2，lC所 ＝2，解得k<0，lx＋y－1＝0.D(2，0)l

22232223 lDB兩點，且△ABC為等腰直角三角形，則實數(shù)a的值為( 7 7C．1或 [解析]由題意得，圓心(1，－a)ax＋y－1＝0的距離為2，2＝2，a＝±1，24．若圓x2＋y2＝a2與圓x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦長為23，則a的值為( [解析]x2＋y2＝a2O，x2＋y2＝a2x2＋y2＋ay－6＝0左右分別相減a2＋ay－6＝0，Oa2＋ay－6＝0 2 6－2根據(jù)勾股定理可得a＝(3) aa2＝4，a＝±2.5．(2017·福建福州八中模擬)O：x2＋y2＝4l：x＋y＝a的點至少有2個，則a的取值范圍為( A．(－32，32)B．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C．(－22，22)D．[－32，3 ] 等于1的點至少有2個，所以圓心到直線l的距離d<r＋1＝2＋1，即 |－a| <3， a∈(－32，32)，2) A．(－5－1，5－1) B．[－5－1，5－1]C．(－22－1，22－1) D．[－22－1，22－1][解析]M(x，y)，因為|MA|2＋|MO|2＝10，x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，＋(y－1)2＝4，Ml上，x＋y＋a＝0x2＋(y－1)2＝42時滿足題意， ≤2，解得－22－1≤a≤22 222[解析]由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以該圓的圓心坐標(biāo)為222r＝

(1，2)3x－y－6＝0 |AB|2＝45－5＝10，即|AB|＝10.

，由2＝r－d， 2A，By2

→＝→，則直線l的斜率 [解析]依題意得，APB的中點，|PC|＝|PA|＋|AC|＝35，C(3，5) （35）2－32＝6.記直線l的傾斜角為θ，則|CC|tanθ|＝|PC1|＝2，|CC1[答案切線與圓(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝ ]處的切線方程為

＝5?a＝－2，[答案]－2)2＝40內(nèi)，動直線AB過點P且交圓C于A，B兩點，若△ABC的面積的最大值為20，則實數(shù)m的取值范圍是 2[解析]由圓的方程知，圓心C(m，2)，半徑r＝210，所以2πr＝45，則點C到AB的距離為25，所以25≤|PC|<210，即25≤<210，解得－3<m≤－17≤m<9.[答案](－3，－1]∪[7，9)．已知圓(2)l2：x－2y＋4＝0 [解](1)因為 －1)y＋1＝－3(x－4)，(2)設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0，

5＝10，所以m＝±552x＋y±5 ＝1M，N(1)k(2)·＝12O為坐標(biāo)原點，求|MN|.[解](1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1.因為直線l與圓C交于兩點，所 4－34＋34－34＋3k的取值范圍為4－

4＋ ， (2)y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，x

xx＝7

，1

OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k 由題設(shè)可 ＋8＝12，解得lCl上，所以13．(2017·湖南長郡中學(xué)月考)x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0a∈R

1 [解析]由題意知兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，為(－a，0)和(0，2b)，21，因為兩圓恰有三條公切線，所以兩圓外切， 1 1 ＝3，即a＋4b＝9，所以 b2＝91＋a2 1.a2＝b2，即|a|＝2|b|時取等號，14．(2017·南昌模擬)P(2，0)ly＝2－x2A，BO為坐標(biāo)原點，當(dāng)S△AOB＝1時，直線l的傾斜角為( 由y＝ 2－x2得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原點O為圓心，以2為半徑的半圓，其圖象如圖所示．P(2，0)則圓心到此直線的距離d＝ k22所以SAOB＝12k＝3應(yīng)舍去

×

，3＝13

3由圖可得k＝－3 l(1)l與⊙C(2)l與⊙CA、BABP[解1)證明：因為⊙C：x2＋y2－2x－4y－20＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝25，又因為直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0Q(3，1)Q在⊙C內(nèi)部，l與⊙C(2)由題意知，P(x，y)AB的中點由(1)可知· CP＝(x－1，y－CP＝(x－1，y－2)，QP＝(x－3，y－1)，所以P由圓的幾何性質(zhì)可知當(dāng)Q(31)是弦AB的中點時|AB|最?。畖CQ|（