學案1平面向量的基本概念及線性運算

學案1平面向量的基本概念及線性運算平面向量的實際背景及基本概念(1)了解向量的實際背景(2)理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義.(3)理解向量的幾何表示.向量的線性運算(1)掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.(2)掌握向量數乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義.(3)了解向量線性運算的性質及其幾何意義.

主要考查向量的有關概念、運算法則、線線平行的條件和基本定理，以選擇題和填空題出現的可能性較大.對用向量解平面幾何問題涉及的可能性也較大.1.向量的有關概念(1)向量:既有

,又有

的量叫做向量,向量的大小叫做向量的

(或模).(2)零向量:

的向量叫做零向量,其方向是

的.(3)單位向量:給定一個非零向量a,與a

且長度等于

的向量,叫做向量a的單位向量.大小方向長度長度為0任意同方向1(4)平行向量:方向

或

的

向量.平行向量又叫

,任一組平行向量都可以移到同一條直線上.規(guī)定:0與任一向量

.(5)相等向量:長度

且方向

的向量.(6)相反向量:長度

且方向

的向量.2.向量的加法和減法(1)加法①法則:服從三角形法則、平行四邊形法則.②運算性質:相同相反非零共線向量平行相等相同相等相反名師伴你行SANPINBOOKa+b=

(交換律);(a+b)+c=

(結合律);a+0=

=

.(2)減法①減法與加法互為逆運算;②法則:服從三角形法則.3.實數與向量的積(1)長度與方向規(guī)定如下:①|λa|=

;b+aa+(b+c)0+aa|λ|·|a|②當

時,λa與a的方向相同;當

時,λa與a的方向相反;當λ=0時,λa=

.(2)運算律:設λ,μ∈R,則①λ(μa)=

;②(λ+μ)a=

;③λ(a+b)=

.4.平行向量基本定理向量a與b(b≠0)平行的充要條件是.有且只有一個實λ>0λ<00

(λμ)a

λa+μaλa+λb數λ,使得a=λb下列命題中：①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量AB與向量CD共線，則A,B,C,D四點共線；④如果a∥b,b∥c，那么a∥c.正確的個數為()A.1B.2C.3D.0考點1向量的有關概念【分析】正確理解向量的有關概念是解決本題的關鍵.注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可.【解析】①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；②不正確，若a與b中有一個為零向量時，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④不正確，如b=0時，則a與c不一定共線.故應選D.【評析】

（1）向量是區(qū)別于數量的一種量，既有大小，又有方向，任意兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小.（2）由向量相等的定義可知，對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，它是可以任意平行移動的，因此用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點，由此也可得到：任意一組平行向量都可以移到同一條直線上.判斷下列命題是否正確，并說明理由.（1）若向量a與b同向，且|a|>|b|,則a>b;（2）若向量|a|=|b|,則a與b的長度相等且方向相同或相反；（3）對于任意向量|a|=|b|,且a與b的方向相同，則a=b;（4）由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行；（5）起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量.【解析】（1）不正確.因為向量是不同于數量的一種量，它由兩個因素來確定，即大小與方向，所以兩個向量不能比較大小，故（1）不正確.（2）不正確.由|a|=|b|只能判斷兩向量長度相等，不能判斷方向.（3）正確.∵|a|=|b|,且a與b同向，由兩向量相等的條件可得a=b.（4）不正確.由零向量性質可得0與任一向量平行，可知（4）不正確.（5）正確.對于一個向量只要不改變其大小與方向,是可以任意平行移動的.［2010年高考大綱全國卷Ⅱ］在△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,則CD=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【分析】利用角平分線的性質可解出AD與DB的關系，再利用向量的線性運算求解.考點2向量的線性表示【解析】如圖所示,∠1=∠2,∴∴∴CD=CB+BD=a+(b-a)=a+b.故應選B.

【評析】用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧是:①觀察各向量的位置;②尋找相應的三角形或多邊形;③運用法則找關系;④化簡結果.【解析】設兩個非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求證:A,B,D三點共線;(2)試確定實數k,使ka+b和a+kb共線.

【分析】解決點共線或向量共線問題,就要根據兩向量共線的條件a=λb(b≠0).考點3向量的共線問題【解析】(1)證明:∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.∴AB,BD共線,又∵它們有公共點B,∴A,B,D三點共線.(2)∵ka+b與a+kb共線,∴存在實數λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共線的兩個非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.【評析】(1)由向量數乘運算的幾何意義知非零向量共線是指存在實數λ使兩向量能互相表示.(2)向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時,通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意待定系數法的運用和方程思想.(3)證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應注意向量與三點共線的區(qū)別與聯系,當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線.【解析】1.向量不同于數量.向量既有大小，又有方向.向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小.

2.向量的加減法實質上是向量的平移，實數乘向量實質上是向量的伸縮.

3.數形結合思想是向量加減法的核心，利用向量的相等可以靈活地平移向量.

4.向量共線的充要條件常用來解決三點共線和兩直線平行