第二十章　函　數(shù)

第二十章函數(shù)1.探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.2.通過具體實(shí)例了解常量、變量的意義,了解函數(shù)的概念和三種表示方法,能舉出函數(shù)的實(shí)例.3.能結(jié)合圖像對簡單的實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析.4.能確定簡單的整式、分式、二次根式和簡單實(shí)際問題中的函數(shù)的自變量的取值范圍,并會求出函數(shù)值.5.能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫某些實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系.6.結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析,嘗試對變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測.1.讓學(xué)生經(jīng)歷常量與變量、兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系,建立函數(shù)模型,以及用多種方法表示函數(shù)的認(rèn)知過程,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維和符號感.2.使學(xué)生能結(jié)合圖像對某些簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析,對變量的變化規(guī)律進(jìn)行預(yù)測,并能解決一些簡單的問題.讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的過程,體會數(shù)學(xué)的價值,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.本章的主要內(nèi)容是:由實(shí)例引入函數(shù)的基本概念,根據(jù)實(shí)際情景列出函數(shù)的關(guān)系式,求出簡單函數(shù)中自變量的取值范圍,通過對實(shí)際問題的直觀感知,領(lǐng)悟相關(guān)知識,讓學(xué)生在具體情境中領(lǐng)會函數(shù)的相關(guān)知識.函數(shù)的概念是數(shù)學(xué)中極為重要的基本概念,它的抽象性較強(qiáng),接受并理解它有一定的難度,這也是本章的難點(diǎn).本章的主要特點(diǎn)是:1.反映函數(shù)概念的實(shí)際背景,滲透“變化與對應(yīng)”的思想.在建立和運(yùn)用函數(shù)這種數(shù)學(xué)模型的過程之中,“變化與對應(yīng)”的思想是重要的基礎(chǔ),所謂變化與對應(yīng)的思想包括兩個基本意思:(1)世界是變化的,客觀事物中存在大量的變量;(2)在同一變化過程中,變量之間不是孤立的,而是相互聯(lián)系的,一個變量的變化會引起其他變量的相應(yīng)變化,這些變化之間存在對應(yīng)關(guān)系.本章教材力求能在具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容中滲透體現(xiàn)變化與對應(yīng)的思想,使學(xué)生能潛移默化地感觸、體會函數(shù)內(nèi)容中最基本的東西,在對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)方面有所收獲.2.注重聯(lián)系實(shí)際問題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的作用.世界是運(yùn)動變化的,函數(shù)是研究運(yùn)動變化的重要數(shù)學(xué)模型,它來源于客觀實(shí)際又服務(wù)于客觀實(shí)際.本章教材中以實(shí)際問題貫穿始終,它們中有些是作為函數(shù)的實(shí)際背景為降低學(xué)習(xí)抽象概念的難度服務(wù)的.3.重視數(shù)學(xué)概念中蘊(yùn)涵的思想,注意從運(yùn)動變化和聯(lián)系對應(yīng)的角度認(rèn)識函數(shù).數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué),數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的,世界永遠(yuǎn)是處于變化之中的.因此無論是數(shù)量關(guān)系中還是空間形式中都充滿了有關(guān)運(yùn)動變化的問題,函數(shù)正是研究運(yùn)動變化的重要數(shù)學(xué)模型,它反映的是變量之間的對應(yīng)規(guī)律,它對研究數(shù)量關(guān)系的作用是十分明顯的.【重點(diǎn)】1.了解函數(shù)的三種表示方法,能確定函數(shù)自變量的取值范圍.2.函數(shù)的初步應(yīng)用.【難點(diǎn)】函數(shù)的表示及其應(yīng)用.教學(xué)時應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析,鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的見解,讓學(xué)生通過實(shí)例理解函數(shù)的意義以及函數(shù)的三種表示方法.在求函數(shù)關(guān)系式時,要聯(lián)系代數(shù)式和方程的相關(guān)知識,引導(dǎo)學(xué)生按順序考慮問題,確定出自變量的取值范圍,列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.整個教學(xué)過程中要借助實(shí)際問題情境,由具體到抽象地認(rèn)識函數(shù);通過函數(shù)應(yīng)用舉例,體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想.教師要引導(dǎo)從多種角度思考,借助圖像、表格、表達(dá)式等進(jìn)行分析,尋找變量之間的關(guān)系,檢驗(yàn)所建立的函數(shù)的合理性.注意加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,注意鼓勵學(xué)生積極探究,教師為啟發(fā)誘導(dǎo)設(shè)計(jì)必要的鋪墊,讓學(xué)生能經(jīng)過自己的努力來發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系.20.1常量和變量1課時20.2函數(shù)2課時20.3函數(shù)的表示1課時20.4函數(shù)的初步應(yīng)用1課時回顧與反思1課時20.1常量和變量1.通過實(shí)例理解變量、常量的概念以及相互之間的關(guān)系,能舉出現(xiàn)實(shí)中的常量與變量.2.增加對變量的理解.3.滲透找變量之間的簡單關(guān)系,能列簡單關(guān)系式.1.通過對問題的討論引出常量與變量的概念,為學(xué)習(xí)函數(shù)的定義作準(zhǔn)備.2.通過對學(xué)生熟悉的幾個例子,系統(tǒng)地認(rèn)識常量與變量,有助于理解相關(guān)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別.3.通過探索兩個數(shù)量之間的關(guān)系和變化規(guī)律,發(fā)展學(xué)生的抽象思維和符號感.學(xué)生通過積極參與課堂上對問題的分析,感受現(xiàn)實(shí)生活中函數(shù)的普遍性,體會事物之間的相互聯(lián)系與制約.【重點(diǎn)】變量與常量.【難點(diǎn)】對變量的判斷.【教師準(zhǔn)備】課件1~4.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)常見的等量關(guān)系式.導(dǎo)入一:一輛長途汽車從臨沂駛向上海,全程哪些量不變?哪些量在變?學(xué)生討論回答后教師導(dǎo)入:當(dāng)我們用數(shù)學(xué)來分析現(xiàn)實(shí)世界的各種現(xiàn)象時,會遇到各種各樣的量,如物體運(yùn)動中的速度、時間和距離;圓的半徑、周長和圓周率;購買商品的數(shù)量、單價和總價;某城市一天中各時刻變化著的氣溫;某段河道一天中時刻變化著的水的流量……在某一過程中,有些量固定不變,有些量不斷改變.導(dǎo)入二:火車行駛的里程隨著時間的變化而變化,一天的溫度隨著時間的變化而變化,像這樣,在現(xiàn)實(shí)生活中一個量隨著另一個量的變化而變化的現(xiàn)象大量存在.函數(shù)就是研究一些量之間確定性依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.今天我們首先來學(xué)習(xí)——20.1常量和變量.[設(shè)計(jì)意圖]兩個導(dǎo)入以現(xiàn)實(shí)生活為依托,通過學(xué)生平常接觸到的事物,引出變化的量,引起學(xué)生的好奇心.活動1嘗試探究[過渡語]在實(shí)際生活中,人們需要用量化的方式來描述一個事物的變化過程,這會涉及一些量,其中一些量是不變的,一些量是變化的.我們知道,在一個勻速運(yùn)動中,路程=速度×?xí)r間.這里的路程、速度和時間就是三個不同的量.這些量在不同的變化過程中會有怎樣的具體表現(xiàn)形式呢?下面我們來共同探究這個問題.思路一【課件1】一起探究1.小明在上學(xué)的途中,騎自行車的平均速度為300m/min.(1)填寫下表:時間t/min5102055…路程s/m…(2)在這個問題中,哪些量是不變的,哪些量是變化的?變化的量之間存在著怎樣的關(guān)系?2.桃園村辦企業(yè)去年的總收入是25000萬元,計(jì)劃從今年開始逐年增加收入3500萬元.在這個問題中,一共有幾個量?其中哪些量是不變的,哪些量是變化的?變化的量之間存在著怎樣的關(guān)系?3.類似地,請你再舉出兩個實(shí)際問題的例子,并分別說明它們各含有幾個不同的量,其中哪些量是不變的,哪些量是變化的.【教師活動】讓學(xué)生填表,觀察問題1的表格和問題2的條形統(tǒng)計(jì)圖.思考題目中的問題,并板書答案.學(xué)生解答后應(yīng)該給予評價.此處應(yīng)注意:(1)學(xué)生以組為單位合作探究.(2)教師巡視,注意指導(dǎo).讓學(xué)生結(jié)合每一道題的題意和表達(dá)式,來討論變化的量和不變的量.【學(xué)生活動】學(xué)生觀察、討論,解釋每個題中變化的量和不變的量.在問題1中,共有三個量,其中平均速度300m/min是不變的量,路程和時間都是變化的量,它們之間滿足關(guān)系s=300t.在問題2中,共有四個量,即去年的總收入、從今年起每年增加的收入、第幾年和第幾年的總收入.其中,去年的總收入25000萬元和以后每年增加的收入3500萬元都是不變的量,第幾年和第幾年的總收入都是變化的量.如果用n(n取正整數(shù))表示從今年起的第n年,用W表示第n年的總收入,那么它們之間滿足關(guān)系W=25000+3500n.教師說明:在一個變化過程中,可以取不同數(shù)值的量叫做變量,而數(shù)值保持不變的量叫做常量.教師特別強(qiáng)調(diào):(1)常量與變量必須存在于一個變化過程中.(2)判斷一個量是常量還是變量,需:①看它是否在一個變化的過程中;②看它在這個變化過程中的取值情況.在問題3中,請你指出自己舉出的兩個例子中的常量和變量.[設(shè)計(jì)意圖]結(jié)合學(xué)生比較熟悉其背景的幾個例子,對新知識有個初步的感知.讓學(xué)生熟練地從不同事物的變化過程中尋找出變量之間的變化規(guī)律,并逐步學(xué)會用含有一個變量的式子表示另一個變化的量.[知識拓展]常量與變量是對“在某一變化過程中”而言的,因而是相對的.同一個量在某一變化過程中是常量,而在另一變化過程中卻可能是變量,所以常量和變量是由問題的條件確定的.例如:s=vt中,若v確定,則s,t是變量;若t確定,則s,v是變量.思路二【課件2】一輛汽車以60千米/時的速度勻速行駛,行駛里程為s千米,行駛時間為t小時.(1)請同學(xué)們根據(jù)題意填寫下表:t/小時12345s/千米(2)在以上這個過程中,變化的量是,沒有變化的量是.

