2023高考數(shù)學(xué) 慶祝神州飛船返航專項(xiàng)練習(xí)-教師用卷

慶祝神州飛船返航專項(xiàng)練習(xí)

一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）

1.據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神七”的“長(zhǎng)征二號(hào)"F火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過的路程為

2km,以后每秒鐘通過的路程都增加2km,在達(dá)到離地面240kni的高度時(shí)，火

箭與飛船分離，則這一過程需要的時(shí)間大約是（）

A.10秒鐘B.13秒鐘C.15秒鐘D.20秒鐘

【答案】C

【解析】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式解決實(shí)際問題，是一道靈活

應(yīng)用題.

設(shè)出每一秒鐘的路程為一數(shù)列，由題意可知此數(shù)列為等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前

n項(xiàng)和的公式表示出離地面的高度，讓高度等于240列出關(guān)于n的方程，求出方程的解

即可得到n的值.

解：設(shè)每一秒鐘通過的路程依次為由,a2,。3,…，斯，

則數(shù)列｛5｝是首項(xiàng)由=2,公差d=2的等差數(shù)列，

由求和公式有n%+n（＞1~1）d=240,即2n+n（n-1）=240,

解得71=15,

2.搭載神州十三號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)/遙十三運(yùn)載火箭，精準(zhǔn)點(diǎn)火發(fā)射后約582秒,

進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射取得圓滿成功.據(jù)測(cè)算：在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的

最大速度也單位：m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg）、火箭的質(zhì)量m（除燃料外，單位:

kg）的函數(shù)關(guān)系是u=20001n（l+、）.當(dāng)火箭的最大速度為11.5km/s時(shí)，，約等于

（參考數(shù)據(jù)：e5-75x314）（）

A.313B,314C,312D.311

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

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將r=11.5km/g=11.3x1000m。代入"=2000111(1+2)中，即可求出?

【解答】

解：由題意將r=ll.5km/g=ll.5x1000m。代入t/=20001nQ+竺),

m

可得11.5X1000=20001n(1+-),

m

M+AAm.?.1+—53

313.

m

3.北京時(shí)間2021年10月16日0時(shí)23分，搭載神州十三

號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十三運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)

射中心按照預(yù)定時(shí)間精準(zhǔn)點(diǎn)火發(fā)射，約582秒后，神州十

三號(hào)載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將翟

志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓

滿成功.據(jù)測(cè)算：在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最

大速度以單位：m/g）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg）、火箭

（M）?當(dāng)火箭的最大

的質(zhì)量（除燃料外）m（單位：1）的函數(shù)關(guān)系是v=2000E

速度達(dá)到時(shí)，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量之比約為（）（參考數(shù)據(jù):

?314)

A.314B.313C.312D.311

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用，涉及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

將U=ll.5km/g代入"=20001n(l+捺)匚機(jī)即可求出凹.

m

【解答】

解：由題意將v=11.5km/0代入r=20001n口+

可得11.5x1000=20001n(1+')，

???E(l+3)=5.75,?5=314,

-=313.

m

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4.“神舟七號(hào)”宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心，F(xiàn)為左焦點(diǎn)的橢圓，測(cè)得近地點(diǎn)A

距離地面mkm,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距離地面71km，地球的半徑為kkm,關(guān)于橢圓有以下三

種說法：

①焦距長(zhǎng)為n—m；額軸長(zhǎng)為J(m+k)5+k)；③離心率6=就會(huì).

以上正確的說法有()

A.&(§)B.②③C.①②D,①②③

【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的性質(zhì)及幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題.

由題意知n+k=a+c,m+k=a-c,由橢圓的基本性質(zhì)判斷命題①②③是否正確

即可.

【解答】

解：由題意畫出圖形，如圖所示：

記橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a,短半軸長(zhǎng)b,半焦距為c,

n+k=a+c,m+k=a—c,可得n—m=2c,①正確；

?,.,.,乙曰m+n+2k八n-m

由T得。=--——，

n+/c=a+c,m+k=a—c,Lc=—/—;

???b=Va2—c2=yj(m4-k)(n+fc),

則短軸長(zhǎng)為2j(m+k)(n+k),②錯(cuò)誤；

由爵口，離心率e=(=W^，③正確；

綜上，正確的命題是①③.

故選：A.

