蘇教版高中數(shù)學必修1第3課《函數(shù)及其表示》基礎講義

《函數(shù)及其表示》基礎講義知識講解一、函數(shù)的概念設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：，其中叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．注意（1）“”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“”；（2）函數(shù)符號“”中的表示與對應的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是乘．二、函數(shù)的三要素1.定義域三種形式①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)等等）；②限制型：指命題的條件或人為對自變量的限制，這是函數(shù)學習中的重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；③實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變量的實際意義．2.求值域方法①配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質(zhì)）；④函數(shù)法（運用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）．三、兩個函數(shù)的相等函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則．當函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定．因此，定義域和對應法則為函數(shù)的兩個基本條件，當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)．四、區(qū)間1.區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；2.無窮區(qū)間；3.區(qū)間的數(shù)軸表示．五、映射的概念一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則，使對于集合A中的任意一個元素，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應為從集合A到集合B的一個映射．記作“”．函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，這種的對應就叫映射．注意：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述．（2）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思．六、函數(shù)的表示方法解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式；列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關系；圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關系．七、分段函數(shù)定義：若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)．1.分段函數(shù)的表達式因其特點可以分成兩個或兩個以上的不同表達式．2.分段函數(shù)的圖像可以是光滑的曲線段，也可以是一些孤立的點或幾段線段．3.分段函數(shù)的值域，也就是各部分上的函數(shù)值集合的并集．4.分段函數(shù)雖然有幾部分組成，但它仍是一個函數(shù)．八、復合函數(shù)若，,，，那么稱為復合函數(shù)，稱為中間變量，它的取值范圍是的值域．九、函數(shù)圖像的作法1.描點法：列表、描點、用光滑的曲線連線．2.變化作圖法=1\*GB3①平移：；=2\*GB3②對稱：；；=3\*GB3③其他：經(jīng)典例題一．選擇題（共6小題）1．下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等（）A．y=（x）2 B．y=3x3 C．y=x2 D【解答】解：A．函數(shù)的定義域為{x|x≥0}，兩個函數(shù)的定義域不同．B．函數(shù)的定義域為R，兩個函數(shù)的定義域和對應關系相同，是同一函數(shù)．C．函數(shù)的定義域為R，y=|x|，對應關系不一致．D．函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，兩個函數(shù)的定義域不同．故選：B．2．下列四組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是（）A．f（x）=x0與g（x）=1 B．f（x）=|x|與g(x)=C．f（x）=x與g(x)=x2x D．f(x)=【解答】解：對于A，f（x）=x0=1的定義域為{x|x≠0}，g（x）=1的定義域為1，定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B，f（x）=|x|的定義域為R，g（x）=x2=|x|的定義域為R對于C，f（x）=x的定義域為R，g（x）=x2x=x的定義域為{x|x≠0對于D，f（x）=3x3=x的定義域為R，g（x）=(x)2=x的定義域為故選：B．