(3)試用含t的式子表示s.師:我們首先來思考上面的幾個問題,可以互相討論一下,然后回答.生:從題意中可以知道汽車是勻速行駛的,那么它1小時行駛60千米,2小時行駛2×60千米,即120千米,3小時行駛3×60千米,即180千米,4小時行駛4×60千米,即240千米,5小時行駛5×60千米,即300千米……因此行駛里程s千米與時間t小時之間有關(guān)系:s=60t.其中里程s與時間t是變化的量,速度60千米/時是不變的量.師:很好!謝謝你正確的闡述.這種問題反映了勻速行駛的汽車所行駛的里程隨行駛時間的變化過程.其實(shí)現(xiàn)實(shí)生活中有好多類似的問題,都是反映不同事物的變化過程,其中有些量的數(shù)值是按照某種規(guī)律變化的,如上例中的時間t、里程s,有些量的數(shù)值是始終不變的,如上例中的速度60千米/時.【課件3】1.電影票的售價為10元/張,第一場售出150張票,第二場售出205張票,第三場售出310張票,三場電影的票房收入各為多少元?設(shè)一場電影售票x張,票房收入y元.怎樣用含x的式子表示y?2.你見過水中的漣漪嗎?如右圖所示,圓形水波慢慢地?cái)U(kuò)大.在這一過程中,當(dāng)圓的半徑r分別為10cm,20cm,30cm時,圓的面積S分別為多少?用含r的式子表示S.3.用10m長的繩子圍成一個矩形.當(dāng)矩形的一邊長x分別為3m,3.5m,4m,4.5m時,它的鄰邊長y分別為多少?用含x的式子表示y.[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生熟練地從不同事物的變化過程中尋找出變化量之間的變化規(guī)律,并逐步學(xué)會用含有一個變化量的式子表示另一個變化的量.【教師活動】引導(dǎo)學(xué)生通過合理、正確的思維方法探索出變化規(guī)律.【學(xué)生活動】在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下,經(jīng)歷嘗試運(yùn)算、猜想探究、歸納總結(jié)及驗(yàn)證等過程,得到正確的結(jié)論.活動結(jié)論:1.第一場電影票房收入:150×10=1500(元);第二場電影票房收入:205×10=2050(元);第三場電影票房收入:310×10=3100(元).關(guān)系式:y=10x.2.當(dāng)r=10cm時,S=102π=100π(cm2);當(dāng)r=20cm時,S=202π=400π(cm2);當(dāng)r=30cm時,S=302π=900π(cm2).關(guān)系式:S=πr2.3.當(dāng)邊長為3m時,鄰邊長y為5-3=2(m);當(dāng)邊長為3.5m時,鄰邊長y為5-3.5=1.5(m);當(dāng)邊長為4m時,鄰邊長y為5-4=1(m);當(dāng)邊長為4.5m時,鄰邊長y為5-4.5=0.5(m).關(guān)系式:y=5-x.師:通過上述活動,我們清楚地認(rèn)識到,要想尋求事物變化過程的規(guī)律,首先需確定在這個過程中哪些量是變化的,而哪些量又是不變的.在一個變化過程中,可以取不同數(shù)值的量為變量,數(shù)值始終不變的量稱之為常量.如上述四個過程中,時間t、里程s、售出票數(shù)x、票房收入y、圓的半徑r、圓的面積S、矩形一邊長x、其鄰邊長y都是變量.而速度60千米/時、票價10元/張、圓周率π、繩長10m都是常量.活動2鞏固練習(xí)[過渡語]明確了常量和變量的定義,理解了它們之間的區(qū)別,下面我們共同來完成“做一做”.【課件4】做一做在下列各問題中,分別各有幾個量,其中哪些量是常量,哪些量是變量?這些量之間具有怎樣的關(guān)系?(1)每張電影票的售價為10元.某日共售出x張票,票房收入為y元.(2)一臺小型臺秤最大稱重為6kg,每添加0.1kg重物,指針就轉(zhuǎn)動6°的角,添加重物質(zhì)量為mkg時,指針轉(zhuǎn)動的角度為α.(3)用10m長的繩子圍成一個長方形.小明發(fā)現(xiàn)不斷改變長方形的長x(m)的大小,長方形的面積S(m2)就隨之有規(guī)律地發(fā)生變化.【教師活動】引導(dǎo)、點(diǎn)撥.教師應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注:(1)學(xué)生是否能正確地寫出關(guān)系式;(2)答案是否全面;(3)學(xué)生的參與度.【學(xué)生活動】先自主探索,再小組合作、分析、總結(jié)、交流,寫出答案.答案:(1)有三個量,10元是常量,x張和y元是變量,y=10x.(2)有五個量,6kg,0.1kg和6°是常量,mkg和α是變量,α=60m.(3)有三個量,10m是常量,x和S是變量,S=x(5-x).[設(shè)計(jì)意圖]進(jìn)一步熟悉鞏固前面總結(jié)的探究方法,并學(xué)會利用以前所學(xué)的一些公式來幫助解決問題.通過練習(xí)讓學(xué)生會列關(guān)系式,并進(jìn)一步理解變量與常量的含義.本節(jié)課所學(xué)知識:變量與常量的定義.方法:①常量與變量必須存在于同一變化過程中,判斷一個量是常量還是變量,需要看兩個方面:一是看它是否在一個變化過程中;二是看它在這個變化過程中的取值情況是否發(fā)生變化.②常量和變量是相對于變化過程而言的,可以相互轉(zhuǎn)化.③不要認(rèn)為字母就是變量.1.在圓周長計(jì)算公式C=2πr中,對半徑不同的圓,變量有 ()A.C,r B.C,π,rC.C,πr D.C,2π,r解析:直接利用在一個變化的過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量,數(shù)值始終不變的量稱為常量,進(jìn)而得出在圓周長計(jì)算公式C=2πr中,對半徑不同的圓,變量有C,r.故選A.2.如果用總長為60m的籬笆圍成一個長方形場地,設(shè)長方形的面積為S(m2),周長為p(m),一邊長為a(m),那么S,p,a中是變量的是 ()A.S和p B.S和a C.p和a D.S,p,a解析:∵籬笆的總長為60m,∴周長p是定值,而面積S和一邊長a是變量.故選B.3.某人要在規(guī)定的時間內(nèi)加工100個零件,則工作效率η與時間t之間的關(guān)系中,下列說法正確的是 ()A.數(shù)100和η,t都是變量B.數(shù)100和η都是常量C.η和t是變量D.數(shù)100和t都是常量解析:根據(jù)變量和常量的定義可知η和t是變量,零件的個數(shù)100是常量.故選C.4.在三角形面積公式S=12ah,a=2cm中,下列說法正確的是 (A.S,a是變量,12hB.S,h是變量,12C.S,h是變量,12aD.S,h,a是變量,12解析:在三角形面積公式S=12ah,a=2cm中,12a的值保持不變,它是常量,h和S是變量.故選5.林老師騎摩托車到加油站加油,發(fā)現(xiàn)每個加油器上都有三個量,其中一個表示“元/升”,其數(shù)值固定不變,另外兩個量分別表示“數(shù)量”“金額”,數(shù)值一直在變化,在這三個量當(dāng)中是常量,是變量.

解析:常量就是在變化過程中不變的量,變量是指在程序的運(yùn)行過程中隨時可以發(fā)生變化的量.答案:元/升數(shù)量、金額6.汽車行駛的路程s、行駛時間t和行駛速度v之間有下列關(guān)系:s=vt.如果汽車以每小時60km的速度行駛,那么在s=vt中,變量是,常量是;如果汽車行駛的時間t規(guī)定為1小時,那么在s=vt中,變量是,常量是;如果甲、乙兩地的路程s為200km,汽車從甲地開往乙地,那么在s=vt中,變量是,常量是.

解析:根據(jù)在一個變化的過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量,數(shù)值始終不變的量稱為常量解答.答案:s,t60s,v1v,t2007.齒輪每分鐘120轉(zhuǎn),如果n表示轉(zhuǎn)數(shù),t表示轉(zhuǎn)動時間.(1)用n的代數(shù)式表示t;(2)說出其中的變量與常量.解析:(1)根據(jù)題意可得轉(zhuǎn)數(shù)=每分鐘120轉(zhuǎn)×?xí)r間;(2)根據(jù)變量和常量的定義:在一個變化的過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量,數(shù)值始終不變的量稱為常量,可得t,n是變量.解:(1)由題意得120t=n,即t=n120(2)變量:t,n,常量:120.8.說出下列各個過程中的變量與常量.(1)我國第一顆人造地球衛(wèi)星繞地球一周需106分鐘,t分鐘內(nèi)衛(wèi)星繞地球的周數(shù)為N,N=t106(2)矩形的長為2cm,它的面積S(cm2)與寬a(cm)的關(guān)系式是S=2a.解析:根據(jù)常量是在某一變化過程中保持不變的量,變量是在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量,對各小題分析判斷即可得解.解:(1)N和t是變量,106是常量.(2)S和a是變量,2是常量.20.1常量和變量活動1嘗試探究變量:在一個變化過程中,可以取不同數(shù)值的量叫做變量.常量:在一個變化過程中,數(shù)值保持不變的量叫做常量.活動2鞏固練習(xí)一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第62頁練習(xí)第1,2題.2.教材第62頁習(xí)題A組第1,2,3題.【選做題】教材第62頁習(xí)題B組第1,2題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.學(xué)校計(jì)劃買100個乒乓球,買的乒乓球的總費(fèi)用W(元)與單價n(元/個)的關(guān)系式W=100n中 ()A.100是常量,W,n是變量B.100,W是常量,n是變量C.100,n是常量,W是變量D.無法確定2.一長方體的寬為b(定值),長為x(x>b),高為h,體積為V,則V=bxh,其中變量是 ()A.x B.hC.V D.x,h,V3.下列說法正確的是 ()A.常量是指永遠(yuǎn)不變的量B.具體的數(shù)一定是常量C.字母一定表示變量D.球的體積公式V=43πr3中,變量是π,4.下表是某報紙公布的世界人口數(shù)據(jù)情況,表中的變量 ()年份19571974198719992010人口數(shù)30億40億50億60億70億A.僅有一個,是時間(年份)B.僅有一個,是人口數(shù)C.有兩個,一個是人口數(shù),另一個是時間(年份)D.一個也沒有【能力提升】5.完成以下問題:(1)某人持續(xù)以a米/分的速度t分鐘內(nèi)跑了s米,其中常量是,變量是;

(2)在t分鐘內(nèi),不同的人以不同的速度a米/分跑了s米,其中常量是,變量是;

(3)s米的路程,不同的人以不同的速度a米/分各需跑t分鐘,其中常量是,變量是;

(4)根據(jù)以上敘述,寫一句關(guān)于常量與變量的結(jié)論:.