5.2020年12月13日9時(shí)51分，嫦娥五號(hào)軌道器和返回器成功進(jìn)入月地轉(zhuǎn)移軌道，

攜帶月球樣本(月壤)的嫦娥五號(hào)正式踏上返回地球的旅程。嫦娥五號(hào)帶回來的月球

樣本可以讓我們更好地了解月球，使得我國(guó)成為世界上第三個(gè)從月球帶回樣本的國(guó)

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家。嫦娥五號(hào)軌道器在某個(gè)階段的運(yùn)行軌道是以月心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓。設(shè)月球半

徑為R,若其近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)離月面的距離大約分別是2凡日R,則此階段嫦娥五

號(hào)軌道器運(yùn)行軌道的離心率是（）

A.-B.：C.|D.：

5555

【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的實(shí)際應(yīng)用，橢圓離心率的求解，屬于基礎(chǔ)題.

由題意分別求得a,c的值，然后結(jié)合離心率的定即可求解.

【解答】

解：如下圖，F(xiàn)為月球的球心，月球半徑為R,

依題意，IAFI=R+±R=?R,/BF/=—即=駟

2a=/AF/+/BF/=引，

即a=5R,

a+c=/BF/=?R,

則?=^R

橢圓的離心率為：e=-=|,

a5

故選c.

6.2020年11月24日，長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭成功發(fā)射，順利將嫦娥五號(hào)探測(cè)器送

入預(yù)定軌道，開啟我國(guó)首次地外天體采樣返回之旅。如圖所示，假設(shè)“嫦娥五號(hào)”

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衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以

月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第/?F

二次變軌進(jìn)入仍以廣為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道n繞月飛行.若用2cl和|

2c2分別表示橢圓軌道I和n的焦距，用2al和2a2分別表示橢圓軌\

道I和II的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子：

+C2；

②-Cj=a2-C2；

鏟＜2.

?1a2,

@C\a2＞axc2.

其中正確式子的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查了橢圓的相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

可知由＜。2,Cl＜C2,進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)可知的+q＜°2+C2,進(jìn)而判

斷①④不正確.③正確；根據(jù)的一q=|PF|,a2-c2=|PF|,可知的一J=做一C2,

②正確.

【解答】

解：設(shè)橢圓軌道I和n的短軸長(zhǎng)分別為2瓦，2b2，

由圖可知＜a2fJ＜。2，

%+C]V。2+C2；

???①不正確，

va1—cr=|PF|,a2-c2=|PF|,

???Q]—q=a2-c2;②正確.

Qi+02=02+ci

可得(%+C2)2=(02+C1)2,

al-C1+2ale2=-c2+2。2%

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即后+2ale2=其+2@2。1,

瓦<b2

所以C1Q2＜。送2

可得?■＜稱，③正確；@不正確?

ala2

故選c.

7.2021年6月17日，神州十二號(hào)載人飛船成功發(fā)射。據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和

地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式"=%ln"十算火箭的最大速度憂m/g),其中

加(m/H)是噴流相對(duì)速度，m(kg)是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量，M(kg)是推進(jìn)劑與

火箭質(zhì)量的總和，上稱為“總質(zhì)比”.已知甲型火箭的總質(zhì)比為400,經(jīng)過材料更新

m

和技術(shù)改進(jìn)后，甲型火箭的總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?噴流相對(duì)速度提高了;，最大速度

增加了900(m/g),則甲型火箭在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的噴流相對(duì)速度為()(參

考數(shù)據(jù)：ln2?0.7,ln5?1.6)

A.1200m/gB.15OOm/0C.1800mAD.2100m/s

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)實(shí)際模型的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意列出改進(jìn)前的等量關(guān)系式以及改進(jìn)后的等量關(guān)系式，聯(lián)立即可解出.

【解答】

解：設(shè)甲型火箭在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的噴流相對(duì)速度為火，最大速度為辦

(v=vo/n4OO

則卜+900=(1+|)voln(1x400)，

..h900—2700.2700。

0|/n50-/n4005(21n5+ln2)-3(21n5+4ln2)4lnS-7ln2'

故選：C.

