基本不等式全題型

基本不等式全題型

例1：(1)函數(shù)f(x)=x+(x>0)的值域?yàn)閇2,+∞)；函數(shù)f(x)=x+(x∈R)的值域?yàn)?-∞,-2]∪[2,+∞)；(2)函數(shù)f(x)=x+2/(x+1)的值域?yàn)閇1,+∞)．解析：(1)因?yàn)閤>0，所以x+1≥2x，即x+2≥2x+1，所以f(x)=(x+2)/(x+1)≥2，即f(x)的值域?yàn)閇2,+∞)；當(dāng)x∈R時(shí)，因?yàn)閤+1≤2x，所以x+2≤2(x+1)，所以f(x)=(x+2)/(x+1)≤-2，即f(x)的值域?yàn)?-∞,-2]∪[2,+∞)；(2)將x+2/(x+1)改寫為(x+1)/(x+1)+1/(x+1)，得到x+2/(x+1)=(x+1)/(x+1)+1/(x+1)≥2√[(x+1)/(x+1)·1/(x+1)]=2，即f(x)的值域?yàn)閇1,+∞)。4．(2013·鎮(zhèn)江期中)若x>1，則x+1/(x-1)的最小值為5。解析：x+1/(x-1)=(x-1+2)/(x-1)=1+(2/(x-1))≥1+2=3，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=2，即x=3時(shí)取等號(hào)，所以x+1/(x-1)的最小值為3+2=5。[例1](1)已知x<0，則f(x)=2+1/(x+1)的最大值為-2。解析：因?yàn)閤<0，所以-x>0，所以f(x)=2+1/(x+1)=2+1/(-x-1)=2-1/(x+1)≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)，所以f(x)的最大值為2；當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)閤+1>0，所以f(x)=2+1/(x+1)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，所以f(x)的最大值為2；所以f(x)的最大值為2，而不是-2。3．函數(shù)y=2/(x-1)+3的最小值是5。解析：因?yàn)閤-1>0，所以2/(x-1)≥0，所以y=2/(x-1)+3≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=0，即x=1時(shí)取等號(hào)，所以y的最小值為3；又因?yàn)閥=2/(x-1)+3=(2x-2)/(x-1)+5=(2x-2+5x-5+5)/(x-1)+5=7+(7/(x-1))≥7，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=7/2，即x=9/2時(shí)取等號(hào)，所以y的最小值為7；所以y的最小值既不是5，也不是7，而是3。10．已知x>1，a為大于2x的常數(shù)，求y=(a-2x)/(a+2x)的最小值。解：y=(a-2x)/(a+2x)=1-4x/(a+2x)≥1-4=-3，當(dāng)且僅當(dāng)a+2x=-4x，即a=-6x時(shí)取等號(hào)，所以y的最小值為-3。解析：(1)當(dāng)x＞3時(shí)，x－3＞0，所以f(x)＝＋x(x－3)的最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)取等號(hào)；當(dāng)0＜x＜3時(shí)，x－3＜0，所以f(x)＝＋x(x－3)的最小值為負(fù)無(wú)窮，沒(méi)有最小值。(2)當(dāng)x＞3時(shí)，x－3＞0，所以f(x)＝(x－3)的最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)取等號(hào)；當(dāng)0＜x≤3時(shí)，x－3≤0，所以f(x)＝(x－3)的最小值為負(fù)無(wú)窮，沒(méi)有最小值。改寫：(1)對(duì)于函數(shù)f(x)＝＋x(x＞3)，當(dāng)x＞3時(shí)，可以使用基本不等式得到f(x)的最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)取等號(hào)。當(dāng)0＜x＜3時(shí)，x－3＜0，所以f(x)沒(méi)有最小值。(2)對(duì)于函數(shù)f(x)＝(x＞3)，當(dāng)x＞3時(shí)，可以直接得到f(x)的最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)取等號(hào)。當(dāng)0＜x≤3時(shí)，x－3≤0，所以f(x)沒(méi)有最小值。例2：已知x，y，z均為正數(shù)，且xyz＝1，求函數(shù)f(x)＝x＋y＋z的最小值。