6.我國是一個嚴(yán)重缺水的國家,我們都應(yīng)該倍加珍惜水資源,節(jié)約用水.據(jù)測試,擰不緊的水龍頭每秒會滴下2滴水,每滴水約0.5毫升.小燕子同學(xué)在洗手時,沒有擰緊水龍頭,當(dāng)小燕子離開x(時)后水龍頭滴了y(毫升)水.在這段文字涉及的量中,哪些是常量,哪些是變量?7.按如圖所示的方式擺放餐桌和椅子.用x來表示餐桌的張數(shù),用y來表示可坐人數(shù).(1)題中有幾個變量?(2)你能寫出兩個變量之間的關(guān)系嗎?8.分析并指出下列關(guān)系中的變量與常量.(1)球的表面積Scm2與球的半徑Rcm的關(guān)系式是S=4πR2;(2)以固定的速度v0米/秒向上拋一個小球,小球的高度h米與小球運(yùn)動的時間t秒之間的關(guān)系式是h=v0t-4.9t2;(3)一物體自高處自由落下,這個物體運(yùn)動的距離hm與它下落的時間ts的關(guān)系式是h=12gt2(其中g(shù)取9.8m/s2(4)已知橙子每千克的售價是1.8元,則購買數(shù)量w千克與所付款x元之間的關(guān)系式是x=1.8w.【拓展探究】9.在燒開水時,水溫達(dá)到100℃就會沸騰,下表是某同學(xué)做“觀察水的沸騰”實(shí)驗(yàn)時記錄的數(shù)據(jù):時間/分02468101214…溫度/℃3044587286100100100…(1)上表反映了哪兩個量之間的關(guān)系?(2)水的溫度是如何隨著時間的變化而變化的?(3)時間推移2分鐘,水的溫度如何變化?(4)時間為8分鐘時,水的溫度為多少?你能得出時間為9分鐘時,水的溫度嗎?(5)根據(jù)表格,你認(rèn)為時間為16分鐘和18分鐘時水的溫度分別為多少?(6)為了節(jié)約能源,你認(rèn)為應(yīng)在什么時間停止燒水?【答案與解析】1.A(解析:∵買的乒乓球的總費(fèi)用W(元)與單價n(元/個)的關(guān)系式為W=100n,∴在此式中100是常量,W,n是變量.)2.D(解析:一長方體的寬為b(定值),長為x(x>b),高為h,體積為V,則V=bxh,其中變量是x,h,V,常量是b.)3.B(解析:A.常量和變量是相對于變化過程而言的,可以互相轉(zhuǎn)化,錯誤;B.具體的數(shù)一定為常量,正確;C.字母不一定都表示變量,錯誤;D.π是常量,錯誤.)4.C(解析:觀察表格,可知時間在變,人口在變,故C正確.)5.(1)at,s(2)ta,s(3)sa,t(4)在一個變化的過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量;數(shù)值始終不變的量稱為常量(解析:根據(jù)變量和常量的定義:在一個變化的過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量;數(shù)值始終不變的量稱為常量,可直接得到答案.)6.解:由題意得常量為數(shù)值始終不變的量,有:2,0.5;變量為數(shù)值發(fā)生變化的量,有:x,y.7.解:(1)觀察圖形,得x=1時,y=6;x=2時,y=10;x=3時,y=14;….可見每增加一張桌子,便增加4個座位,因此x張餐桌共有6+4(x-1)=4x+2個座位.故可坐人數(shù)y=4x+2,故有2個變量.(2)能,由(1)分析可得關(guān)系式可以為y=4x+2.8.解:(1)常量是4π,變量是S,R.(2)常量是v0,4.9,變量是h,t.(3)常量是12g,變量是h,t.(4)常量是1.8,變量是x,9.解:(1)上表反映了水的溫度與時間的關(guān)系.(2)水的溫度隨著時間的增加而增加,到100℃時恒定.(3)時間推移2分鐘,水的溫度增加14℃,到10分鐘時恒定.(4)時間為8分鐘時,水的溫度是86℃,時間為9分鐘時,水的溫度是93℃.(5)根據(jù)表格,可知時間為16分鐘和18分鐘時水的溫度均為100℃.(6)為了節(jié)約能源,應(yīng)在10分鐘后停止燒水.常量與變量的概念是由解決實(shí)際問題的需要而產(chǎn)生的.本節(jié)是實(shí)踐性很強(qiáng)的內(nèi)容.教學(xué)中,無論是知識的發(fā)生過程還是應(yīng)用過程,都充分運(yùn)用實(shí)例.根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn),更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律,強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”的要求,在本節(jié)課的教學(xué)中,教師應(yīng)充分發(fā)揮實(shí)例和多媒體的功能,使數(shù)學(xué)問題生活化、抽象的問題形象化、靜態(tài)的方式動態(tài)化,讓學(xué)生觀察和分析數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律,使學(xué)生從中感受常量和變量的意義,從而有效突出重點(diǎn),突破本節(jié)的難點(diǎn).常量與變量是在某一個過程中研究的,因此分析清楚變化的過程是什么,才有利于學(xué)生辨析清楚常量與變量分別是什么.在本節(jié)課的課堂實(shí)施中,教師雖然注意到了對過程的分析,但是沒有在整個概念教學(xué)中貫穿這樣的分析方法,分析變化過程是什么,再討論變量與常量,而是過于強(qiáng)調(diào)了兩種量在數(shù)值變化上的特征,有失偏頗,應(yīng)在今后的教學(xué)中加以改進(jìn).數(shù)學(xué)知識的教學(xué),在掌握基礎(chǔ)知識的同時,重要的是教給學(xué)生掌握必要的學(xué)習(xí)方法.教師在教學(xué)過程中要注意這方面的滲透,對于變量與常量的探討,要整合題目中變化的過程,讓學(xué)生在不斷觀察、總結(jié)中體現(xiàn)學(xué)習(xí)的思路和方法.本節(jié)的教學(xué),要以師生互動探究式教學(xué)模式展開,遵循“教為主導(dǎo),學(xué)為主體”的教學(xué)思想,以自主探索和合作交流為主,引導(dǎo)學(xué)生親身實(shí)踐知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的認(rèn)知過程.由于本節(jié)課所學(xué)習(xí)的“常量”與“變量”是兩個抽象的新概念,科學(xué)研究和教學(xué)實(shí)踐都表明,必須讓學(xué)生通過直觀感知來接受新的概念,這既符合學(xué)生由感性到理性、由具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律,也有利于學(xué)生掌握探究性學(xué)習(xí)的方法.練習(xí)(教材第62頁)1.解:(1)如下表所示:b-3-2-0.501335100a1051.25124102610001(2)a=b2+1,常量為1,變量為a,b.2.解:S=15x,常量為15,變量為S,x.習(xí)題(教材第62頁)A組1.解:2.4是常量,m與W是變量.2.解:π是常量,S與r是變量,S=πr2.B組1.解:常量是8,3,變量是m與=3×8n=24n,即m與n之間的關(guān)系式為m=24n.2.解:4和10是常量,x與y是變量,y=10-4x.本節(jié)課是用變化的觀點(diǎn)研究數(shù)量,重點(diǎn)是認(rèn)識在變化過程中,常常呈現(xiàn)具有不同狀態(tài)的量:變量和常量.應(yīng)設(shè)置適當(dāng)?shù)膯栴}系列,讓學(xué)生充分體會其中的變量和常量.1.對于“一起探究”中的問題1,可按下列問題展開分析:(1)小明行駛5min時,自行車的速度是多少?行駛路程是多少?10min時呢?60min時呢?(2)自行車行駛過程中,平均速度、行駛時間和行駛路程三個量是否變化?若不變,它們對應(yīng)的數(shù)值是多少?若變化,是怎樣變化的?(3)行駛路程的變化與行駛時間的變化是否有聯(lián)系?它們之間具有怎樣的關(guān)系?2.對于“一起探究”中的問題2,是以學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的條形統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)的,學(xué)習(xí)過程可設(shè)計(jì)以下環(huán)節(jié)進(jìn)行:(1)先讓學(xué)生結(jié)合問題情境,獨(dú)立思考、探索條形統(tǒng)計(jì)圖所蘊(yùn)含的信息.(2)組織同學(xué)間互動、交流、研討,擴(kuò)充獲得的信息.(3)整合獲得的信息,將信息歸納為幾個量,這些量中哪些是變化的,哪些是不變的?(4)這些量之間具有怎樣的關(guān)系?3.“一起探究”中的問題3和“大家談?wù)劇笔情_放性的問題,應(yīng)給學(xué)生充分思考、交流的時間,盡量豐富有關(guān)“不變的量”“變化的量”的實(shí)例,進(jìn)一步讓學(xué)生了解常量與變量,激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維.