8.神舟五號(hào)飛船成功完成了第一次載人航天飛行，實(shí)現(xiàn)了中國(guó)人民的航天夢(mèng)想.某段

時(shí)間飛船在太空中運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，地心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖所示.假

設(shè)航天員到地球的最近距離為山，最遠(yuǎn)距離為d2,地球的半徑為R,我們想象存在

一個(gè)鏡像地球，其中心在神舟飛船運(yùn)行軌道的另外一個(gè)焦點(diǎn)上，從鏡像地球表面發(fā)

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射某種神秘信號(hào)，需要飛行中的航天員中轉(zhuǎn)后地球人才能

接收到，則傳送神秘信號(hào)的最短距離為()

A.d[+c?2+RB.c?2—+2RC,d?+d1-2R

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的定義，屬較易題.

由已知可得以則2a=di+d2+2R,得到最短距離.

【解答】

解：設(shè)橢圓的方程為/+/=l(a>b>0),半焦距為c,兩焦點(diǎn)分別為尸1，F(xiàn)2,飛行中

的航天員為點(diǎn)P，

由已知可得因：二%則211+2%

故傳送神秘信號(hào)的最短距離為PR+PF2-2R=2a-2R=d1+d2.

故選。.

9.我國(guó)發(fā)射的“天宮一號(hào)”宇宙飛船運(yùn)行的軌道是以地球中心為一焦點(diǎn)的橢圓，測(cè)得

近地點(diǎn)距地面m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面n千米，地球半徑為r千米，則該飛船運(yùn)行軌道

的短軸長(zhǎng)為()

A.J(m+r)(n+r)B.2J(m+r)(n+r)

C.mnD.2mn

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于較容易題.

先利用a-c-r=?n,a+c-r=n,解出a,c然后求出b.

【解答】

解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,

則由題意可知：a-c-r=7n,a+c—r=n,

m+n,n-m

可得a-三+r，

則=a2—c2=+r)2—(^y^)2=(m+r)(n+r).

則b=d(jn+T)(n+r)?

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所以短軸長(zhǎng)為2y（m+r）（n+r）.

故選民

10.神舟十二號(hào)載人飛船搭載3名宇航員進(jìn)入太空，在中國(guó)空間站完成了為期三個(gè)月的

太空駐留任務(wù)，期間進(jìn)行了很多空間實(shí)驗(yàn)，目前已經(jīng)順利返回地球.在太空中水資

源有限，要通過回收水的方法制造可用水.回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空

中的水收集起來經(jīng)過特殊的凈水器處理成飲用水，循環(huán)使用.凈化水的過程中，每

增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%,要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少

需要過濾的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)lg2=0.3010）

A.10B.12C.14D.16

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題.

由題意列出不等式，然后利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解可得.

【解答】

解：設(shè)過濾的次數(shù)為熱，原來水中雜質(zhì)為1,

則（1-20%）-<5%,即0.8"<高，

所以IgO.8n<1g卷,

所以川g0.8<-lg20,

所以n>衛(wèi)=?=四鼠-13.4,

771lg0.8l-31g2l-31g2

因?yàn)閚eN*,

所以n的最小值為14,則至少要過濾14次.

故選項(xiàng)為：C.

二、填空題（本大題共2小題，共10.0分）

11.如圖，“神州十三號(hào)”載人飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心（簡(jiǎn)稱“地心”）為一個(gè)

焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為e.設(shè)地球半徑為r,該飛船遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為R,

則該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為.

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近地點(diǎn)

衛(wèi)星

遠(yuǎn)地點(diǎn)1.

【答案］”出+2「先

1+e

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長(zhǎng)半軸的求法，是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生

的作圖視圖能力，屬于基礎(chǔ)題.

由題意畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合橢圓的離心率，求出橢圓的長(zhǎng)半軸a,半焦距c,

即可確定該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離.

【解答】

解：橢圓的離心率e=；,（c為半焦距；a為長(zhǎng)半軸）,

只要求出橢圓的c和a,即可確定衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離,

由題意，結(jié)合圖形可知，a+c=r+R,

近地點(diǎn)離地面的距離為a-c-r

離心率e=。即。=?0.

所以a+ea-R+r,

所以。=爐

1+e

所以近地點(diǎn)離地面的距離為:

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R+rR+rR-(/?+2r)e

a—c-r=---e--------r

l+e1+e1+e

即該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為空警匕

12.如圖是2021年9月17日13:34神州十二號(hào)返回艙（圖中C）

接近地面的場(chǎng)景.傘面是表面積為1200^2的半球面（不含底

面圓），傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍，直線

BC與水平地面垂直于D,。和觀測(cè)點(diǎn)4在同一水平線上.在4

測(cè)得點(diǎn)B的仰角N/X4B=30。，且BC的視角ZBAC滿足sin/B4c=（焉，則此時(shí)返

回艙底端離地面距離CD=（兀=3.14,sinNAC8=需計(jì)算過程中，球半徑四

舍五入保留整數(shù)，長(zhǎng)度單位：m）.

