初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽

2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1．若，則的值為（

）．（A）

（B）

（C）

（D）解：

由題設(shè)得．代數(shù)式變形，同除b2．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是（

）．（A）a

（B）a4

（C）a≤或a≥4

（D）≤a≤4解．C因?yàn)閎是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式

≥0,解得a≤或a≥4．方程思想，判別式定理；要解一元二次不等式3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長(zhǎng)為（

）．（A）

（B）（C）

（D）解：D如圖，過(guò)點(diǎn)A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．由已知可得BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是EF＝4＋．過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得AD＝．勾股定理、涉及雙重二次根式的化簡(jiǎn)，補(bǔ)全圖形法4．在一列數(shù)……中，已知，且當(dāng)k≥2時(shí)，（取整符號(hào)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（

）．(A)1

(B)2

(C)3

(D)4解：B由和可得，，，，，，，，……因?yàn)?010=4×502+2，所以=2．高斯函數(shù)；找規(guī)律。5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P1，點(diǎn)解得,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為．9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過(guò)點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則

．

解：見(jiàn)題圖，設(shè)．因?yàn)镽t△AFB∽R(shí)t△ABC，所以．又因?yàn)镕C＝DC＝AB，所以即

，解得，或（舍去）．又Rt△∽R(shí)t△，所以，

即=．10．對(duì)于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為

．解：

因?yàn)闉榈谋稊?shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)．由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為．

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：（第12A題）

．（第12B題）

（第12B題）

證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因?yàn)锽E和CF都是直徑，所以ED⊥BC，

FD⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.

…………（5分）連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.

…………（10分）作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而

，

所以

.

…………（20分）12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；（2）過(guò)拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)B（t，），，AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有

解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上，所以解得

…………（10分）（2）如圖，因?yàn)锳C∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.因?yàn)椤螩OD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時(shí)，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，）.延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得=，這時(shí)點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn).（ii）作△關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△，得到點(diǎn)（1，）；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得＝，這時(shí)點(diǎn)E２（2，）是符合條件的點(diǎn)．所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，），或（2，）.

…………（20分）

13．求滿足的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m.．解：由題設(shè)得，所以，由于p是素?cái)?shù)，故，或.

……（5分）

（1）若，令，k是正整數(shù)，于是，，故，從而.所以解得

…………（10分）（2）若，令，k是正整數(shù).當(dāng)時(shí)，有，，故，從而，或2.

由于是奇數(shù)，所以，從而.

于是這不可能.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)，，無(wú)正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，無(wú)正整數(shù)解.綜上所述，所求素?cái)?shù)p=5，正整數(shù)m=9.

…………（20分）

14．從1，2，…，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？

解：首先，如下61個(gè)數(shù)：11，，，…，（即1991）滿足題設(shè)條件.

…………（5分）

另一方面，設(shè)是從1，2，…，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對(duì)于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，因?yàn)椋?/p>

，所以

.因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).

…………（10分）設(shè)，i=1，2，3，…