變量之間的表現(xiàn)形式從甲地到乙地的路程為300千米,一輛汽車從甲地到乙地,每小時行駛50千米,行駛的時間為t(小時),離乙地的路程為s(千米),填寫下表:t/小時123456s/千米用含有t的式子表示s,并說出其中的常量和變量分別是什么.解:表中的數(shù)據(jù)從左到右依次為250,200,150,100,50,0.用含有t的式子表示s為s=300-50t,其中300,50是常量;s,t是變量.20.2函數(shù)1.結(jié)合豐富的實(shí)例,使學(xué)生在具體情境中了解自變量與函數(shù)的意義.2.結(jié)合實(shí)例,初步了解數(shù)值表、圖像、表達(dá)式這三種函數(shù)的表示方法.3.能確定簡單函數(shù)的自變量的取值范圍.1.觀察在許多問題中的變量之間存在著函數(shù)關(guān)系.2.探究函數(shù)與自變量的對應(yīng)關(guān)系.3.理解如何求函數(shù)解析式、自變量的取值范圍.1.通過學(xué)習(xí)函數(shù)概念,提高學(xué)生的分析、綜合能力,滲透由特殊到一般、由具體到抽象的思考方法,向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想.2.感受現(xiàn)實(shí)生活中函數(shù)的普遍性,體會事物之間的相互聯(lián)系與制約.【重點(diǎn)】了解函數(shù)的意義,會求自變量的取值范圍及函數(shù)值.【難點(diǎn)】函數(shù)概念的抽象性及列函數(shù)關(guān)系式.第課時1.探究具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.2.通過實(shí)例,了解函數(shù)的定義及其表示方法.1.經(jīng)歷思考、分析、觀察等數(shù)學(xué)活動過程,發(fā)展合情推理,有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).2.逐步感知變量間的關(guān)系.1.積極參與數(shù)學(xué)活動,對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲,讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系和對人類歷史發(fā)展的作用.2.提高學(xué)生參加數(shù)學(xué)活動的積極性和好奇心.【重點(diǎn)】函數(shù)的概念.【難點(diǎn)】函數(shù)概念的理解及表示.【教師準(zhǔn)備】課件1~8.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)變量與常量.導(dǎo)入一:【課件1】下面是一張心電圖,心電圖中顯示了心臟部位的生物電流(y)隨時間(x)的變化,則對于x每一個確定的值,y是否都有唯一確定的對應(yīng)值?教師讓學(xué)生細(xì)心觀察,討論并思考:對于x每一個確定的值,y都有唯一確定的對應(yīng)值.教師歸納:萬物皆變,這種一個量隨著另一個量的變化而變化的現(xiàn)象大量存在.函數(shù)就是深刻認(rèn)識變化世界的數(shù)學(xué)工具.導(dǎo)入二:【課件2】高速行駛的列車的行駛里程隨著行駛時間而變化.氣象站自動溫度記錄儀描述的某一天的溫度曲線,氣溫隨時間的變化而變化.函數(shù)就是研究一些量之間確定性依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.[設(shè)計(jì)意圖]兩個導(dǎo)入都是以現(xiàn)實(shí)生活為依托,讓學(xué)生體會變量之間的關(guān)系,感受數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲.活動1整體感知——“觀察與思考”[過渡語]函數(shù)是刻畫和研究變化過程中量與量之間關(guān)系的一種重要數(shù)學(xué)模型,在現(xiàn)實(shí)生活中具有廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在,我們開始學(xué)習(xí)函數(shù).思路一【課件3】思考并解決下列問題:(1)下表是欣欣報亭上半年的純收入情況:月份T1月2月3月4月5月6月純收入S/元456047904430420048704730根據(jù)這個表格你能說出1月~6月,每個月的純收入嗎?(2)如圖所示的是某市冬季某天的氣溫變化圖.觀察這個氣溫變化圖,你能找到凌晨3時、上午9時和下午16時對應(yīng)的溫度嗎?你能得到這天24小時內(nèi)任意時刻對應(yīng)的溫度嗎?(3)我們曾做過“對折紙”的游戲:取一張紙,第1次對折,1頁紙折為2層;第2次對折,2層紙折為4層;第3次對折,4層紙折為8層……用n表示對折的次數(shù),p表示對折后的層數(shù),請寫出用n表示p的表達(dá)式.根據(jù)寫出的表達(dá)式,是否可以得出任意次對折后的層數(shù)?依次引導(dǎo)學(xué)生回答上述三個問題,學(xué)生舉例時盡可能多地讓學(xué)生說出觀察到的信息.(1)能.舉例略.(2)3時、9時和16時對應(yīng)的溫度分別為-3℃,1℃和4℃.能得到這天24小時內(nèi)任意時刻對應(yīng)的溫度.(3)p=2n.能,舉例略.【思考】(1)在問題(1)中有幾個變量?隨著月份T的變化,純收入S怎樣變化?(2)在問題(2)中有幾個變量?有怎樣的變化規(guī)律?(3)在問題(3)中有幾個變量?當(dāng)n每取一個值時,p是否都有唯一的值?教師引導(dǎo)學(xué)生討論上面三個問題:(1)有兩個變量,月份對應(yīng)一個值,純收入也有一個值和它對應(yīng);(2)有兩個變量,溫度隨時間的變化而變化;(3)有兩個變量,n每取一個值時,p都有唯一的值與之對應(yīng).[設(shè)計(jì)意圖]通過練習(xí)讓學(xué)生感知問題中兩個變量的存在,認(rèn)識變量之間的單值對應(yīng).【課件4】在上述三個問題中,分別指出其中的變量,并說明在同一個問題中,當(dāng)其中一個量變化時,另一個量是否也在相應(yīng)地變化,當(dāng)其中一個量取定一個值時,另一個量是否也相應(yīng)地取定一個值.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出:三個實(shí)例中的兩個變量之間分別具有相互依賴關(guān)系,當(dāng)其中一個變量變化時,另一個變量也相應(yīng)地變化,并且當(dāng)其中一個變量取定一個值時,另一個變量也相應(yīng)地取定一個值.說明:一般地,在某個變化過程中,有兩個變量x和y.如果給定x的一個值,就能相應(yīng)地確定y的一個值,那么,我們就說y是x的函數(shù).其中,x叫做自變量.請你說一說,課件3的(1)~(3)中哪個變量是哪個變量的函數(shù)?自變量是誰?指學(xué)生回答,得出:(1)欣欣報亭的純收入S(元)是月份(T)的函數(shù),T是自變量;(2)某市某一天的氣溫T(℃)是時刻t的函數(shù),t是自變量;(3)折紙的層數(shù)p是折紙次數(shù)n的函數(shù),n是自變量.此處教師應(yīng)指出:(1)“自變量”是指在它的取值范圍內(nèi)可以隨心所欲地、自由自在地取它想取的值.(2)“函數(shù)”中的“函”是相關(guān)的意思,是指這兩個變量間有相關(guān)的關(guān)系.每一個自變量的函數(shù)值是唯一被確定的.[設(shè)計(jì)意圖]通過實(shí)例,從三個不同角度描述變化規(guī)律,感受變量之間的對應(yīng)關(guān)系.[知識拓展](1)函數(shù)不是數(shù),函數(shù)的本質(zhì)是對應(yīng),函數(shù)關(guān)系就是變量之間的對應(yīng)關(guān)系,且是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系,必須是“對于x的每一個值,y都有唯一的值和它對應(yīng)”.例如:“一個數(shù)與它的絕對值”,若一個數(shù)用x表示,它的絕對值用y表示,其中x可以取任意實(shí)數(shù),即自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),對應(yīng)關(guān)系是一個數(shù)與它的絕對值對應(yīng),一個數(shù)的絕對值是這個數(shù)的函數(shù).又如:式子y=x2中,變量x每取一個值,y都有唯一的值與之對應(yīng),所以y是x的函數(shù);式子y2=x中,盡管x與y之間有一種關(guān)系,但由于變量x在x>0的范圍內(nèi)每取一個值,y都有兩個確定的值與之對應(yīng),所以說y不是x的函數(shù).(2)自變量與函數(shù)用什么字母表示無關(guān)緊要,自變量可以用x表示,也可以用t,u,p,…中的任何一個表示,函數(shù)可以用y表示,也可以用t,u,p,…中的任何一個表示.