福建省三明市寧化縣第五中學2021-2022學年高三數學文聯(lián)考試題含解析

福建省三明市寧化縣第五中學2021-2022學年高三數學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知圓的直角坐標方程為．在以原點為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系中，該圓的方程為（A）（B）（C）（D）參考答案：A因為在極坐標系中，，代入方程得，即，選A.2.一個四棱錐的三視圖如圖所示，那么對于這個四棱錐，下列說法中正確的是（

）A.最長棱的棱長為B.最長棱的棱長為3C.側面四個三角形都是直角三角形D.側面四個三角形中有且僅有一個是正三角形參考答案：C【詳解】本題考查空間幾何體的三視圖和線線垂直，根據四棱錐的三視圖，可得到四棱錐的直觀圖（如圖所示）：由圖可知，，，面，面，，所以，，中，，，，，所以，所以是直角三角形，所以最長的棱長是，側面都是直角三角形．本題選擇C選項.3.已知實數x，y滿足，則x+y的取值范圍為（）A．[2，5] B．[2，] C．[，5] D．[5，+∞）參考答案：A【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線z=x+y過點A或B點時，z的最值即可．【解答】解：先根據約束條件，畫出可行域，由圖知，當直線z=x+y過點A（1，1）時，z最小值為：2．當直線z=x+y過點B（1，4）時，z最大值為：5．則x+y的取值范圍為：[2，5]．故選：A．4.如圖所示，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動，另一端點N在正方形ABCD內運動，則MN的中點的軌跡的面積為(

)A．4π B．2π C．π D．參考答案：D【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據題意，連接N點與D點，得到一個直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點，所以|PD|的長度不變，進而得到點P的軌跡是球面的一部分．【解答】解：如圖可得，端點N在正方形ABCD內運動，連接N點與D點，由ND，DM，MN構成一個直角三角形，設P為MN的中點，根據直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得不論△MDN如何變化，P點到D點的距離始終等于1．故P點的軌跡是一個以D為中心，半徑為1的球的球面積．所以答案為，故選D．【點評】解決此類問題的關鍵是熟悉結合體的結構特征與球的定義以及其表面積的計算公式．5.設是公差不為0的等差數列的前n項和，且成等比數列，則的值為（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C略6.在平面直角坐標系內，若曲線C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的點均在第四象限內，則實數a的取值范圍為（） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（2，+∞）參考答案：A【考點】直線與圓的位置關系；圓的一般方程． 【分析】把圓的方程化為標準方程后找出圓心坐標和半徑，根據第四象限的點橫坐標大于0，縱坐標小于0且橫縱坐標的絕對值小于2得到關于a的不等式，求出a的范圍即可． 【解答】解：把圓的方程化為標準形式得（x+a）2+（y﹣2a）2=4，所以圓心（﹣a，2a），半徑等于2， ﹣a＞0且2a＜0，解得a＜0；|﹣a|＞2且|2a|＞2， 解得a＜﹣2或a＞2， 所以a的取值范圍（﹣∞，﹣2）． 故選A． 【點評】此題考查學生會將圓的一般式方程化為圓的標準方程，掌握第四象限點橫坐標大于0縱坐標小于0的特點，是一道基礎題． 7.已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，則A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3} C．{1，3} D．{1}參考答案：D【考點】1E：交集及其運算．【分析】分別讓x取﹣1，1，4，然后求出對應的y，從而得出集合B，然后進行交集運算即可．【解答】解：x=﹣1，或1時，y=1；x=4時，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B={1}．故選D．8.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入x=7，y=6，則輸出的有序數對為（）A．（9，10） B．（12，13） C．（13，14） D．（13，12）參考答案：A考點：程序框圖．專題：圖表型；算法和程序框圖．分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x，y，n的值，當n=4時不滿足條件n＜4，退出循環(huán)，輸出數對（9，10）．解答：解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得x=7，y=6n=1滿足條件n＜4，x=7，y=8，n=2滿足條件n＜4，x=9，y=8，n=3滿足條件n＜4，x=9，y=10，n=4不滿足條件n＜4，退出循環(huán)，輸出數對（9，10）故選：A．點評：本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖，正確依次寫出每次循環(huán)得到的x，y，n的值是解題的關鍵，屬于基礎題．9.的單調減區(qū)間為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.在等比數列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=27,=3,則a3=A.±9

B. 9

C.3

D. ±3參考答案：D由已知可得，兩式相除可得，，所以.故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，滿足約束條件，則的最小值為 ．參考答案：考點：簡單線性規(guī)劃．【方法點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應的可行域，作圖時，可將不等式轉化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域對應的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域范圍.12.如圖為了測量A,C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD的各邊的長度（單位：km）：，如圖所示，且A、B、C、D四點共圓，則AC的長為___________km.參考答案：7【知識點】余弦定理的應用C8∵A、B、C、D四點共圓，圓內接四邊形的對角和為π．∴∠B+∠D=π，∴由余弦定理可得AC2=52+32﹣2?5?3?cosD=34﹣30cosD，AC2=52+82﹣2?5?8?cosB=89﹣80cosB，∵∠B+∠D=π，即cosB=﹣cosD，∴=，∴可解得AC=7．故答案為：7.【思路點撥】利用余弦定理，結合∠B+∠D=π，即可求出AC的長．13.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，，E為AB的中點，將與分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則三棱錐P-DCE的外接球的體積為

