學(xué)案1平面向量的基本概念及線性運(yùn)算

學(xué)案1平面向量的基本概念及線性運(yùn)算平面向量的實(shí)際背景及基本概念(1)了解向量的實(shí)際背景(2)理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義.(3)理解向量的幾何表示.向量的線性運(yùn)算(1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義.(2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個(gè)向量共線的含義.(3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.

主要考查向量的有關(guān)概念、運(yùn)算法則、線線平行的條件和基本定理，以選擇題和填空題出現(xiàn)的可能性較大.對(duì)用向量解平面幾何問(wèn)題涉及的可能性也較大.1.向量的有關(guān)概念(1)向量:既有

,又有

的量叫做向量,向量的大小叫做向量的

(或模).(2)零向量:

的向量叫做零向量,其方向是

的.(3)單位向量:給定一個(gè)非零向量a,與a

且長(zhǎng)度等于

的向量,叫做向量a的單位向量.大小方向長(zhǎng)度長(zhǎng)度為0任意同方向1(4)平行向量:方向

或

的

向量.平行向量又叫

,任一組平行向量都可以移到同一條直線上.規(guī)定:0與任一向量

.(5)相等向量:長(zhǎng)度

且方向

的向量.(6)相反向量:長(zhǎng)度

且方向

的向量.2.向量的加法和減法(1)加法①法則:服從三角形法則、平行四邊形法則.②運(yùn)算性質(zhì):相同相反非零共線向量平行相等相同相等相反名師伴你行SANPINBOOKa+b=

(交換律);(a+b)+c=

(結(jié)合律);a+0=

=

.(2)減法①減法與加法互為逆運(yùn)算;②法則:服從三角形法則.3.實(shí)數(shù)與向量的積(1)長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下:①|(zhì)λa|=

;b+aa+(b+c)0+aa|λ|·|a|②當(dāng)

時(shí),λa與a的方向相同;當(dāng)

時(shí),λa與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=

.(2)運(yùn)算律:設(shè)λ,μ∈R,則①λ(μa)=

;②(λ+μ)a=

;③λ(a+b)=

.4.平行向量基本定理向量a與b(b≠0)平行的充要條件是.有且只有一個(gè)實(shí)λ>0λ<00

(λμ)a

λa+μaλa+λb數(shù)λ,使得a=λb下列命題中：①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量AB與向量CD共線，則A,B,C,D四點(diǎn)共線；④如果a∥b,b∥c，那么a∥c.正確的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.0考點(diǎn)1向量的有關(guān)概念【分析】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵.注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可.【解析】①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；②不正確，若a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④不正確，如b=0時(shí)，則a與c不一定共線.故應(yīng)選D.【評(píng)析】

（1）向量是區(qū)別于數(shù)量的一種量，既有大小，又有方向，任意兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小.（2）由向量相等的定義可知，對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，它是可以任意平行移動(dòng)的，因此用有向線段表示向量時(shí)，可以任意選取有向線段的起點(diǎn)，由此也可得到：任意一組平行向量都可以移到同一條直線上.判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.（1）若向量a與b同向，且|a|>|b|,則a>b;（2）若向量|a|=|b|,則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；（3）對(duì)于任意向量|a|=|b|,且a與b的方向相同，則a=b;（4）由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行；（5）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量.【解析】（1）不正確.因?yàn)橄蛄渴遣煌跀?shù)量的一種量，它由兩個(gè)因素來(lái)確定，即大小與方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小，故（1）不正確.（2）不正確.由|a|=|b|只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能判斷方向.（3）正確.∵|a|=|b|,且a與b同向，由兩向量相等的條件可得a=b.（4）不正確.由零向量性質(zhì)可得0與任一向量平行，可知（4）不正確.（5）正確.對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小與方向,是可以任意平行移動(dòng)的.［2010年高考大綱全國(guó)卷Ⅱ］在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分∠ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,則CD=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【分析】利用角平分線的性質(zhì)可解出AD與DB的關(guān)系，再利用向量的線性運(yùn)算求解.考點(diǎn)2向量的線性表示【解析】如圖所示,∠1=∠2,∴∴∴CD=CB+BD=a+(b-a)=a+b.故應(yīng)選B.

【評(píng)析】用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧是:①觀察各向量的位置;②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;③運(yùn)用法則找關(guān)系;④化簡(jiǎn)結(jié)果.【解析】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求證:A,B,D三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.

【分析】解決點(diǎn)共線或向量共線問(wèn)題,就要根據(jù)兩向量共線的條件a=λb(b≠0).考點(diǎn)3向量的共線問(wèn)題【解析】(1)證明:∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.∴AB,BD共線,又∵它們有公共點(diǎn)B,∴A,B,D三點(diǎn)共線.(2)∵ka+b與a+kb共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共線的兩個(gè)非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.【評(píng)析】(1)由向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義知非零向量共線是指存在實(shí)數(shù)λ使兩向量能互相表示.(2)向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時(shí),通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.(3)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線.【解析】1.向量不同于數(shù)量.向量既有大小，又有方向.向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小.

2.向量的加減法實(shí)質(zhì)上是向量的平移，實(shí)數(shù)乘向量實(shí)質(zhì)上是向量的伸縮.

3.數(shù)形結(jié)合思想是向量加減法的核心，利用向量的相等可以靈活地平移向量.

4.向量共線的充要條件常用來(lái)解決三點(diǎn)共線和兩直線平行