(3)在我們所研究的范圍內(nèi),如果兩個變量之間雖有一定的關(guān)系,但它們之間存在“不唯一確定”的對應(yīng)關(guān)系,也就是說,這種關(guān)系不是“唯一確定”的關(guān)系,那么這兩個變量之間就不存在函數(shù)關(guān)系.(4)函數(shù)的定義中指出“對于x的每一個值,y都有唯一的值與之對應(yīng)”,但對于自變量x的每一個不同的值,y不一定都是不同的值與之對應(yīng).思路二1.共同探究,獲取新知.【課件5】問題1:師:這個問題中,有哪幾個變量?學(xué)生討論,教師參與.生1:時間.生2:海拔高度.師:很好.觀察上圖,熱氣球在升空的過程中平均每分鐘上升多少米?師:你能求出升空后3min,6min時熱氣球到達(dá)的海拔高度嗎?生:能……[設(shè)計(jì)意圖]用師生共同探究的方法來喚起學(xué)生的參與意識,同時,也活躍了課堂氣氛,鍛煉了學(xué)生的合作能力.2.合作交流,深化理解.【課件6】問題2:師:這個問題中,有哪幾個變量?生:兩個變量,時間和用電負(fù)荷.師:任意給出這天中的某一時刻,如4.5h,20h,你能找到這一時刻的用電負(fù)荷y(×103兆瓦)是多少嗎?你是怎么找到的?找到的值是唯一確定的嗎?學(xué)生小組討論,教師參與學(xué)生交流.師:這一天的用電低谷、用電高峰時負(fù)荷各是多少?它們是在什么時刻達(dá)到的?生:……4.5h和13.5h.師:很好.問題3:汽車在行駛過程中,由于慣性的作用剎車后仍將滑行一段距離才能停住,某型號的汽車在路面上的剎車距離sm與車速vkm/h之間有經(jīng)驗(yàn)公式:s=v2這個式子中涉及哪幾個變量呢?生1:剎車距離.生2:車速.師:當(dāng)剎車時車速分別是40km/h,60km/h時,相應(yīng)的滑行距離分別是多少(結(jié)果保留一位小數(shù))?找兩名學(xué)生板演,學(xué)生求出結(jié)果后集體糾正.[設(shè)計(jì)意圖]通過教師的點(diǎn)撥,師生的合作交流為學(xué)習(xí)定義打下良好基礎(chǔ).3.繼續(xù)探究,深化定義.師生共同探究問題1,2,3中變量和常量的關(guān)系:問題1中,t=3時,h=1890;t=6時,h=1980.問題2中,t=4.5時,y=10;t=20時,y=16.問題3中,v=40時,s≈6.3;v=60時,s≈14.1.教師口述定義:一般地,在某個變化過程中,有兩個變量x和y.如果給定x的一個值,就能相應(yīng)地確定y的一個值,那么,我們就說y是x的函數(shù).其中,x叫做自變量.師:你能說出問題1中的自變量和函數(shù)嗎?學(xué)生小組討論.生:熱氣球上升高度h是自變量時間t的函數(shù).師:你能說出問題2中的自變量和函數(shù)嗎?生:用電負(fù)荷y是自變量時間t的函數(shù).師:問題3中呢?生:剎車距離s是自變量車速v的函數(shù).師:大家掌握得太好了,真為你們驕傲![設(shè)計(jì)意圖]通過小組討論交流達(dá)到“兵教兵”的目的,實(shí)現(xiàn)知識內(nèi)化.活動2知識深化——“大家談?wù)劇盵過渡語]函數(shù)體現(xiàn)的是“一一對應(yīng)”的思想,即在自變量取值范圍內(nèi)每取一個值,另一個變量都有唯一的值與其對應(yīng).【課件7】請你談?wù)?1.如果y是x的函數(shù),那么哪個量是自變量,哪個量是自變量的函數(shù)?2.在上面的“觀察與思考”中,我們認(rèn)識了用“數(shù)值表、圖像、表達(dá)式”三種方式分別表示的函數(shù),請你再用這三種方式各舉一個表示函數(shù)關(guān)系的例子.學(xué)生舉例,討論交流.[設(shè)計(jì)意圖]進(jìn)一步理解函數(shù)模型,辨析自變量與函數(shù),初步體會數(shù)值表、圖像、表達(dá)式這三種函數(shù)的表示方法.活動3鞏固新知——“做一做”【課件8】做一做1.改革開放以來,我國城鄉(xiāng)居民的生活發(fā)生了巨大變化.下表是國家統(tǒng)計(jì)局公布的近幾年人民幣儲蓄存款余額的情況:年份200520062007200820092010存款余額/億元141051161587172534217885260772303302在這里,存款余額(億元)與年份兩個量之間是否具有函數(shù)關(guān)系?若具有函數(shù)關(guān)系,請指出其中的自變量和關(guān)于自變量的函數(shù).2.海水受日月的引力而產(chǎn)生潮汐現(xiàn)象.海水早晨上漲的現(xiàn)象叫做潮,黃昏上漲的現(xiàn)象叫做汐,潮與汐合稱潮汐.某港口的某一天,從0時至24時的水位情況如圖所示.變量h與變量t是否具有函數(shù)關(guān)系?若具有函數(shù)關(guān)系,則哪個量是自變量,哪個量是這個自變量的函數(shù)?讓學(xué)生利用函數(shù)的定義去加以判斷.引導(dǎo)學(xué)生得到:1.存款余額與年份具有函數(shù)關(guān)系,年份是自變量,存款余額是年份的函數(shù).2.h與t具有函數(shù)關(guān)系,t是自變量,h是t的函數(shù).[設(shè)計(jì)意圖]進(jìn)一步掌握函數(shù)的概念,能正確地確定自變量,提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力,鍛煉學(xué)生講題說理的能力.1.函數(shù)的定義:一般地,在某個變化過程中,有兩個變量x和y.如果給定x的一個值,就能相應(yīng)地確定y的一個值,那么,我們就說y是x的函數(shù).其中,x叫做自變量.2.對于函數(shù)的理解:(1)在某一個變化過程中有兩個變量;(2)一個變量的數(shù)值隨著另一個變量的數(shù)值的變化而發(fā)生變化;(3)自變量的每一個確定的值,函數(shù)有且只有一個值與之對應(yīng),即單對應(yīng).1.(2016·南寧中考)下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是 ()ABCD解析:根據(jù)函數(shù)的意義:對于自變量x的任何一個值,y都有唯一的值與之相對應(yīng),可知D正確.故選D.2.下列說法正確的是 ()A.若y<2x,則y是x的函數(shù)B.正方形的面積是其周長的函數(shù)C.變量x,y滿足y2=2x,y是x的函數(shù)D.溫度是變量解析:A.不符合函數(shù)的定義,故本選項(xiàng)錯誤;B.設(shè)正方形的周長為L,面積為S,用L表示S的函數(shù)關(guān)系式為S=116L2,故本選項(xiàng)正確;C.不符合函數(shù)的定義,故本選項(xiàng)錯誤;D.在不同的情況下,溫度不一定是變量,故本選項(xiàng)錯誤.故選B3.下列四個關(guān)系式:(1)y=x;(2)y=x2;(3)y=x3;(4)|y|=x.其中y不是x的函數(shù)的是 ()A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)解析:根據(jù)函數(shù)的定義,可知滿足對于x的每一個取值,y都有唯一確定的值與之對應(yīng)關(guān)系,可以得出(1)y=x,(2)y=x2,(3)y=x3滿足函數(shù)的定義,y是x的函數(shù),而(4)|y|=x,當(dāng)x取值時,y不是都有唯一的值與之對應(yīng),y不是x的函數(shù).故選D.4.下列各選項(xiàng)中,兩個變量之間的關(guān)系不能被看成函數(shù)的是 ()A.小車下滑過程中下滑時間t與支撐物高度h之間的關(guān)系B.三角形一邊上的高一定時,三角形面積S與該邊的長度x之間的關(guān)系C.駱駝某日體溫隨時間的變化曲線所確定的溫度與時間的關(guān)系D.y表示一個正數(shù)x的平方根,y與x之間的關(guān)系解析:D.y表示一個正數(shù)x的平方根,而x每取一個值,y都有兩個值與之對應(yīng),所以兩個變量之間的關(guān)系不能看成函數(shù)關(guān)系,故此選項(xiàng)符合題意.故選D.5.下面每個選項(xiàng)中給出了某個變化過程中的兩個變量x和y的數(shù)值,其中y不是x的函數(shù)的選項(xiàng)是 ()x1234y-1-2-3-4Ax1234y36912Bx14y-1,12,-2Cx1234y2222D解析:只有選項(xiàng)C中,x取1個值,y有2個值與其對應(yīng),故y不是x的函數(shù).故選C.6.已知△ABC的底邊BC上的高為8cm,當(dāng)它的底邊BC從16cm變化到5cm時,△ABC的面積 ()A.從20cm2變化到64cm2B.從64cm2變化到20cm2C.從128cm2變化到40cm2D.從40cm2變化到128cm2解析:當(dāng)△ABC的底邊BC上的高為8cm,底邊BC=16cm時,S1=(8×16)÷2=64(cm2);底邊BC=5cm時,S2=(5×8)÷2=20(cm2).故選B.7.一石激起千層浪,一塊石頭投入水中,會在水面上激起一圈圈圓形漣漪(圓形水波慢慢地?cái)U(kuò)大),如圖所示(這些圓的圓心相同).(1)在這個變化過程中,自變量是;

(2)如果圓的半徑為r,面積為S,那么S與r之間的關(guān)系式是;

(3)當(dāng)圓的半徑由1cm增加到5cm時,面積增加了cm2.