解析：由均值不等式可得：f(x)＝x＋y＋z≥3√(xyz)=3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1時(shí)取等號(hào)，所以f(x)的最小值為3。改寫：已知x，y，z均為正數(shù)，且xyz＝1，考慮函數(shù)f(x)＝x＋y＋z的最小值。根據(jù)均值不等式可得：f(x)＝x＋y＋z≥3√(xyz)=3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1時(shí)取等號(hào)，所以f(x)的最小值為3。思維突破：(1)“添項(xiàng)”：可以通過(guò)加減同一個(gè)數(shù)，利用基本不等式得到定值。(2)“拆項(xiàng)”：可以把函數(shù)式變?yōu)閥=M+a的形式。1.因?yàn)閤>3，所以x-3>0。因此，f(x)=1/(x-3)+3>2/(x-3)。當(dāng)x-3=1時(shí)，f(x)取得最小值5。2.令x-3=t，則x=t+3，且t>0。因此，f(x)=1/(x-3)+3=1/t+3≥2/(t+3)=t/(t+3)+3。當(dāng)t=1時(shí)，f(x)取得最小值5。此時(shí)，x=4。3.設(shè)x>0，y>0，且x+y=18。則xy≤(x+y)2/4=81。當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí)，xy取到最大值81。4.已知x，y∈R，且滿足x+y=1。則xy≤(x+y)2/4=1/4。當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1/2時(shí)，xy取到最大值1/4。5.已知x，y為正實(shí)數(shù)，且滿足4x+3y=12。則xy≤3。當(dāng)且僅當(dāng)4x=3y=9時(shí)，xy取到最大值3。6.已知m>0，n>0，且mn=81。則m+n≥2√(mn)=18。當(dāng)且僅當(dāng)m=n=9時(shí)，m+n取到最小值18。7.已知x>1，y>1，且lgx+lgy=1。則z=xy/(x+y)≥2/((1/x)+(1/y))=2/(lgx+lgy)=2。當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)，z取到最小值2。解析：根據(jù)題意，可以得到以下關(guān)系式：$(x+1)(2y+1)=9$因?yàn)?x,y$都是正整數(shù)，所以可以列出不等式：$(x+1)+(2y+1)\geq2$化簡(jiǎn)得到$x+2y\geq4$。又因?yàn)?(x+1)=2(y+1)$，所以可以列出另一個(gè)方程：$x+2y+2xy=8$化簡(jiǎn)得到$x+12y+1=6$，解得$x=2,y=1$。因此$x+2y$的最小值是$4$。接下來(lái)考慮$x,y$都是正實(shí)數(shù)的情況。由$x+2y+xy=30$，可以得到：$(2+x)y=30-x$因?yàn)?x,y$都是正實(shí)數(shù)，所以$2+x\neq0$，所以$y>0$。又因?yàn)?x+2y+xy=30$，所以$0<x<30$。接下來(lái)求解$xy$的取值范圍。$xy=\frac{x(30-x)}{(2+x)}$化簡(jiǎn)得到$xy=-\frac{x}{2+x}+\frac{30}{2+x}$。令$t=x+2$，則$t\in(2,32)$，$xy=-\frac{t-2}{t}+\frac{30}{t}$?；?jiǎn)得到$xy=\frac{28}{t}-2$。因此$xy$的取值范圍是$(0,18]$。接下來(lái)求解$x+y$的取值范圍。$x+y=\frac{(2+x)y+30}{2+x}=\frac{32-x}{2+x}$。因?yàn)?x,y$都是正實(shí)數(shù)，所以$2+x>0$，所以$x<32$。因此$x+y=\frac{32-x}{2+x}\in[\frac{8}{3},30)$。最后考慮$a>b>0$的情況。因?yàn)?a>b>0$，所以$b(a-b)\leq\frac{a^2}{4}$。因此$a+\frac{a-b}\geqa+\frac{4b}{a+2b}$。令$t=\frac{a}$，則$t>1$，$a+\frac{a-b}\geqa+\frac{4}{t+2}$。化簡(jiǎn)得到$a+\frac{a-b}\geq2\sqrt{4a}$，即$a+\frac{a-b}\geq8$。因此$a+\frac{a-b}\geq8$。當(dāng)且僅當(dāng)$a=2b$時(shí)取得等號(hào)。因此$a+\frac{a-b}\geq8$，最小值為$8$。最后考慮$x-2y+3z=\frac{xz}{y}$的情況。根據(jù)題意，可以得到$y=\frac{xz}{2z-x}$。因此$x^2+9z^2+6xz=\frac{x^3z}{(2z-x)^2}$。令$t=\frac{x}{z}$，則$t>2$，$t^3+9t+6t^2=t(t^2+6t+9)+6t^2\geq27t$?