【答案】20m

【解析】

【分析】

本題考查球的表面積，解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象，邏輯推理等數(shù)

學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

設(shè)半球半徑為r,由球的表面積公式求得r,則可得BC,從而利用正弦定理求解即可.

【解答】

解：設(shè)半球面半徑為r,則27n'2=1200,

???rx14m,

：?BC=5r=70m,

在^ABC中,由正弦定理得=端禁=7°x蔡x甯=18。*

在中，^DAB=30°,所以8。=90m,則CD=8。-BC=20zn.

即返回艙底端離?地面距離為20m.

三、解答題（本大題共4小題，共48.0分）

13.飛船返回倉(cāng)順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)

到達(dá)區(qū)域安排三個(gè)救援中心（記為4B,C）,B在4的正東方向，相距6km，C在B

的北偏東30。，相距4km,P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻4接到P的求救信號(hào)，由于

B、C兩地比4距P遠(yuǎn)，因止匕4s后，B、C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)，己

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知該信號(hào)的傳播速度為1km/s-

(1)求4、C兩個(gè)救援中心的距離；

(2)求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角；

【答案】解：(1)以4B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(-3,0),B(3,0),C(5,2V3)

則|4C|=J(5+3)2+(2建尸=

即4、C兩個(gè)救援中心的距離為2gkzn.

(2)???\PC\=\PB\,

???P在BC線段的垂直平分線上，

又?；|PB|—|P*=4,

??.P在以4、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，且|4B|=6,

.?.雙曲線方程為《一=1(%<0),

BC的垂直平分線的方程為久+V3y-7=0，

聯(lián)立兩方程解得：％=-8,

???P(—8,5V3),kP^=tanZ.PAB=-V3>

???/.PAB=120°,

P點(diǎn)在4點(diǎn)的北偏西30。處.

【解析】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，屬于中檔題.

(1)首先以48中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出4B,C

的坐標(biāo)，然后求出4c的距離即可；

(2)根據(jù)|PC|=|PB|得出P在BC線段的垂直平分線上，建立雙曲線方程，并求出NP4B.

14.“神舟”九號(hào)飛船返回倉(cāng)順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮

中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記4B,C),4在B的正東方向，

相距6千米，C在B的北偏西30。方向，相距4千米，P為航天員著陸點(diǎn).某一時(shí)刻,

4接收到P的求救信號(hào)，由于B,C兩地比4距P遠(yuǎn)，在此4秒后，B,C兩個(gè)救援中心

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才同時(shí)接收到這一信號(hào).已知該信號(hào)的傳播速度為1千米/秒，求在Z處發(fā)現(xiàn)P的方

位角.

【答案】解：因?yàn)镻C=PB,

所以P在線段BC的垂直平分線上.

又因?yàn)镻B-P4=4<6=4B,

所以P在以4,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上.

以線段4B的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂直平分線所在直線為y軸,

正東方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則4(3,0),B(-3,0),C(-5,273).

所以雙曲線方程為擠―9=l(x>2),

BC的垂直平分線方程為x-V3y+7=0.

聯(lián)立兩方程解得x=8(舍負(fù))，y=5V3，所以P(8,5百)，

kPA=tanz.PAx=V3>所以zP4x=60°,

所以P點(diǎn)在4點(diǎn)的北偏東30。方向.

【解析】

【分析】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，屬于中檔題.

以4B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，4B所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，易判斷P在以4B為焦

點(diǎn)的雙曲線的左支上，從而可確定雙曲線的方程，再與BC的垂直平分線的方程聯(lián)立，

可求P的坐標(biāo)，從而問題得解.

15.飛船返回倉(cāng)順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)

到達(dá)區(qū)域安排三個(gè)救援中心(記為A,B,C),B在4的正東方向，相距6km,。在B

的北偏東30°,相距4km,P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻4接到P的求救信號(hào)，由于8、

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C兩地比4距P遠(yuǎn)，因此4s后，B、C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)，已知該

信號(hào)的傳播速度為lkm/s.