3．下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（）A．f（x）=x2-1x-1，g（x）=x+1 B．f（x）=x2，g（x）=C．f（x）=|x|，g（x）=x2 D．【解答】解：A．函數(shù)f（x）=x2-1x-1=x+1，x≠1，則定義域為{x|x≠1}B．f（x）=（x）2=x，x≥0，g（x）=x2=|x|，所以兩個函數(shù)的定義域和對應法則不同，所以BC．g（x）=x2=|x|，兩個函數(shù)的定義域和對應法則，所以CD．由&x+1≥0&x-1≥0即x≥1，由x2﹣1≥0得x≥1或x≤﹣1故選：C．4．函數(shù)f（x）=2x﹣1，x∈{﹣1，1}，則f（x）的值域為（）A．[﹣3，1） B．（﹣3，1] C．[﹣3，1] D．{﹣3，1}【解答】解：f（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，f（1）=2﹣1=1．所以該函數(shù)的值域為{﹣3，1}．故選：D．5．函數(shù)y=x+1的值域為（）A．[﹣1，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：由x+1≥0，得x≥﹣1，函數(shù)y=x+1在[﹣1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，∴函數(shù)y=x+1的值域為[0，+∞）．故選：B．6．已知某二次函數(shù)的圖象與函數(shù)y=2x2的圖象的形狀一樣，開口方向相反，且其頂點為（﹣1，3），則此函數(shù)的解析式為（）A．y=2（x﹣1）2+3 B．y=2（x+1）2+3 C．y=﹣2（x﹣1）2+3 D．y=﹣2（x+1）2+3【解答】解：設所求函數(shù)的解析式為y=﹣2（x+h）2+k（a≠0），根據(jù)頂點為（﹣1，3），可得h=1，且k=3，故所求的函數(shù)解析式為y=﹣2（x+1）2+3，故選：D．二．填空題（共23小題）7．函數(shù)f（x）=1-x﹣1+x的定義域是{x|﹣1≤x≤1}．【解答】解：要使函數(shù)f（x）有意義，則&1-x≥0&1+x≥0即&x≤1&x≥-1解得﹣1≤x≤1，故函數(shù)的定義域為{x|﹣1≤x≤1}，故答案為：{x|﹣1≤x≤1}8．函數(shù)f(x)=31-1-x的定義域是（﹣∞，0）∪（0，1【解答】解：由&1-x≥0①&1-解①得：x≤1．解②得：x≠0．∴x≤1且x≠0．∴函數(shù)f(x)=31-1-x的定義域是（﹣∞，0）∪（0，故答案為：（﹣∞，0）∪（0，1]．9．函數(shù)y=|x-2|-1x2-4的定義域為（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]∪[3【解答】解：要使函數(shù)y=|x-2|-1自變量x須滿足：&|x-2|-1≥0即&|x-2|≥1即&x-2≥1即&x≥3即x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]∪[3，+∞）即函數(shù)y=|x-2|-1x2-4的定義域為：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]∪[故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]∪[3，+∞）10．函數(shù)y=x2-2x-8的定義域為{x|x≥4或x≤﹣2}【解答】解：由x2﹣2x﹣8≥0，得（x+2）（x﹣4）≥0，解得：x≥4或x≤﹣2．∴函數(shù)y=x2-2x-8的定義域為{x|x≥4或x≤﹣2故答案為：{x|x≥4或x≤﹣2}．11．已知f（2x﹣1）的定義域[1，4]，則f（x）的定義域為[1，7]，f（2x+1）的定義域為[0，3]．【解答】解：∵f（2x﹣1）的定義域[1，4]，∴1≤x≤4，∴1≤2x﹣1≤7，即f（x）的定義域為[1，7]；又∵1≤2x+1≤7，∴0≤2x≤6，∴0≤x≤3，即f（2x+1）的定義域為[0，3]．故答案為：[1，7]，[0，3]．12．若函數(shù)y=f（x）的定義域為[﹣1，1），則y=f（x2﹣3）的定義域為（﹣2，﹣2]∪[2，2）．【解答】解：∵函數(shù)y=f（x）的定義域為[﹣1，1），∴﹣1≤x2﹣3＜1，即2≤x2＜4，解得﹣2＜x≤﹣2，或2≤x＜2；∴y=f（x2﹣3）的定義域為（﹣2，﹣2]∪[2，2）．故答案為：（﹣2，﹣2]∪[2，2）．13．若函數(shù)f（x2﹣2）的定義域為[1，3]，則函數(shù)f（3x+2）的定義域為[﹣1，53]【解答】解：∵函數(shù)f（x2﹣2）的定義域為[1，3]，即1≤x≤3，∴1≤x2≤9，則﹣1≤x2﹣2≤7，∴函數(shù)f（x）的定義域為[﹣1，7]．再由﹣1≤3x+2≤7，解得：-1≤x≤5∴函數(shù)f（3x+2）的定義域為[﹣1，53]故答案為：[﹣1，53]14．函數(shù)y=1x2+1的值域是（0，1【解答】解：因為x2+1≥1，所以0＜函數(shù)的值域為：（0，1]．15．函數(shù)y=2x+3-x的值域為（﹣∞，498]【解答】解：令3-x=t(t≥0)，∴x=3﹣t2∴y=6﹣2t2+t=-2(t-1∴t=1∴函數(shù)y=6﹣2t2+t的值域為（﹣∞，498]即函數(shù)y=2x+3-x的值域為（﹣∞，498]故答案為：（﹣∞，498]16．