解析:(1)圓的面積隨著圓的半徑的變化而變化,所以自變量是圓的半徑;(2)根據(jù)圓的面積公式,如果圓的半徑為r,面積為S,則S與r之間的關(guān)系式是S=πr2;(3)當(dāng)圓的半徑由1cm增加到5cm時,面積增加了25π-π=24π(cm2).答案:(1)圓的半徑(2)S=πr2(3)24π8.在國內(nèi)投寄平信應(yīng)付郵資如下表:信件質(zhì)量x/克0<x≤2020<x≤4040<x≤60郵資y/元0.801.602.40(1)y是x的函數(shù)嗎?為什么?(2)分別求當(dāng)x=5,10,30,50時的函數(shù)值.解析:(1)根據(jù)函數(shù)定義:設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y,對于x的每一個確定的值,y都有唯一的值與其對應(yīng),那么就說y是x的函數(shù),x是自變量,可得y是x的函數(shù);(2)根據(jù)表格可以直接得到答案.解:(1)y是x的函數(shù),當(dāng)x取定一個值時,y都有唯一確定的值與其對應(yīng).(2)當(dāng)x=5時,y=0.80;當(dāng)x=10時,y=0.80;當(dāng)x=30時,y=1.60;當(dāng)x=50時,y=2.40.9.觀察如圖所示的圖形,找規(guī)律,填表答題.小梯形個數(shù)n1234…n圖形的邊數(shù)a47…(1)把表補(bǔ)充完整,并回答其中哪個是自變量;(2)圖形的邊數(shù)a是小梯形個數(shù)n的函數(shù)嗎?解析:(1)根據(jù)圖形的變化,可得自變量;(2)根據(jù)函數(shù)的定義,可得答案.解:(1)依次填10,13,3n+1.圖形的邊數(shù)隨著小梯形個數(shù)的變化而變化,梯形的個數(shù)是自變量.(2)圖形的邊數(shù)a是小梯形個數(shù)n的函數(shù),理由是有一個n值就有唯一確定的a值與之對應(yīng),a是n的函數(shù).第1課時活動1整體感知——“觀察與思考”函數(shù)的定義活動2知識深化——“大家談?wù)劇被顒?鞏固新知——“做一做”一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第65頁練習(xí)第1,2題.2.教材第65頁習(xí)題A組第1,2,3題.【選做題】教材第66頁習(xí)題B組第1,2題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.函數(shù)是研究 ()A.常量之間的對應(yīng)關(guān)系的B.常量與變量之間的對應(yīng)關(guān)系的C.變量與常量之間對應(yīng)關(guān)系的D.變量之間的對應(yīng)關(guān)系的2.下列說法正確的是 ()A.在球的體積公式V=43πr3中,V不是rB.若變量x,y滿足y2=x,則y是x的函數(shù)C.在圓錐的體積公式V=13πR2h中,當(dāng)h=4厘米,R=2厘米時,V是πD.若變量x,y滿足y=-13x+13,則y是3.在下表中,設(shè)x表示乘公共汽車的站數(shù),y表示應(yīng)付的票價(元),根據(jù)此表,下列說法正確的是 ()x/站12345678910y/元1112233344A.y是x的函數(shù) B.y不是x的函數(shù)C.x是y的函數(shù) D.以上說法都不對4.如圖所示,在△ABC中,過頂點(diǎn)A的直線與邊BC相交于點(diǎn)D,當(dāng)頂點(diǎn)A沿直線AD向點(diǎn)D運(yùn)動,且越過點(diǎn)D后逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)D時,在這一運(yùn)動過程中,△ABC的面積的變化情況是 ()A.由大變小B.由小變大C.先由大變小,后又由小變大D.先由小變大,后又由大變小5.據(jù)測試:擰不緊的水龍頭每分鐘滴出100滴水,每滴水約0.05毫升.小康同學(xué)洗手后,沒有把水龍頭擰緊,水龍頭以測試的速度滴水,當(dāng)小康離開x分鐘后,水龍頭滴出y毫升的水,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是 ()A.y=0.05x B.y=5xC.y=100x D.y=0.05x+1006.下表反映的是某地區(qū)電的使用量x(千瓦時)與應(yīng)繳電費(fèi)y(元)之間的關(guān)系:用電量x/千瓦時1234…應(yīng)繳電費(fèi)y/元0.551.11.652.2…下列說法不正確的是 ()A.x與y都是變量,且x是自變量B.用電量每增加1千瓦時,電費(fèi)增加0.55元C.若用電量為8千瓦時,則應(yīng)繳電費(fèi)4.4元D.若所繳電費(fèi)為2.75元,則用電量為6千瓦時7.已知x=3-k,y=2+k,則y與x的關(guān)系是 ()A.y=x-5 B.x+y=1C.x-y=1 D.x+y=58.李大爺要圍成一個矩形菜園,菜園的一邊利用足夠長的墻,用籬笆圍成的另外三邊總長度恰好為24米.要圍成的菜園是如圖所示的長方形ABCD.設(shè)BC邊的長為x米,AB邊的長為y米,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是 ()A.y=-12x+12 B.y=-2xC.y=2x-24 D.y=12x9.彈簧掛上物體后會伸長,測得一彈簧的長度y(m)與所掛物體質(zhì)量x(kg)間有如下關(guān)系(x≤12),下列說法中不正確的是 ()質(zhì)量/kg012345長度/cm1010.51111.51212.5A.所掛物體的質(zhì)量為6kg時,彈簧長度為12.5cmB.彈簧不掛重物時的長度為10cmC.物體質(zhì)量由3kg增加到4kg,彈簧的長度增加0.5cmD.x是自變量,y是自變量的函數(shù)10.如圖所示,向平靜的水面投入一個石子,在水面會激起一圈圈圓形漣漪,當(dāng)半徑從2cm變成5cm時,圓形的面積從cm2變成cm2.這一變化過程中是自變量,是自變量的函數(shù).

【能力提升】11.已知W=x+1,y=W2,那么y是不是x的函數(shù)?若不是,請說明理由;若是,請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式12.下表是某公共電話亭打長途電話的幾次收費(fèi)記錄:時間/分1234567電話費(fèi)/元0.61.21.82.43.03.64.2(1)上表反映了哪兩個變量間的關(guān)系?哪個是自變量?(2)如果用x表示時間,y表示電話費(fèi),那么隨著x的變化,y的變化趨勢是什么?(3)麗麗打了5分鐘電話,那么電話費(fèi)需付多少元?13.某班同學(xué)在自然課中探究彈簧的長度與所受外力的變化關(guān)系時,實(shí)驗(yàn)記錄得到的數(shù)據(jù)如下表:砝碼的質(zhì)量x/克050100150200250300400500指針的位置y/cm2345677.57.57.5(1)y是關(guān)于x的函數(shù)嗎?為什么?(2)當(dāng)x=0時,函數(shù)值是多少?它的實(shí)際意義是什么?(3)當(dāng)x≥300時,指針位置保持不變.請你結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn),解釋產(chǎn)生這種現(xiàn)象的可能原因.【拓展探究】14.中國聯(lián)通在某地的資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為包月186元時,超出部分國內(nèi)撥打0.36元/分,由于業(yè)務(wù)多,小明的爸爸打電話已超出了包月費(fèi).下表是超出部分國內(nèi)撥打的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):時間/分12345…電話費(fèi)/元0.360.721.081.441.8…(1)這個表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系?哪個是自變量?(2)如果用x表示超出時間,y表示超出部分的電話費(fèi),那么y與x的表達(dá)式是什么?(3)如果打電話超出25分鐘,需付多少電話費(fèi)?(4)某次打電話的費(fèi)用超出部分是54元,那么小明的爸爸打電話超出幾分鐘?15.甲、乙兩家體育器材商店出售同樣的乒乓球拍和乒乓球,球拍一副定價60元,乒乓球每盒定價10元.今年世界乒乓球錦標(biāo)賽期間,兩家商店都搞促銷活動:甲商店規(guī)定每買一副乒乓球拍贈兩盒乒乓球;乙商店規(guī)定所有商品9折優(yōu)惠.某校乒乓球隊(duì)需要買2副乒乓球拍,乒乓球若干盒(不少于4盒).設(shè)該校要買乒乓球x盒,所需商品在甲商店購買需要y1元,在乙商店購買需要y2元.(1)請分別寫出y1,y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)對x的取值情況進(jìn)行分析,試說明在哪一家商店購買所需商品比較便宜;(3)若該校要買2副乒乓球拍和20盒乒乓球,在不考慮其他因素的情況下,請你設(shè)計(jì)一個最省錢的購買方案.【答案與解析】1.D2.D(解析:根據(jù)函數(shù)的定義,可知滿足對于x的每一個取值,y都有唯一確定的值與之對應(yīng)關(guān)系,據(jù)此即可確定函數(shù).)3.A(解析:根據(jù)題意知對于x的每一個取值,y都有唯一確定的值,故y是x的函數(shù).)4.C(解析:運(yùn)動過程中,點(diǎn)A到BC的距離先變小,然后再變大,故△ABC的面積的變化情況是先變小后變大.)5.B(解析:每分鐘滴出100滴水,每滴水約0.05毫升,則一分鐘滴水100×0.05毫升,則x分鐘可滴100×0.05x毫升,據(jù)此即可求解.)6.D(解析:D.若所繳電費(fèi)為2.75元,則用電量為2.75÷0.55=5(千瓦時),故錯誤.)7.D(解析:∵x=3-k,y=2+k,∴x+y=3-k+2+k=5.)8.A(解析:由題意得2y+x=24,故可得y=-12x+12.9.A(解析:A.所掛物體質(zhì)量為6kg時,彈簧長度是10+0.5×6=13(cm),故本選項(xiàng)錯誤.)10.4π25π半徑面積(解析:當(dāng)r=2時,圓的面積為4π;當(dāng)r=5時,圓的面積為25π;這一變化過程中半徑是自變量,面積是自變量的函數(shù).)11.解:∵對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與它對應(yīng),那么就稱y是x的函數(shù),∴y是x的函數(shù),∵W=x+1,y=W2,∴y=x12.解:(1)上表反映的是時間和電話費(fèi)兩個變量之間的關(guān)系,時間是自變量.(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出:隨著x的增大,y相應(yīng)地也增大.(3)由表中數(shù)據(jù)直接得出:麗麗打了5分鐘電話,那么電話費(fèi)需付3元.13.解:(1)y是關(guān)于x的函數(shù).因?yàn)樵谶@個變化過程中,對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值,所以y是關(guān)于x的函數(shù).(2)當(dāng)x=0時,y=2.它的實(shí)際意義是彈簧的原長是2cm.(3)原因是:彈簧所受外力超過彈性限度,不能再被拉長了.14.解:(1)超出部分國內(nèi)撥打時間與電話費(fèi)之間的關(guān)系,打電話時間是自變量,電話費(fèi)是因變量.(2)由題意可得y=0.36x.(3)當(dāng)x=25時,y=0.36×25=9,即如果打電話超出25分鐘,需付186+9=195元的電話費(fèi).(4)當(dāng)y=54時,x=540.36=150.即小明的爸爸打電話超出15.解:(1)y1=10x+80,y2=9x+108.