；?jiǎn)得到$t^3+6t^2-27t+9t\geq0$，即$(t-3)^2(t+1)\geq0$。因此$t\geq3$，即$x\geq3z$。因此$x-2y+3z=\frac{xz}{y}\geq3z$，即$x\geq5z$。因此$x^2+9z^2+6xz\geq100z^2$，即$\frac{x^2+9z^2+6xz}{xz}\geq\frac{100}{x}$。因此$x-2y+3z=\frac{xz}{y}\geq\frac{100}{3}$。當(dāng)且僅當(dāng)$x=3z$時(shí)取得等號(hào)。因此$x-2y+3z=\frac{xz}{y}\geq\frac{100}{3}$，最小值為$\frac{100}{3}$。綜上所述，各小題的答案分別是$4$，$(0,18]$，$[\frac{8}{3},30)$，$8$，$\frac{100}{3}$。1.已知正數(shù)$x$，$y$滿足$x+2\sqrt{2}xy\leq\lambda(x+y)$恒成立，則實(shí)數(shù)$\lambda$的最小值為$\boxed{2}$。解析：依題意得$x+2\sqrt{2}xy\leqx+(x+2y)=2(x+y)$，即$\dfrac{x+2\sqrt{2}xy}{x+y}\leq2$，因此有$\lambda\geq2$，即$\lambda$的最小值是$2$。2.已知關(guān)于$x$的不等式$2x+\dfrac{3}{x-a}\geq7$在$x\in(a,+\infty)$上恒成立，則實(shí)數(shù)$a$的最小值為$\boxed{2}$。解析：因?yàn)?x>a$，所以$2x+\dfrac{3}{x-a}\geq2\sqrt{6}>4$，即$\dfrac{2x}{x-a}+\dfrac{3}{x-a}\geq7$，化簡(jiǎn)得$\dfrac{x-a}{2}+\dfrac{3}{2(x-a)}\geq\dfrac{7}{2}$，即$\dfrac{(x-a)+3}{2(x-a)}\geq\dfrac{7}{2}$，解得$x-a\leq\dfrac{1}{2}$，因此有$a\geq\dfrac{3}{2}$，即$a$的最小值是$2$。3.圓$x^2+y^2+2x-4y+1=0$關(guān)于直線$2ax-by+2=0$($a,b\in\mathbb{R}$)對(duì)稱，則$ab$的取值范圍是$\boxed{(-\infty,1/4]}$。解析：由題可知直線$2ax-by+2$過(guò)圓心$(-1,2)$，故可得$a+b=1$，又因?yàn)閳A心到直線的距離為半徑，即$\dfrac{|2a-4b+2|}{\sqrt{2^2+(-b)^2}}=1$，化簡(jiǎn)得$(2a-b+1)^2=5b^2$，解得$a=\dfrac{b-1\pm\sqrt{21}b}{4}$，因此$ab\leq\dfrac{1}{4}$，即$ab$的取值范圍是$(-\infty,1/4]$。a2+b2+2ab=(a+b)2a2+b2-2ab=(a-b)2(a+b)2-(a-b)2=4abab=(a+b+3)/2根據(jù)均值不等式：(a+b)/2≥√ab(a+b)2/4≥ab(a+b)2/4≥(a+b+3)/2(a+b)2≥2(a+b+3)a+b≥3+2√3或a+b≤3-2√3又因?yàn)閍b≥9，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)，故ab的取值范圍為[9,+∞)，a+b的取值范圍為[3+2√3,+∞)或(-∞,3-2√3]。已知$x>0$，$y>0$，且$2x+y=1$，求$\frac{x}{y}$的最小值。解析：由于$x>0$，$y>0$，且$2x+y=1$，則$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{y}+\frac{1}{2}\cdot\frac{y}{y}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x+y}{y}+\frac{1}{2}\geq\sqrt{\frac{2x+y}{2y}}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\frac{2x+y}{y\cdot2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2x}{y}=y$，即$x=\frac{y^2}{2}$時(shí)，等號(hào)成立。因此，$\frac{x}{y}$的最小值為$\frac{1}{\sqrt{2}}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{y^2}{2}$時(shí)取等號(hào)。已知條件與“1”有關(guān)，常利用“1”進(jìn)行整體代換，轉(zhuǎn)化為能使積為定值的形式．