(1)求A、C兩個(gè)救援中心的距離;

(2)求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角；

(3)若信號(hào)從P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)處發(fā)出，貝〃、B收到信號(hào)的時(shí)間差變大還是變小，并

證明你的結(jié)論.

【答案】解：(1)以4B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(-3,0),B(3,0),C(5,2V3),

則14cl=J(5+3尸+(2百)2=2V19/cm-

即4、C兩個(gè)救援中心的距離為2mkm.

(2)v\PC\=\PB\,

???P在BC線段的垂直平分線上，

又???|PB|-|P4|=4,

P在以4、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，且=6,

雙曲線方程為J一?=1(x<0),

BC的垂直平分線的方程為x+By—7=0，

聯(lián)立兩方程解得：x=-8,

P(-8,5⑹，

kpA—tanZ-PAB——V3>

Z.PAB=120°,

.-.P點(diǎn)在4點(diǎn)的北偏西30。處.

(3)如圖，設(shè)|PQ|=八，\PB\=x,\PA\=y,

:|QB|-|Q4|=y/x2+h.2-y/y2+h2

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=,?2_-=(X—v>，"__

Vx2+/i2+Vy2+/i2Jx2+h2+y/y2+h2

又；,_*_=<]

Vx24-h2+Vy2+/t2

.-.\QB\-\QA\<\PB\-\PA\,

...如一咧<㈣_也，

1111

即4、B收到信號(hào)的時(shí)間差變小.

【解析】(1)首先以48中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出4

B,C的坐標(biāo)，然后求出4c的距離即可.

(2)根據(jù)|PC|=|P8|得出P在BC線段的垂直平分線上，建立雙曲線方程，并求出ZPAB.

(3)設(shè)|PQ|=/i,\PB\=x,\PA\=y,建立不等式,并求解，得到4、B收到信號(hào)的時(shí)間

差變小.

16,2021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船順利升空并于6.5小時(shí)后與天和核心艙成

功對(duì)接，這是中國(guó)航天史上的又一里程碑.我校南蒼穹同學(xué)既是航天迷，又熱愛數(shù)

學(xué)，于是他為正在參加期末檢測(cè)的你們編就了這道題目.如圖1,是神舟十二號(hào)飛船

推進(jìn)艙及其推進(jìn)器的簡(jiǎn)化示意圖，半徑相等的圓A，12,13,〃與圓柱。內(nèi)底面相切

于A,B,C,D四點(diǎn)，且圓A與I?，與與右，與〃，。與人分別外切，線段44為圓

柱。01的母線.點(diǎn)M為線段公。1中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段COi上，且CN=2NO1.已知圓柱。。1

底面半徑為2,AA1=4.

(I)求證：AM〃平面BDN；

(H)線段上是否存在一點(diǎn)E,使得。E_L平面BDN?若存在，請(qǐng)求出AE的長(zhǎng)，若

不存在，請(qǐng)說明理由；

(III)求二面角，2-為人一。的余弦值；

(W)如圖2,是飛船推進(jìn)艙與即將對(duì)接的天和核心艙的相對(duì)位置的簡(jiǎn)化示意圖.天和

核心艙為底面半徑為2的圓柱。2。3,它與飛船推進(jìn)艙共軸，即。，。1，02,。3共

線.核心艙體兩側(cè)伸展出太陽翼，其中三角形RST為以RS為斜邊的等腰直角三角形，

四邊形PQRS為矩形.已知推進(jìn)艙與核心艙的距離為4,即Qi。？=4,且3O3=RS=

2,PS=7.在對(duì)接過程中，核心艙相對(duì)于推進(jìn)艙可能會(huì)相對(duì)作出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，

請(qǐng)你求出在艙體相對(duì)距離保持不變的情況下，在艙體相對(duì)旋轉(zhuǎn)過程中，直線

與平面PQRS所成角的正弦值的最大值.

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【答案】(I)證明：如圖1,M'，N’分別

是點(diǎn)M,N在線段AC上的投影，

則"'為4。的中點(diǎn)，為0C的三等分點(diǎn)，

所以tanZ-MAM'=MM=-=4,

AM1

tan乙NON=——-=A——=4,

ON'goc

所以ZAMM'=4NON',則4M〃0N,

如圖2,