(2)當(dāng)y1=y2時,10x+80=9x+108,解得x=28,∴x=28時,在甲商店購買所需商品和在乙商店購買所需商品一樣便宜;當(dāng)y1<y2時,10x+80<9x+108,而已知不少于4盒,∴4≤x<28時,在甲商店購買所需商品比較便宜;當(dāng)y1>y2時,10x+80>9x+108,∴x>28時,在乙商店購買所需商品比較便宜.(3)最佳的購買方案是:到甲商店購買2副乒乓球拍,獲贈4盒乒乓球;到乙商店購買16盒乒乓球.函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的一個重要模型,對函數(shù)的學(xué)習(xí)一直以來都是中學(xué)階段的一個重要的內(nèi)容.函數(shù)的概念是學(xué)習(xí)后續(xù)“函數(shù)知識”的最重要的基礎(chǔ)內(nèi)容,而函數(shù)的概念又是一個比較抽象的知識,對它的理解一直是一個教學(xué)難點(diǎn),學(xué)生對這些問題的探索以及研究思路都是比較陌生的.因此,在教學(xué)過程中,教師注意通過對以前學(xué)過的“變量之間的關(guān)系”的回顧與思考,力求提供生動有趣的問題情境,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;通過層層深入的問題設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、操作、交流、歸納等數(shù)學(xué)活動,在活動中歸納、概括出函數(shù)的概念;并通過師生交流、生生交流等加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解.函數(shù)是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容,學(xué)生又是第一次接觸函數(shù).對于函數(shù)的理解和掌握是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn),對于學(xué)生舉例說明這一環(huán)節(jié),學(xué)生完成得不好.在教學(xué)中,學(xué)生對“觀察與思考”的問題(3)的函數(shù)表達(dá)式的分析,教師沒有引導(dǎo)到位.對于規(guī)律型的表達(dá)式,教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作,逐一列式,整體討論進(jìn)行分析,充分發(fā)揮小組合作學(xué)習(xí)的優(yōu)勢,因?yàn)轭}目畢竟有一定的難度,讓學(xué)生獨(dú)立思考很難做到.另外課前可以讓學(xué)生事先進(jìn)行預(yù)習(xí),搜集有關(guān)函數(shù)的例子,這樣學(xué)生舉例時就不會感覺到無從說起.練習(xí)(教材第65頁)1.解:表中反映的兩個量之間具有函數(shù)關(guān)系.新增病例是日期的函數(shù).2.解:s=190t,t是自變量,s是t的函數(shù).習(xí)題(教材第65頁)A組1.解:對于每一個確定的時刻,都能相應(yīng)地確定一個溫度.T是t的函數(shù),t是自變量.2.4xSxSx3.解:由題意得m=2.4+1·(t-3)=t-0.6,∴m與t之間的函數(shù)關(guān)系式為m=t-0.6(t≥3,t為整數(shù)).B組1.解:(1)v=2t,v是t的函數(shù),t是自變量.(2)v=2×3.5=7(m/s).2.解:(1)W=40-6t,t是自變量,W是t的函數(shù).(2)W=40-6×3=22.即油箱中剩余油量為22L.本課時是在上一節(jié)課內(nèi)容的基礎(chǔ)上,探索兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系——函數(shù).它是刻畫兩個變量之間關(guān)系的重要模型,也是解決許多實(shí)際問題的重要工具.函數(shù)概念的本質(zhì)是兩個變量之間存在的對應(yīng)關(guān)系.教學(xué)中,應(yīng)注意三個問題:一是變化過程,二是相互依賴的關(guān)系,三是“值”的唯一性.在引導(dǎo)學(xué)生思考、交流、分析實(shí)例的共性時,要注意兩個變量間,當(dāng)一個量變化時,另一個量也相應(yīng)地變化;當(dāng)一個變量取一個確定的值時,另一個變量的值也隨之確定.在教學(xué)過程中,應(yīng)先讓學(xué)生自己嘗試、思考,再合作交流,引導(dǎo)學(xué)生多取一些值,感受變量之間的這種函數(shù)關(guān)系.為了讓學(xué)生對函數(shù)的概念進(jìn)一步理解,應(yīng)為學(xué)生提供充足的思考、交流的時間與空間,讓學(xué)生進(jìn)行深刻的思考和廣泛的交流,在交流中達(dá)成共識.某學(xué)校的復(fù)印任務(wù)由甲復(fù)印社承接,其收費(fèi)y(元)與復(fù)印頁數(shù)x(頁)的關(guān)系如下表:x/頁1002004001000…y/元4080160400…(1)表格中反映的變量是,其中自變量是;

(2)隨著復(fù)印頁數(shù)x的逐漸增加,其收費(fèi)y的變化趨勢是什么?(3)復(fù)印頁數(shù)x每增加100頁,收費(fèi)y怎樣變化?(4)當(dāng)復(fù)印頁數(shù)為2000頁時,其收費(fèi)y是多少元?〔解析〕(1)在一個變化的過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量;數(shù)值始終不變的量稱為常量.據(jù)此判斷出表格中反映的變量是復(fù)印頁數(shù)、收費(fèi),其中自變量是復(fù)印頁數(shù),因變量是收費(fèi);(2)隨著復(fù)印頁數(shù)x的逐漸增加,其收費(fèi)y也逐漸增加;(3)根據(jù)80-40=40(元),可得復(fù)印頁數(shù)x每增加100頁,收費(fèi)y增加40元;(4)首先根據(jù)單價=總價÷數(shù)量,求出每頁的復(fù)印費(fèi)是多少,進(jìn)而確定出收費(fèi)y(元)與復(fù)印頁數(shù)x(頁)的關(guān)系,然后把x=2000代入,求出其收費(fèi)y是多少元即可.解:(1)表格中反映的變量是復(fù)印頁數(shù)、收費(fèi),其中自變量是復(fù)印頁數(shù),因變量是收費(fèi).(2)隨著復(fù)印頁數(shù)x的逐漸增加,其收費(fèi)y逐漸增加.(3)因?yàn)?0-40=40(元),所以復(fù)印頁數(shù)x每增加100頁,收費(fèi)y增加40元.(4)40÷100=0.4(元),所以y=0.4x,當(dāng)x=2000時,y=0.4×2000=800,所以當(dāng)復(fù)印頁數(shù)為2000頁時,其收費(fèi)y是800元.[解題策略]此題主要考查了函數(shù)關(guān)系式的求法,以及常量和變量的判斷,要熟練掌握;解答此題的關(guān)鍵是要明確:常量與變量必須存在于同一個變化過程中,判斷一個量是常量還是變量,需要看兩個方面:一是它是否在一個變化過程中;二是看它在這個變化過程中的取值情況是否發(fā)生變化.第課時1.能根據(jù)函數(shù)關(guān)系式直觀得到自變量的取值范圍.2.理解實(shí)際背景對自變量取值的限制.1.通過讓學(xué)生主動觀察、交流、歸納等探索活動形成自己對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)模式.2.聯(lián)系代數(shù)式中未知數(shù)的取值的要求,探索求函數(shù)自變量取值范圍的方法.使學(xué)生在探索、歸納求函數(shù)自變量取值范圍的過程中,增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識.【重點(diǎn)】函數(shù)自變量取值范圍的求法.【難點(diǎn)】理解實(shí)際背景對自變量取值的限制.【教師準(zhǔn)備】課件1~6.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)函數(shù)的定義.導(dǎo)入一:1.函數(shù)的定義是什么?什么是自變量?(舉例說明)2.說一說你對函數(shù)的理解.教師說明:函數(shù)的自變量可以在允許的范圍內(nèi)取值,超出這個范圍可能失去意義,這就是函數(shù)的自變量的取值范圍問題.揭示課題:函數(shù)自變量的取值范圍.[設(shè)計(jì)意圖]復(fù)習(xí)函數(shù)的有關(guān)知識,承上啟下,明確自變量的值有一定的范圍,強(qiáng)調(diào)本課時研究的問題.導(dǎo)入二:【課件1】問題1:試寫出等腰三角形中頂角的度數(shù)y°與底角的度數(shù)x°之間的函數(shù)關(guān)系式.解:y與x的函數(shù)關(guān)系式:y=180-2x.問題2:填寫如圖所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能發(fā)現(xiàn)什么?如果把這些涂黑的格子橫向的加數(shù)用x表示,縱向的加數(shù)用y表示,試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.解:黑色格子在一條直線上;y=10-x.[設(shè)計(jì)意圖]情景中的兩個問題讓學(xué)生單獨(dú)完成,由于題目簡單,因此不必占用太多時間,此設(shè)計(jì)主要為后面的探究做鋪墊.探究1探究實(shí)際問題中自變量的取值范圍[過渡語]實(shí)際問題中,自變量的取值應(yīng)滿足問題的實(shí)際意義.請同學(xué)們看一下如下的問題.思路一【課件2】大家談?wù)?.前面講到的“欣欣報亭的1月~6月的每月純收入S(元)是月份T的函數(shù)”,其中自變量T可取哪些值?當(dāng)T=1.5或T=7時,原問題有意義嗎?2.“某市某一天的氣溫T(℃)是時刻t的函數(shù)”,其中自變量t可取哪些值?如果t取第二天凌晨3時,原問題還有意義嗎?3.“折紙的層數(shù)p是折紙次數(shù)n的函數(shù)”,其中自變量n可取哪些值?當(dāng)n=0.5時,原問題有沒有意義?引導(dǎo)學(xué)生針對“大家談?wù)劇钡膯栴}小組交流,然后選代表發(fā)言.最后得出結(jié)論:1.T只能取1,2,3,4,5,6這6個整數(shù),當(dāng)T=1.5或T=7時,原問題(S)無意義.2.0≤t<24,當(dāng)t取第二天凌晨3時時,原問題(T)無意義.3.n≥0,且n是整數(shù),當(dāng)n=0.5時,原問題(p)無意義.教師說明:在用解析式表示函數(shù)時,要考慮自變量的取值,必須使解析式有意義.[設(shè)計(jì)意圖]通過師生交流合作,讓學(xué)生去領(lǐng)會,更好地完成概念的理解.思路二(針對導(dǎo)入二)【思考】在上面問題中所出現(xiàn)的各個函數(shù)中,自變量的取值有限制嗎?如果有,寫出它的取值范圍.分析:對于問題1,因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是180°,所以等腰三角形的底角的度數(shù)x°不可能大于或等于90°;對于問題2,觀察加法表中涂黑的格子的橫向的加數(shù)的取值范圍.解:問題1中,自變量x的取值范圍是0<x<90;問題2中,自變量x的取值范圍是1≤x≤9,且x是整數(shù).總結(jié):在用解析式表示函數(shù)時,要考慮自變量的取值必須使解析式有意義.在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時,如果遇到實(shí)際問題,必須使實(shí)際問題有意義.例如,函數(shù)解析式S=πR2中自變量R的取值范圍是全體實(shí)數(shù),如果式子表示圓面積S與圓半徑R的關(guān)系,那么自變量R的取值范圍就應(yīng)該是R>0.