因此，我們?cè)O(shè)a+b=1，那么：y=ab/(a+b)=ab根據(jù)平均值不小于幾何平均值的原理，有：(a+b)/2>=sqrt(ab)代入a+b=1，可得：1/4>=ab因此，y的最小值為1/4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1/2時(shí)取等號(hào)。已知$a,b$為正數(shù)且滿足$a+b=1$，求證：(1)$\frac{1}{1+2ab}\geq\frac{1}{a+b}$；(2)$a+b\geq\frac{4}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$；(3)$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{ab}\geq\frac{8}{a+2b}$；(4)$(1+a)(1+b)(1+ab)\geq9$；(5)$\frac{a}{b+1}+\frac{a+1}+\frac{ab}{a+b}\geq\frac{3}{2}$.解答：(1)由基本不等式得：$\frac{1}{1+2ab}\geq\frac{(\sqrt{a}+\sqrt)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt)^2+2ab}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}=\frac{1}{a+b}$(2)由基本不等式得：$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{1}{2}$所以$a+b\geq\sqrt{2(a^2+b^2)}\geq\sqrt{2\cdot\frac{2}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}=\frac{4}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$(3)由基本不等式得：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{ab}\geq\frac{4}{a+2b}\geq\frac{8}{a+2b}$(4)由基本不等式得：$(1+a)(1+b)(1+ab)\geq(\sqrt[3]{a\cdotb}\cdot2\sqrt{ab})^3=8a^2b^2\geq9ab$所以$(1+a)(1+b)(1+ab)\geq9$(5)由基本不等式得：$\frac{a}{b+1}+\frac{a+1}\geq\frac{(a+b)^2}{ab+a+b+1}$所以$\frac{a}{b+1}+\frac{a+1}+\frac{ab}{a+b}\geq\frac{(a+b)^2}{ab+a+b+1}+\frac{ab}{a+b}$令$t=a+b$，則上式等價(jià)于：$\frac{t^2}{t-ab}+\frac{ab}{t}\geq\frac{3}{2}$令$f(x)=\frac{x^2}{t-x}+\frac{t-x}{4}$，則$f'(x)=\frac{t^2-2tx+x^2}{(t-x)^2}+\frac{1}{4}$令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{t}{3}$，又$f''(x)=\frac{6t^2-10tx+3x^2}{(t-x)^3}>0$，所以$f(x)$在$x=\frac{t}{3}$處取得最小值，即：$\frac{t^2}{t-ab}+\frac{t-ab}{4}\geq2\sqrt{\frac{t^2}{4}(t-ab)}=\frac{t\sqrt{t^2-4ab}}{2}$又由$a+b=1$得$t\geq2\sqrt{ab}$，所以$\frac{t\sqrt{t^2-4ab}}{2}\geq\frac{3}{2}\sqrt{ab}\geq\frac{3}{2}ab$綜上所述，$\frac{a}{b+1}+\frac{a+1}+\frac{ab}{a+b}\geq\frac{t^2}{t-ab}+\frac{t-ab}{4}\geq\frac{3}{2}$答案：(1)$\frac{1}{1+2ab}\geq\frac{1}{a+b}$；(2)$a+b\geq\frac{4}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$；(3)$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{ab}\geq\frac{8}{a+2b}$；(4)$(1+a)(1+b)(1+ab)\geq9$；(5)$\frac{a}{b+1}+\frac{a+1}+\frac{ab}{a+b}\geq\frac{3}{2}$.值應(yīng)該在定義域內(nèi)部而不是端點(diǎn)處。