廈門大學高等代數(shù) 考研模擬五套卷與答案解析

目錄

Ⅰ模擬五套卷.............................................................................................................................

2

廈門大學2021年招收攻讀碩士學位研究生入學考試模擬試卷一.....................................2

廈門大學2021年招收攻讀碩士學位研究生入學考試模擬試卷二.....................................4

廈門大學2021年招收攻讀碩士學位研究生入學考試模擬試卷三.....................................6

廈門大學2021年招收攻讀碩士學位研究生入學考試模擬試卷四.....................................9

廈門大學2021年招收攻讀碩士學位研究生入學考試模擬試卷五...................................11

Ⅱ答案解析與思路點撥.........................................................................................................13

模擬卷一答案解析與思路點撥.............................................................................................13

模擬卷二答案解析與思路點撥.............................................................................................20

模擬卷三答案解析與思路點撥.............................................................................................29

模擬卷四答案解析與思路點撥.............................................................................................37

模擬卷五答案解析與思路點撥.............................................................................................44

《2021廈大高等代數(shù)考研模擬五套卷與答案解析》

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Ⅰ模擬五套卷

廈門大學2021年招收攻讀碩士學位研究生入學考試模擬試卷一

科目代碼：825

科目名稱：高等代數(shù)

招生專業(yè)：數(shù)學科學學院：基礎數(shù)學、計算數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、應用數(shù)學、運籌

學與控制論、計算科學

考生須知：答案必須使用墨（藍）色墨水（圓珠）筆；不得在試卷（草稿）紙上作答；

凡未按規(guī)定作答均不予評閱、判分。

一、填空題（共48分，8題，每題6分）

2

1

|

1.行列式Dn=0

|?

0

0

1

2

1

?

0

0

0

1

2

?

0

0

?

?

?

?

?

?

0

0

0

?

2

1

0

0

0|=______。

?|

1

2

2.f(x),g(x)在有理數(shù)域上互素，在復數(shù)域上______（一定或不一定）互素。

3.實對稱矩陣A正定，則A的主對角線上的元素______（全，不全）為正；A的主對

角線上的元素全為正，則實對稱矩陣A______（一定，不一定）正定。

4.設A,B均為2階矩陣，A,B分別為A,B的伴隨矩陣，若|A|=2,|B|=3，則分塊矩陣

[OA]的伴隨矩陣為______。

BO

5.設1=2+3+?+r,2=1+3+?+r,?,r1=1+?+r2+r,r=

1+?+r1,則1,?,r之秩s與1,?,r之秩t的關系式是______。

6.反對稱實數(shù)矩陣的特征值是______。

131616

7.[576]的行列式因子是______。

687

8.兩個矩陣是否相似與數(shù)域的大小______，兩特征矩陣等價與數(shù)域大小______；

（填"有關"或"無關"）

。

二、15分）

（

設T為R3R3的線性變換，已知：

T1,0,01,0,1,T0,1,02,1,1，T0,0,11,1,2

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（1）用矩陣A表示此變換T(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)A；

（2）設T(R3)=U，求U的一個基底；

（3）求出使?jié)M足Tx=0(xR3)的點的全體。

三、（15分）

設n為正整數(shù)，f1(x)，f2(x)，?，fn(x)都是多項式，并且xn+xn1+?+x2+x+

1|f1(xn+1)+xf2(xn+1)+?+xn1fn(xn+1)，證明：(x1)n|f1(x)f2(x)?fn(x)。

四、（15分）

設Aaij

nn

的秩為n，求其次線性方程組Bx0的一個基礎解系。其中

Baij,rn。

rn

五、15分）

（

設f(x),g(x)為數(shù)域上的互素多項式，C為數(shù)域P上的n級方陣，A=f(c),B=g(c)，證

明：方程組ABx0的每個解x均可唯一的表示為xyz的形式，其中y,z分別為方程

組By0與Az0的解。

六、12分）

（

設A,B為是對稱矩陣，C為是反對稱矩陣，且A2B2C2，證明：A=B=C=0。

七、15分）

（

n級實對稱矩陣A的秩為rrn，當且僅當A可以寫成ACBC，其中B為r級可

逆矩陣，C為nr的列滿秩矩陣。

八、15分）

（

設1,2,

,n是n維線性空間V的一組基，是V上的線性變換。

證明：可逆當且僅當1,2,

,n也是V的基。

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廈門大學2021年招收攻讀碩士學位研究生入學考試模擬試卷二

科目代碼：825

科目名稱：高等代數(shù)

招生專業(yè)：數(shù)學科學學院：基礎數(shù)學、計算數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、應用數(shù)學、運籌

學與控制論、計算科學

考生須知：答案必須使用墨（藍）色墨水（圓珠）筆；不得在試卷（草稿）紙上作答；

凡未按規(guī)定作答均不予評閱、判分。

一、填空題（共48分，8題，每題6分）

4

1|，則A+A+A+A=______。

2

11

21

31

41

2

2.給定三維向量：1=(3,1,1);2=(1,1,2);3=(1,3,3);4=(4,0,5)；則

1,2,3,4線性______，1,2,4線性______。

1

1.D=|3

4

1

2

4

1

4

3

3

3

3

3．A為實矩陣，若對任意實矩陣M，有tr(AM)=0，則A=______。

4.設矩陣A=[11]，E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E，則|B|=______。

2

2

5.若二次型f=2x12+x22+4x32+2x1x2+2tx2x3正定，則t的取值范圍是______。

6.設A是數(shù)域P上一個n×n矩陣,則A與AT______（相似或不相似）

。

1

2

0

7.[0

2

0]的若當標準形是______。

221

8.歐氏空間中不同基的度量矩陣是______（合同，相似，等價）。

二、20分）

（

0111

1011

設A110

，求一正交矩陣T使TAT成對角形。

1

1110

三、15分）

（

如果f1(x),f2(x),f3(x)是線性空間P[x]中三個互素的多項式，但其中任意兩個都不互素，

則它們線性無關。

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四、15分）

（

設APmn,r1,

,nr是線性方程組Ax0的基礎解系，B1,

,nr。

證明：如果AC0，那么存在唯一的矩陣D，s.tCBD，其中CPnt。

五、15分）

（

設是數(shù)域P上n維線性空間V的一個線性變換，證明：

（1）P[x]中一定有次數(shù)不超過n2的多項式f(x)，s.tf()=0。

（2）如果f()=g()=0，那么d()=0，其中d(x)=(f(x),g(x))。

（3）可逆的充要條件是，有一常數(shù)項不為零的多項式f(x)使得f

0。

六、15分）

（

如果1,2,

,s是線性空間V的s個兩兩不同的線性變換，

那么在V中存在向量，

s.t1,2,

七、