函數(shù)y=-x2+4x+5的值域為[0，【解答】解：令f（x）=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∵﹣x2+4x+5≥0，∴0≤f（x）≤9，∴0≤y≤3，故答案為：[0，3]．17．已知函數(shù)f（x+1）=3x+2，則f（x）的解析式是f（x）=3x﹣1．【解答】解：令x+1=t，則x=t﹣1，∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，∴f（x）=3x﹣1．故答案為f（x）=3x﹣1．18．已知f（x﹣1）=2x+3，則f（x）=2x+5．【解答】解：∵f（x﹣1）=﹣2x+3，設x﹣1=t，則x=t+1，∴f（t）=2（t+1）+3=2t+5；即f（x）=2x+5．故答案為：2x+519．已知f（2x+1）=x2﹣2x，則f（3）=﹣1．【解答】解：【方法一】∵f（2x+1）=x2﹣2x，設2x+1=t，則x=t-12∴f（t）=(t-12)2﹣2×t-12=14t2∴f（3）=14×32﹣32×3+54=【方法二】∵f（2x+1）=x2﹣2x，令2x+1=3，解得x=1，∴f（3）=12﹣2×1=﹣1．故答案為：﹣1．20．函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=x2+3，則f（x）=x2﹣4x+7．【解答】解：由f（x+2）=x2+3，得到f（x+2）=（x+2﹣2）2+3=（x+2）2﹣4（x+2）+7故f（x）=x2﹣4x+7．故答案為：x2﹣4x+7．21．已知f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2x2﹣4x+5．【解答】解：f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，設x﹣1=t，則x=t+1，∴f（t）=2（t+1）2﹣8（t+1）+11=2t2﹣4t+5，∴f（x）=2x2﹣4x+5．故答案為：f（x）=2x2﹣4x+5．22．設f（x）表示﹣x+6和﹣2x2+4x+6中的較小者，則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=&-x+6，0【解答】解：令﹣x+6＜﹣2x2+4x+6，變形可得2x2﹣5x＜0，解得0＜x＜52∴當0＜x＜52時，f（x）=﹣x+當x≤0或x≥52時，f（x）=﹣2x2+4x+6∴f（x）=&-x+6，故答案為：f（x）=&-x+623．已知函數(shù)f（x），g（x）分別由如表給出：x123f（x）211x123g（x）321則當f[g（x）]=2時，x=3．【解答】解：由表格可知：f（1）=2，∵f[g（x）]=2，∴g（x）=1，而g（3）=1，∴x=3．故答案為3．24．函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，那么，f（x）的定義域是[﹣3，0]∪[2，3]，；值域是[1，5]．【解答】解：觀察函數(shù)的圖象，圖象上各點的橫坐標范圍為[﹣3，0]∪[2，3]，∴函數(shù)的定義域為[﹣3，0]∪[2，3]，觀察函數(shù)的圖象，圖象上各點的縱坐標范圍為[2，4]∪[1，5]，∵[2，4]∪[1，5]=[1，5]，故函數(shù)的值域為[1，5]，25．某供電公司為了合理分配電力，采用分段計算電費政策，月用電量x（度）與相應電費y（元）之間的函數(shù)關系的圖象如圖所示．（1）填空：月用電量為100度時，應交電費60元；（2）當x≥100時，y與x之間的函數(shù)關系式為y=12+10，x≥100（3）月用電量為260度時，應交電費140元．【解答】解：（1）由圖象可知，當x=100度時，y=60，即月用電量為100度時，應交電費60元，（2）設y=ax+b，圖象經(jīng)過點（100，60），（200，110），∴&60=100a+b&110=200a+b解得a=12，b=10∴y=12x+10，x≥（3）當x=260時，y=12×260+故答案為：（1）60（2）y=12x+10（3）26．把函數(shù)y=f（2x）經(jīng)過向左2個單位平移得到函數(shù)y=f（2x+4）的圖象．【解答】解：設函數(shù)y=f（2x）向左平移m個單位后，得到函數(shù)y=f（2x+4）的圖象則2（x+m）=2x+4解得m=2即函數(shù)y=f（2x）向左平移2個單位后，得到函數(shù)y=f（2x+4）的圖象故答案為：向左2個單位27．把f（x）=2x2+x﹣1的圖象向右平移一個單位長度，再向下平移一個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）的解析式為g（x）=2x2﹣3x﹣1．【解答】解：由題意知g（x）=f（x﹣1）﹣1=2（x﹣1）2+（x﹣1）﹣1﹣1=2x2﹣3x﹣1．答案：g（x）=2x2﹣3x﹣1．28．函數(shù)y=1﹣1x-1的圖象是（1）【解答】解：函數(shù)y=1﹣1x-1=-1x-1+1，此函數(shù)的圖象可以看成由反比例函數(shù)y=-1x先向右平移1個單位得函數(shù)y=再向上平移1個單位得函數(shù)y=-1x-1+1的圖象∵反比例函數(shù)y=-1x的故答案為：（1）．29．設函數(shù)f（x）=&x2+2(x≤2)&2x(x＞2)，若