解題思路：設(shè)矩形的長(zhǎng)為y，則它的寬為12/y，側(cè)面的長(zhǎng)度為x，屋頂和地面的面積為12x+2y(12/y)，總造價(jià)為400(12/y)+150(2x+2(12/y))+5800=2400/y+300x+7250/y．化簡(jiǎn)得總造價(jià)為(2400+7250/y)+300x+300(12/x)．由基本不等式得：(2400+7250/y)(12/x)≥(2400+7250/y+12/x)．整理得：300x≥(2400+7250/y)(12/x)-(2400+7250/y)．令t=12/x，則t∈(0,5]，則有300x≥(2400+7250/y)t-(2400+7250/y)，即300x+2400+7250/y≥(2400+7250/y)t．因?yàn)閠∈(0,5]，所以(2400+7250/y)t的最小值為(2400+7250/y)·5=12000+1450/y．所以當(dāng)300x+2400+7250/y取最小值時(shí)，有300x+2400+7250/y=12000+1450/y，解得x=5/3，代入可得y=4，所以側(cè)面的長(zhǎng)度為5/3時(shí)，總造價(jià)最低，為14250元．解由題意可得，造價(jià)$y=3(2x×150+×400)+5800$?；?jiǎn)得$y=900\frac{16}{x}+5800$，其中$0<x\leq5$。由基本不等式得$900\frac{16}{x}+5800\geq900\times2x\times\sqrt{16}+5800=13000$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=4$時(shí)取等號(hào)。故當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為$4$米時(shí)，總造價(jià)最低。(2011·北京)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為$800$元。若每批生產(chǎn)$x$件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為$8$天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為$1$元。為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品多少件？設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為$y$元，由題意得$y=\frac{800x}{x}+\frac{8}{x}\times1=800+\frac{8}{x}$?；?jiǎn)得$y=800+\frac{64}{8x}$，由基本不等式得$y\geq2\sqrt{800\times\frac{64}{8x}}=80\sqrt{2}$。當(dāng)且僅當(dāng)$x=80$時(shí)取等號(hào)，故每批應(yīng)生產(chǎn)$80$件產(chǎn)品。9．(12分)為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為$2$米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱(如圖所示)，污水從$A$孔流入，經(jīng)沉淀后從$B$孔流出，設(shè)箱的底長(zhǎng)為$a$米，高度為$b$米。已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分別與$a$，$b$的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料$60$平方米。問(wèn)：當(dāng)$a$，$b$各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。?A$，$B$孔的面積忽略不計(jì)）？解方法一：設(shè)$y$為流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則$y=\frac{ab}{k}$，其中$k>0$為比例系數(shù)。依題意，求使$y$值最小的$a$，$b$的值。根據(jù)題設(shè)，有$4b+2ab+2a=60$（$a>0$，$b>0$），解得$b=\frac{30-a}{2+a}$。于是$y=\frac{ab}{k}=\frac{a\frac{30-a}{2+a}}{k}$?；?jiǎn)得$y=\frac{ab}{k}=\frac{a(30-a)}{2k+a^2}$。由基本不等式得$y\geq\frac{2\sqrt{a(30-a)}}{a^2+2k}$。當(dāng)且僅當(dāng)$a=\frac{15}{2}$時(shí)取等號(hào)，此時(shí)$b=3$。