。參考答案：

14.拋物線的焦點坐標為

。

參考答案：略15.已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為

.參考答案：

設正方體邊長為，則，外接球直徑為

16.黨的十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求，團結帶領廣大農村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經過不懈的奮力拼搏，新農村建設取得巨大進步，農民年收入也逐年增加，為了更好的制定2019年關于加快提升農民年收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年50位農民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：根據頻率分布直方圖，則這50位農民的年收入（單位：千元）的中位數為_________．參考答案：【分析】先判斷中位數所在區(qū)間，再根據概率求中位數.【詳解】中位數所在區(qū)間在，設為，則故答案為【點睛】本題考查頻率分布直方圖以及中位數，考查基本分析求解能力，屬基礎題.17.方程的曲線即為函數的圖像，對于函數，有如下結論：①在R上單調遞減；②函數不存在零點；③函數的值域是R；④若函數和的圖像關于原點對稱，則函數的圖像就是方程確定的曲線.其中所有正確的命題序號是

.

參考答案：【知識點】函數的圖像與性質

B9D根據題意畫出方程的曲線即為函數的圖象，如圖所示．軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形

從圖形中可以看出，關于函數的有下列說法：

①在R上單調遞減；正確．

②由于即，從而圖形上看，函數的圖象與直線沒有交點，故函數不存在零點；正確．③函數的值域是R；正確．③函數的值域是R；正確.

④根據曲線關于原點對稱的曲線方程的公式，可得若函數和的圖象關于原點對稱，則用分別代替，可得就是表達式，可得，則的圖象對應的方程是，說明④錯誤

其中正確的個數是3．【思路點撥】根據題意畫出方程的曲線即為函數的圖象，如圖所示．軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形．從圖形中可以看出，關于函數的結論的正確性．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，點C是以AB為直徑的圓O上不與A、B重合的一個動點，S是圓O所在平面外一點，且總有SC⊥平面ABC，M是SB的中點，AB=SC=2．

（Ⅰ）求證：OM⊥BC；

（Ⅱ）當四面體S－ABC的體積最大時，設直線AM與平面ABC所成的角為，二面角B－SA－C的大小為，分別求的值．參考答案：（Ⅰ）略（Ⅱ），試題分析：（Ⅰ）證明線線垂直，往往通過證明線面垂直得出.本題即是通過證明BC⊥平面SAC，從而得出OM⊥BC的；（Ⅱ）先找出四面體S－ABC的體積最大時成立的條件，進而找出線面角及二面角的平面角，放在三角形中求出的值.也可建立空間直角坐標系，利用空間向量來解決.試題解析：(Ⅰ)證：由于C是以AB為直徑的圓上一點，故AC⊥BC

又SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC∵，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA 2分

O、M分別為AB、SB的中點，故OM平行于SA

∴OM⊥BC 4分(Ⅱ)解：四面體S－ABC的體積

當且僅當時取得最大值 6分

方法一

取BC的中點N，連接MN、AN，則MN與SC平行，MN⊥平面ABC

∴， 9分

作CH⊥SA垂足為H，連接BH，由(Ⅰ)知BC⊥SA，∴SA⊥平面BCH，BH⊥SA

故，在中，, 12分方法二

以分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，則

C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，S(0，0，2)

進而M(0，，1)，

是平面ABC的一個法向量，

故， 9分

設v=(x，y，z)是平面SAB的一個法向量，則,即

故可取，由（1）知，是平面SAC的一個法向量

故 12分考點：空間點、線、面的位置關系19.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足sin2A+sin2B=sin2C﹣sinAsinB．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，△ABC的中線CD=2，求△ABC面積S的值．參考答案：【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】（Ⅰ）正余弦定理化簡可得答案．（Ⅱ）由可得：，由余弦定理求出ab的值，即可求出△ABC面積S的值．【解答】解：（I）在△ABC中，∵sin2A+sin2B=sin2C﹣sinAsinB，由正弦定理得：a2+b2﹣c2=﹣ab．由余弦定理可得．∵0＜C＜π，∴．（II）由，可得：，即a2+b2﹣ab=16．又由余弦定理得a2+b2+ab=24，∴ab=4．故得△ABC面積．20.(本小題滿分12分)已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經過點．（I）求橢圓的方程；（II）直線與橢圓相交于、兩點，為原點，在、上分別存在異于點的點、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．參考答案：（I）依題意，可設橢圓的方程為．

由

∵橢圓經過點，則，解得∴橢圓的方程為······························································································（II）聯(lián)立方程組，消去整理得·························∵直線與橢圓有兩個交點，∴，解得

①·························································∵原點在以為直徑的圓外，∴為銳角，即．而、分別在、上且異于點，即···············································設兩點坐標分別為，則

解得

，

②··································································綜合①②可知：·································································

21.（本題滿分12分）已知，函數．（Ⅰ）若，求函數的極值點；（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范圍．（為自然對數的底數）參考答案：（Ⅰ）若，則，．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減． …2分又因為，，所以當時，；當時，；當時，；當時，． …4分故