[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生在交流討論、主動探究中明白,在用解析法表達(dá)函數(shù)時,自變量x的取值范圍是有一定的限制的,以此來引出如何求函數(shù)自變量的取值范圍這一重點(diǎn).探究2函數(shù)表達(dá)式中自變量的取值范圍[過渡語]剛才通過探究我們知道,實(shí)際問題中的函數(shù),它的自變量的取值應(yīng)滿足實(shí)際意義.那么,對于函數(shù)表達(dá)式,自變量的取值又怎樣進(jìn)行判斷呢?【課件3】試著做做求下列函數(shù)自變量x的取值范圍:(1)y=2x+1;(2)y=1x;(3)y=x學(xué)生討論交流后,舉手上講臺板演,其他學(xué)生互評.明確:在(1)中,由于函數(shù)是關(guān)于自變量的整式,所以x為全體實(shí)數(shù);在(2)中,由于函數(shù)是關(guān)于自變量的分式,必須使分母不為0,所以x≠0;在(3)中,由于函數(shù)是關(guān)于自變量的二次根式,所以被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),即x≥1.歸納上述結(jié)論可知:(相對于已學(xué)知識而言)函數(shù)自變量的取值范圍滿足下列條件:(1)使分母不為零;(2)使二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù);(3)使實(shí)際問題有意義.[知識拓展]函數(shù)自變量的取值范圍的確定必須考慮兩個方面:首先,自變量的取值必須使含有自變量的代數(shù)式有意義;其次,自變量的取值應(yīng)使實(shí)際問題有意義.這兩個方面缺一不可,特別是后者,在學(xué)習(xí)過程中容易忽略.因此,在分析具體問題時,一定要細(xì)致周到地從多方面考慮.探究3例題講解【課件4】(教材第67頁例題)如圖所示,等腰直角三角形ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為10cm,邊CA與邊MN在同一條直線上,點(diǎn)A與點(diǎn)M重合.讓△ABC沿MN方向運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)N重合時停止運(yùn)動.試寫出運(yùn)動中兩個圖形重疊部分的面積y(cm2)與MA的長度x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量的取值范圍.點(diǎn)撥:(1)重疊部分的三角形是什么三角形?(2)怎樣表示這個三角形的面積?明確:(師生共同歸納)(1)由于△ABC是等腰直角三角形,得出重疊部分各銳角的度數(shù)都是45度,所以重疊部分的三角形是等腰直角三角形;(2)函數(shù)關(guān)系式為y=12x2(0≤x≤10)【課件5】(補(bǔ)充)分別寫出下列各問題中的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍.(1)已知等腰三角形的面積為20cm2,設(shè)它的底邊長為x(cm),求底邊上的高y(cm)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)在一個半徑為10cm的圓形紙片中剪去一個半徑為r(cm)的同心圓,得到一個圓環(huán).設(shè)圓環(huán)的面積為S(cm2),求S關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式.(3)矩形的周長為12cm,求它的面積S(cm2)與它的一邊長x(cm)間的關(guān)系式,并求出當(dāng)一邊長為2cm時這個矩形的面積.學(xué)生嘗試完成,然后小組合作交流.解:(1)y=40x,x可取任意正數(shù)(2)S=100π-πr2,r的取值范圍是0<r<10.(3)S=x(6-x)=6x-x2,x的取值范圍是0<x<6;當(dāng)x=2時,S=8,即此時矩形的面積為8cm2.【課件6】做一做1.求下列函數(shù)自變量的取值范圍:(1)y=2x2+7;(2)y=2x(3)y=1x2.寫出下列問題中的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍:(1)某市民用電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為0.52元/千瓦時,求電費(fèi)y(元)與用電量x(千瓦時)的函數(shù)關(guān)系式.(2)已知一等腰三角形的面積為20cm2.設(shè)它的底邊長為x(cm),求底邊上的高y(cm)與x的函數(shù)關(guān)系式.引導(dǎo)學(xué)生分析:1.(1)為全體實(shí)數(shù);(2)使分母不為零;(3)二次根式在分母中,被開方數(shù)大于0.2.(1)利用總價=單價×數(shù)量,推理得出;(2)利用三角形的面積=12×底×高,推理得出學(xué)生獨(dú)立完成,然后集體講評.答案:1.(1)全體實(shí)數(shù);(2)x≠0且x≠-1;(3)x>2.2.(1)y=0.52x,x≥0;(2)y=40x,x>0[設(shè)計(jì)意圖]使學(xué)生了解到函數(shù)自變量的取值除受解析式影響外,還受實(shí)際問題的限制,通過練習(xí)鞏固學(xué)生對知識的理解程度,強(qiáng)化學(xué)生對函數(shù)的概念、自變量的取值范圍的理解.求函數(shù)自變量取值范圍的兩個依據(jù):(1)要使函數(shù)的解析式有意義.①函數(shù)的解析式是整式時,自變量可取全體實(shí)數(shù);②函數(shù)的解析式的分母中含有自變量時,自變量的取值應(yīng)使分母≠0;③函數(shù)的解析式是二次根式時,自變量的取值應(yīng)使被開方數(shù)≥0.(2)反映實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系,自變量的取值應(yīng)使實(shí)際問題有意義.1.函數(shù)y=x+2x的自變量x的取值范圍是 (A.x≥-2 B.x≥-2且x≠0C.x≠0 D.x>0且x≠-2解析:由題意得x+2≥0且x≠0,解得x≥-2且x≠0.故選B.2.函數(shù)y=1x+3的自變量的取值范圍是 (A.x≠-3 B.x>-3C.x≥-3 D.x≤-3解析:本題考查了使函數(shù)解析式有意義的x的取值范圍.一般地,從兩個角度考慮:分式的分母不為0;偶次根式被開方數(shù)大于或等于0.當(dāng)一個式子中同時出現(xiàn)這兩點(diǎn)時,應(yīng)該是取讓兩個條件都滿足的公共部分,所以x+3>0,解得x>-3.故選B.3.函數(shù)y=(x-1)0中,自變量x的取值范圍是 ()A.x>1 B.x≠1 C.x<1 D.x≥1解析:由y=(x-1)0,得x-1≠0,解得x≠1,自變量x的取值范圍是x≠1.故選B.4.下列函數(shù)中,自變量x的取值范圍不正確的是 ()A.y=2x2中,x取全體實(shí)數(shù)B.y=1x+1中,xC.y=x-2中,xD.y=1x-3中解析:A中的x取全體實(shí)數(shù);B中,x+1≠0,得到x≠-1;C中,x-2≥0,則x≥2;D中,x-3≥0且x-3≠0,解得x>3.故選B.5.求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍.(1)y=3x-1;(2)y=x-2+(3)y=(x解析:(1)根據(jù)對任意的實(shí)數(shù)都有意義即可求解;(2)根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義,被開方數(shù)大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的取值范圍;(3)根據(jù)0的0次冪無意義即可求解.解:(1)x是任意實(shí)數(shù).(2)根據(jù)題意得x-2≥0,x-3≠0,解得x(3)根據(jù)題意得x-1≠0,解得x≠1.6.學(xué)校游泳池盛滿水2400m3,出水管每分鐘可放水30m3,打開出水管,一直到放盡為止,求游泳池內(nèi)水量w(m3)與放水時間t(min)的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量t的取值范圍.解析:根據(jù)“游泳池內(nèi)水量=2400-放水量”,列式即可解答.解:根據(jù)題意,得w=2400-30t(0≤t≤80).7.如圖所示,正方形ABCD的邊長為5,P為BC上一動點(diǎn)(不與B,C兩點(diǎn)重合),若CP=x,△ABP的面積為y,求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.解析:由CP=x,得BP=5-x,根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法直接得出函數(shù)解析式,利用P為BC上一動點(diǎn)(不與B,C兩點(diǎn)重合)得出自變量的取值范圍即可.解:∵CP=x,∴BP=5-x,∴△ABP的面積為y=12×5(5-x)=-52x+252(0<x8.若一個面積為50m2的矩形的寬為y(m),長為x(m).(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,以及自變量x的取值范圍;(2)當(dāng)長滿足5≤x≤10時,求寬y的取值范圍.解析:(1)根據(jù)矩形的面積公式可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)根據(jù)5≤x≤10,可解關(guān)于y的不等式組5≤50y≤10得到y(tǒng)的取值范圍解:(1)∵xy=50,∴y=50x(x>0)(2)∵5≤x≤10,∴5≤50y≤10,即5≤y≤10第2課時探究1探究實(shí)際問題中自變量的取值范圍探究2函數(shù)表達(dá)式中自變量的取值范圍(1)使分母不為零;(2)使二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù);(3)使實(shí)際問題有意義.探究3例題講解例1例2一、教材作業(yè)【必做題】1.教材第67頁練習(xí)第1,2題.2.教材第68頁習(xí)題A組.【選做題】教材第68頁習(xí)題B組.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.函數(shù)y=x-1中,自變量x的取值范圍是 (A.x>1 B.x≥1 C.x<1 D.x≤12.在函數(shù)y=x-3x-4中,自變量xA.x>3 B.x≥3C.x>4 D.x≥3且x≠43.函數(shù)y=x-1x-2中自變量xA.x>2 B.x≠2C.x≥2且x≠1 D.x為任意實(shí)數(shù)4.下列四個函數(shù),其中自變量的取值范圍相同的是 ()(1)y=x+1;(2)y=x+1;(3)y=(x+1)2x+1A.(1)和(2) B.(1)和(3)C.(2)和(4) D.(1)和(4)5.若|a+2|+b-1=0,則在函數(shù)y=x+ab中,自變量x的取值范圍是A.x>2 B.x≥2 C.x>-2 D.x≥-26.下列函數(shù)中,自變量的取值范圍選取錯誤的是 ()A.y=x-2中,x取xB.y=1x+1中,x取xC.y=2x2中,x取全體實(shí)數(shù)D.y=1x+3中,x取x【能力提升】7.已知函數(shù)y=5-x+(1)求自變量x的取值范圍;(2)求當(dāng)x=1時的函數(shù)值.8.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)P在BC上運(yùn)動,點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合,設(shè)PC=x,若用y表示△APB的面積,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求自變量x的取值范圍.9.一輛