故當(dāng)$a$為$\frac{15}{2}$米，$b$為$3$米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。方法二：依題意，求使$ab$值最大的$a$，$b$的值。由題設(shè)，知$4b+2ab+2a=60$（$a>0$，$b>0$），即$a+2b+ab=30$（$a>0$，$b>0$）。因?yàn)?a+2b\geq2\sqrt{2ab}$，所以$2\sqrt{2ab}+ab\leq30$，即$ab\leq\frac{30-2\sqrt{2}}{3}$。當(dāng)且僅當(dāng)$a=2b$時(shí)取等號(hào)，此時(shí)$a=10-5\sqrt{2}$，$b=5\sqrt{2}-7$。代入可得經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，上式取等號(hào)。由a>0，b>0，解得0<ab≤18。即當(dāng)a=2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18。所以2b=18，解得b=9，進(jìn)而求得a=18。故當(dāng)a為18m，b為9m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。甲、乙兩地相距s千米，一艘船由甲地逆水勻速行駛至乙地，水速為常量p（單位：千米/小時(shí)），船在靜水中的最大速度為q千米/小時(shí)（q>p）。已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用（單位：元）與船在靜水中的速度v（單位：千米/小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為k。(1)將全程燃料費(fèi)用y（單位：元）表示為船在靜水中的速度v的函數(shù)，并求出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程燃料費(fèi)用最小，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？解：(1)由題意，知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用是kv，全程航行時(shí)間為s/(v-p)。于是全程燃料費(fèi)用y=kv×s/(v-p)2(p<v≤q)。顯然，v-p≠0，所以定義域?yàn)?p,q]。(2)由(1)，知y=kv×s/(v-p)2=ks×[(v-p)+2p]/(v-p)2=ks×[v-p+2p]/(v-p)2≥4ksp/(v-p)2(當(dāng)且僅當(dāng)v-p=2p，即v=2p時(shí)等號(hào)成立)。①當(dāng)2p∈(p,q]，即2p≤q時(shí)，ymin=4ksp，此時(shí)船的前進(jìn)速度為2p-p=p；②當(dāng)2p?(p,q]，即2p>q時(shí)，函數(shù)y=kv×s/(v-p)2在(p,q]內(nèi)單調(diào)遞減，所以ymin=ks×q2/(q-p)2，此時(shí)船的前進(jìn)速度為q-p。如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)。已知炮彈1/2=kx-(1+k)x(其中k與發(fā)射方向有關(guān))表示的曲線上，其中落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a。(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。滹w行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)令y=1/2=kx-(1+k)x，得kx-(1+k)x+1/2=0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，故x=1/2k≤10/k，當(dāng)且僅當(dāng)k=1/20時(shí)取等號(hào)。所以炮的最大射程為10千米。(2)設(shè)飛行物的橫坐標(biāo)為a，則炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為a。根據(jù)題意可列出方程1/2=ka-(1+k)a，化簡(jiǎn)得a=(k-1)±√(k2-2k+1+8/5k)。因?yàn)閍>0，所以應(yīng)取正根。又因?yàn)轱w行物在第一象限，所以a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它，即炮彈的軌跡經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,3.2)。代入方程1/2=kx-(1+k)x，得3